Hiperişlem

Hiperişlem, matematik'te aritmetik işlemlerin sonsuz dizisidir. Ardılın birli işlemi, ardından toplama, çarpma ve üs almanın iki işlemiyle devam eden ve ardından ikili işlemlerin ötesine geçerek serilerle ilerleyen bir işlemdir. Üstelden sonraki işlemler için bu dizinin n. elemanı Reuben Goodstein tarafından adlandırıldı. n Yunan önekinden sonra -syon son eki kullanılarak (tetrasyon, pentasyon gibi) elde edilir ve Knuth yukarı ok gösterimindeki n-2 okları kullanılarak yazılabilir. Her hiperişlem, önceki terimlerin yinelemesi olarak tanımlanır. Ackermann işlevi, Knuth yukarı ok gösterimini kullanarak şöyle yinelenebilir:

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b=a\uparrow ^{n-1}\left(a\uparrow ^{n}(b-1)\right)}$

Bu yinelemeli kural, hiperişlemde yaygın olarak kullanılır (aşağıya bakınız).

Hiperişlem dizisi, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ olmak üzere ${\displaystyle H_{n}:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} \,\!}$ ikili işlemlerinin dizisidir ve yinelemesi şöyle tanımlanır:

${\displaystyle H_{n}(a,b)={\begin{cases}b+1&n=0{\text{ise }}\\a&n=1,b=0{\text{ise }}\\0&n=2,b=0{\text{ise }}\\1&n\geq 3,b=0{\text{ise }}\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{aksi takdirde}}\end{cases}}\,\!}$

(n = 0 için, ikili işlemin ilk argümanı göz ardı edilerek birli işlem elde edilir.)

n = 0, 1, 2, 3 için bu tanım, ardıl (birli işlem), toplama, çarpma ve üs almanın temel artimetik işlemlerini sırasıyla şu şekilde yeniden üretir;

${\displaystyle H_{0}(a,b)=b+1\,\!,}$

${\displaystyle H_{1}(a,b)=a+b\,\!,}$

${\displaystyle H_{2}(a,b)=a\cdot b\,\!,}$

${\displaystyle H_{3}(a,b)=a^{b}\,\!,}$

ve n ≥ 4 için, bu temel işlemleri, üs almanın da ötesine götürerek Knuth yukarı ok gösterimiyle şöyle yazabiliriz;

${\displaystyle H_{4}(a,b)=a\uparrow \uparrow {b}\,\!,}$

${\displaystyle H_{5}(a,b)=a\uparrow \uparrow \uparrow {b}\,\!,}$

...

${\displaystyle H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b,n\geq 3\,\!{\mbox{ için }},}$

...

Knuth gösterimi ≥ -2 negatif altgöstergelerinde (indislerinde), tüm hiperişlem dizisi için geçerli olduğunu kabul ederek, genişletilebilir, Sadece aşağıdaki altgösterge aralığı hariç:

${\displaystyle H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b\ n\geq 0\,{\mbox{ için }}\!}$

"Sonraki dizi nedir?" sorusunun cevabını hiperişlem şunlarla gösterebilir: Ardıl, toplama, çarpma, üs alma ve böylece devam eder.

• ${\displaystyle a+b=1+(a+(b-1)),\,\!}$
• ${\displaystyle a\cdot b=a+(a\cdot (b-1)),\,\!}$
• ${\displaystyle a^{b}=a\cdot (a^{(b-1)}),\,\!}$

Temel aritmetik işlemler arasındaki ilişki, yukarıda da gösterildiği gibi, daha yüksek işlem tanımlanarak gösterilir. Hiperişlem hiyerarşisinin parametreleri, bazen kendi örnek hiperişlem terimi;^[1] tarafından ifade edilir. Böylece a taban, b üs (veya hiperüs) ve n de derece (veya kademe)dir.

Genellikle hiperişlemler, önceki hiperişlem tekrarının yükseliş tabanında, artan birleşim sayılarının yolları olarak bilinir. Ardıl, toplama, çarpma ve üs alma kavramlarının hepsi hiperişlemdir. Ardıl işlemi (x den x+1 üretme) en ilkelidir. 1'lerin sayısını belirten toplama işareti, son değeri üretene kadar kendine eklenir. Çarpma, kendisiyle kaç kez tekrarlandığını ifade eder. Üs alma, kendisiyle kaç kez çarpıldığının sayısını ifade eder.

Aşağıda, ilk yedi hiperişlemin listesi görülüyor.

n	İşlem	Tanım	Adlar	Bölge
0	${\displaystyle b+1}$	${\displaystyle {1+{\underbrace {1+1+1+\cdots +1} _{b}}}}$	hiper0, artış, ardıl, zerasyon	b rastgele
1	${\displaystyle a+b}$	${\displaystyle {a+{\underbrace {1+1+1+\cdots +1} _{b}}}}$	hiper1, toplama	rastgele
2	${\displaystyle a\cdot b}$	${\displaystyle {{\underbrace {a+a+a+\cdots +a} } \atop {b}}}$	hiper2, çarpma	rastgele
3	${\displaystyle a\uparrow b=a^{b}}$	${\displaystyle {{\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} } \atop {b}}}$	hiper3, üstel	a > 0, b reel veya a sıfır olmayan, b tam sayı
4	${\displaystyle a\uparrow \uparrow b}$	${\displaystyle {{\underbrace {a\uparrow a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} } \atop {b}}}$	hiper4, tetrasyon	a > 0, b (tam sayı) ≥ −1
5	${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b}$ veya ${\displaystyle a\uparrow ^{3}b}$	${\displaystyle {{\underbrace {a\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow a} } \atop {b}}}$	hiper5, pentasyon	a ve b tam sayı, a > 0, b ≥ 0
6	${\displaystyle a\uparrow ^{4}b}$	${\displaystyle {{\underbrace {a\uparrow ^{3}a\uparrow ^{3}\cdots \uparrow ^{3}a} } \atop {b}}}$	hyper6, hekzasyon	a ve b tam sayı, a > 0, b ≥ 0

Knuth gösterimindeki değerlerin tablolarına bakınız.

Hiperişlemlerle ilgili ilk tartışma 1914'te Albert Bennett'in, değişmeli hiperişlemleri geliştirdiğinde başladı. Yaklaşık 12 yıl sonra Wilhelm Ackermann hiperişlem dizisine benzeyen ${\displaystyle \phi (a,b,n)\,\!}$ fonksiyonunu tanımladı.

1947'de R. L. Goodstein, hiperişlem olarak adlandırılan özel işlemler dizisini geliştirdi ve genişleyen üslü işlemleri ifade edebilmek için Yunanca adlar olan tetrasyon, pentasyon, hekzasyon, vb. önerdi. Örn ${\displaystyle G(n,a,b)=H_{n}(a,b)\,\!}$ gibi üç argümanlı (değişkenli) fonksiyonun hiperişlem dizisi, özgün ${\displaystyle \phi (a,b,n)\,\!}$ Ackermann işlevinin bir çeşididir.

Aşağıdaki, hiperişlemlerde kullanılan gösterimlerin bir listesidir.

Ad	Gösterimin ${\displaystyle H_{n}(a,b)\,\!}$ deki eşdeğeri	Açıklama
Knuth yukarı ok gösterimi	${\displaystyle a\uparrow ^{n-2}b\,\!}$	(n ≥ 2 için) Knuth tarafından kullanıldı ve birkaç referans kitap bulundu.
Goodstein gösterimi	${\displaystyle G(n,a,b)\,\!}$	Reuben Goodstein tarafından kullanıldı.
Özgün Ackermann işlevi	${\displaystyle {\begin{matrix}\phi (a,b,n-1)\ 1\leq n\leq 3{\mbox{ için }}\\\phi (a,b-1,n-1)\ n>3{\mbox{ için }}\end{matrix}}\,\!}$	Wilhelm Ackermann tarafından kullanıldı.
Ackermann–Péter fonksiyonu	${\displaystyle A(n,b-3)+3\ a=2\,{\text{ için }}\!}$	Bu gösterim, hiperişlemlerdeki 2'ye karşılır gelir.
Nambiar gösterimi	${\displaystyle a\otimes ^{n}b\,\!}$	Nambiar tarafından kullanıldı.
Kutu gösterimi	${\displaystyle a{\,{\begin{array}{|c|}\hline {\!n\!}\\\hline \end{array}}\,}b\,\!}$	Romerio tarafından kullanıldı
Üstgösterge yazımı	${\displaystyle a{}^{(n)}b\,\!}$	Robert Munafo tarafından kullanıldı
Altgösterge yazımı	${\displaystyle a{}_{(n)}b\,\!}$	Düşük hiperişlemleri ifade etmesi için Robert Munafo tarafından kullanıldı
Köşeli parantez gösterimi	${\displaystyle a[n]b\,\!}$	Birçok online forumda kullanıldı. ASCII için uygundur.

Farklı başlangıç şartları veya farklı özyineleme kuralları için birçok işlem ortaya çıktı. Bazı matematikçiler tümünü, hiperişlemlerin örnekleri olarak kabul ediyor.

Genel duyarlılık, bir ${\displaystyle (S,\,I,\,F)}$ hiperişlem hiyerarşisi, ikili işlemin ${\displaystyle S}$'deki ailesi ${\displaystyle (F_{n})_{n\in I}}$'dir ve ${\displaystyle i,j,k\in I}$ şartını sağlayan ${\displaystyle I}$ tarafından dizinlenir. Burada

• ${\displaystyle F_{i}(a,b)=a+b}$ (toplama),
• ${\displaystyle F_{j}(a,b)=a\cdot b}$ (çarpma) ve
• ${\displaystyle F_{k}(a,b)=a^{b}}$ (üs almadır).

Hiperişlemde çözüm aranılan açık bir problem, hiperişlem hiyerarşisi ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\mathbb {N} ,F)}$'nin, ${\displaystyle (\mathbb {C} ,\mathbb {C} ,F)}$'yi genelleştirebileceğimi yoksa ${\displaystyle (\mathbb {C} ,F_{n})}$'nin sözdegrup gibi davranacağı (kısıtlı tricted domains).

1928'de Wilhelm Ackermann, 3 argümanlı ${\displaystyle \phi (a,b,n)}$ fonksiyonunu tanımladı. Bu 2 argümanlı olan ve Ackermann işlevi olarak bilinen fonksiyonun azar azar geliştirilmiş şeklidir. Özgün Ackermann işlevi olan ${\displaystyle \phi }$, modern hiperişlemlere birazcık benziyordu. Çünkü onun başlangıç şartları, tüm ${\displaystyle n>2}$ için ${\displaystyle \phi (a,0,n)=a}$ dan başlar. Ayrıca eklemeyi ${\displaystyle (n=0)}$'a, çarpmayı ${\displaystyle (n=1)}$'e ve üs almayı ${\displaystyle (n=2)}$'a atadı. Böylece başlangıç şartları, tetrasyon ve ilerisi için çok farklı işlemler üretti.

n	İşlem	Açıklama
0	${\displaystyle F_{0}(a,b)=a+b}$
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a\cdot b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a^{b}}$
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a\uparrow \uparrow (b+1)}$	Tetrasyonun bir formu. Bu işlemin tekrarı, tetrasyonun tekrarından çok farklıdır.
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=(x\to a\uparrow \uparrow (x+1))^{b}(a)}$	Pentasyonla karıştırmayın.

Kullanılan diğer başlangıç şartı, ${\displaystyle A(0,b)=2b+1}$ (buradaki taban sabit olan ${\displaystyle a=2}$'dir).

1984'te, C. W. Clenshaw ve F. W. J. Olver, bilgisayardaki kayan noktaların akışını engellemek için hiperişlemlerin kullanımıyla ilgili tartışma başlattı

n	İşlem	Açıklama
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b=e^{\ln(a)+\ln(b)}}$
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}}$
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=a\uparrow \uparrow (b-1)}$	Tetrasyonun bir formu. Bu işlemin tekrarı tetrasyonun tekrarından çok farklıdır.
5	${\displaystyle F_{5}(a,b)=(x\to a\uparrow \uparrow (x-1))^{b}(0)}$	Pentasyonla karıştırmayın.

Değişimli hiperişlemler 1914 başlarında Albert Bennett tarafından dikkate alındı. Değişimli hiperişlemler özyineleme kuralı tarafından tanımlanır

${\displaystyle F_{n+1}(a,b)=\exp(F_{n}(\ln(a),\ln(b)))}$

bu, a ve b de simetriktir ve tüm hiperişlemlerin değişimli olduğu anlamına gelir. Bu dizi üstelleri içermez ve bu yüzden hiperişlem hiyerarşisi formu değildir.

n	İşlem	Açıklama
0	${\displaystyle F_{0}(a,b)=\ln(e^{a}+e^{b})}$
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b=e^{\ln(a)+\ln(b)}}$	Logaritmanın özelliklerinden dolayı.
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=e^{\ln(a)\ln(b)}}$	Üstelin birleşme formu.
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=e^{e^{\ln(\ln(a))\ln(\ln(b))}}}$	Tetrasyonla karıştırmayın.

Dengeli hiperişlemler, ilk önce Clément Frappier tarafından 1991'de ortaya atıldı. ${\displaystyle x^{x}}$ fonksiyon tekrarının temelini oluşturur ve bu yüzden Steinhaus-Moser gösterimi ile ilişkilidir. Dengeli hiperişlemlerde kullanılan özyineleme kuralı şudur:

${\displaystyle F_{n+1}(a,b)=(x\to F_{n}(x,x))^{\log _{2}(b)}(a)}$

Bu, süreklilik iterasyonunu, hatta b tam sayıları için bile gereklidir.

n	İşlem	Açıklama
0		0. derece yoktur.[nb 1]
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b=a2^{\log _{2}(b)}}$
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}=a^{2^{\log _{2}(b)}}}$	Bu üstür.
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=(x\to x^{x})^{\log _{2}(b)}(a)}$	Tetrasyonla karıştırmayın.

Bu hiperişlemlere bir alternatif, soldan sağa doğru işlem yaparak şöyle elde edilir.

• ${\displaystyle a+b=(a+(b-1))+1}$
• ${\displaystyle a\cdot b=(a\cdot (b-1))+a}$
• ${\displaystyle a^{b}=(a^{(b-1)})\cdot a}$

bu (° veya altgösterge ile) tanımlanır ${\displaystyle a_{(n+1)}b=(a_{(n+1)}(b-1))_{(n)}a}$ ile ${\displaystyle a_{(1)}b=a+b}$, ${\displaystyle a_{(2)}0=0}$ ve ${\displaystyle n>2}$ için ${\displaystyle a_{(n)}0=1}$'dir

Fakat bu, geleneksel "üslü kule" formundaki kusurdan dolayı biraz düştü, Fakat şu hiper4 hariç: ${\displaystyle a_{(4)}b=a^{(a^{(b-1)})}}$

n>3 için ${\displaystyle a^{(n)}b}$ nasıl ${\displaystyle a_{(n)}b}$'den çok farklı olabilir ki? Bu, simetriden dolayı, + ve × içinde tanımlanan birleşme olarak adlandırılır (cisime bakınız) fakat ^ eksik.

n	İşlem	Açıklama
0	${\displaystyle b+1}$	artış, ardıl, zarasyon
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b}$
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}}$	Bu üstür.
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=a^{a^{(b-1)}}}$	Tetrasyonla karıştırmayın.
5	${\displaystyle F_{5}(a,b)=(x\to x^{x^{(a-1)}})^{b-1}(a)}$	Pentasyonla karıştırmayın.

• Büyük sayılar

1. ^ Eğer 0.derece dengeli hiperişlem olsaydı ${\displaystyle f(a,b)}$ ardından toplama ${\displaystyle a+b=(x\to f(x,x))^{\log _{2}(b)}(a)}$ olurdu. Bu eşitlikte ${\displaystyle b=1}$ koyarak ${\displaystyle a+1=(x\to f(x,x))^{0}(a)=a}$ elde edilir ki, bu da çelişkidir .