Hipergeometrik fonksiyon

Özel fonksiyonların önemli bir bölümünü oluşturan hipergeometrik fonksiyonlar matematik, fizik, mühendislik ve olasılıkta karşımıza çıkar.

${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ve ${\displaystyle \gamma }$ reel ya da kompleks sabitler olmak üzere ${\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{\gamma }}{\frac {x}{1!}}+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{\gamma (\gamma +1)}}{\frac {x^{2}}{2!}}+...}$ olarak ifade edilen seriye Gauss hipergeometrik serisi veya hipergeometrik seri denir. Bu ifade ${\displaystyle 1+x+x^{2}+...}$ geometrik serisinin bir genelleştirilmesi olduğundan bu adı alır.

${\displaystyle \gamma }$ değeri sıfır ya da negatif bir tam sayı olmamalıdır. Hipergeometrik serisi ${\displaystyle \left|x\right|<1}$ için yakınsak, ${\displaystyle \left|x\right|>1}$ için ıraksaktır. ${\displaystyle \left|x\right|=1}$ olduğu zaman ${\displaystyle \gamma >\alpha +\beta }$ ise seri mutlak yakınsaktır. ${\displaystyle x=-1}$ iken ${\displaystyle \gamma >\alpha +\beta -1}$ ise seri yakınsaktır.

Hipergeometrik serisi aşağıdaki şekilde yazılabilir. ${\displaystyle _{2}F_{1}(\alpha ,\beta ;\gamma ;x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(\beta )_{n}}{(\gamma )_{n}}}\,{\frac {x^{n}}{n!}}}$ dir.

Hipergeometrik fonksiyonu ifade eden ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ gösterimi yerine ${\displaystyle F}$ Gösterimide kullanılır. Yani ${\displaystyle F(\alpha ,\beta ;\gamma ;x)=_{2}F_{1}(\alpha ,\beta ;\gamma ;x)}$ olup, bu fonksiyon Gauss hipergeometrik fonksiyonu veya hipergeometrik fonksiyon olarak bilinir.

${\displaystyle \,{}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\dots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}\dots (b_{q})_{n}}}\,{\frac {x^{n}}{n!}}}$ veya ${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)=\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\frac {\Gamma (k+a_{i})}{\Gamma (a_{i})}}\prod _{j=1}^{q}{\frac {\Gamma (b_{j})}{\Gamma (k+b_{j})}}{\frac {z^{k}}{k!}};\quad p,q\in \mathbb {N} _{0},}$ şeklindedir.

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Hipergeometrik dağılım