İçeriğe atla

Hilbert programı

Matematikte, Alman matematikçi David Hilbert tarafından 1920'lerin başında formüle edilen Hilbert'in programı,[1] matematiğin temellerini açıklığa kavuşturmaya yönelik ilk girişimlerin tutarsız olduğu bulunduğunda, matematiğin temel krizine önerilen bir çözümdü. Çözüm olarak Hilbert, mevcut tüm teorileri sonlu, sonlu bir aksiyom dizisine dayandırmayı ve bu aksiyomların tutarlı olduğuna dair bir kanıt sunmayı önerdi. Hilbert, gerçek analiz gibi daha karmaşık sistemlerin tutarlılığının daha basit sistemleri kullanarak kanıtlayabileceğini gösterdi.Sonuçta matematiğin tamamının tutarlılığı temel aritmetiğe indirgenebilir.

Gödel'in 1931'de yayınlanan eksiklik teoremleri, Hilbert'in programının matematiğin kilit alanlarında uygulanamaz olduğunu gösterdi. Gödel, ilk teoreminde, aritmetiği ifade edebilen, hesaplanabilir aksiyomlar dizisine sahip herhangi bir tutarlı sistemin asla sonlu olamayacağını gösterdi: Doğru olduğu kanıtlanabilen, bir ifade oluşturmak mümkündür ancak mevcut formel sistemler kullanılarak türetilemez. İkinci teoreminde ise böyle bir sistemin kendi tutarlılığını kanıtlayamayacağını, dolayısıyla daha güçlü bir şeyin tutarlılığını kesinlikle kanıtlamak için kullanılamayacağını gösterdi. Bu, Hilbert'in sonlu bir sistemin kendi tutarlılığını kanıtlamak için kullanılabileceği ve dolayısıyla geri kalan her şeyi kanıtlayabileceği yönündeki varsayımını çürüttü.

Hilbert Programı'nın Önermeleri

Hilbert'in programının temel amacı tüm matematik alanlarını kapsayacak, sağlam bir temel bulmaktı. Bu temeli, aşağıdaki ilkeler üzerine kuracaktı :

  • Tüm matematiğin formel dille yazılmalı ve iyi tanımlanmış kurallara göre işlemler yapılmalıdır.
  • Bütünlük: Tüm doğru matematiksel ifadelerin formalizmde kanıtlanabileceğinin kanıtı.
  • Tutarlılık: Matematiğin formalizminde hiçbir çelişkinin elde edilemeyeceğinin kanıtı. Bu tutarlılık kanıtı tercihen sonlu matematiksel nesneler hakkında yalnızca "sonlu" akıl yürütmeyi kullanmalıdır.
  • Korunum: "İdeal nesneler" (sayılamayan kümeler gibi) hakkında akıl yürütme kullanılarak elde edilen "gerçek nesneler" hakkında herhangi bir sonucun, ideal nesneler kullanılmadan kanıtlanabileceğinin kanıtı.
  • Değerlendirilebirlik : Herhangi bir matematiksel ifadenin doğruluğuna veya yanlışlığına karar verecek bir algoritma olmalıdır.

Gödel'in Eksiklik Teoremleri

Kurt Gödel, Hilbert'in programının hedeflerinin çoğuna ulaşmanın,kabaca, imkansız olduğunu gösterdi. Gödel'in ikinci eksiklik teoremi, tamsayıların toplama ve çarpma işlemlerini kodlayacak kadar güçlü herhangi bir tutarlı teorinin kendi tutarlılığını kanıtlayamayacağını göstermektedir. Bu Hilbert'in programı için bir zorluk teşkil ediyor:

  • Tüm matematiksel doğru ifadeleri formel bir sistem içinde formelize etmek mümkün değildir, çünkü böyle bir formalizme yönelik herhangi bir girişim bazı doğru matematiksel ifadeleri kapsayamayacaktır.. Peano aritmetiğinin bile yinelemeli olarak numaralandırılabilir aksiyomlar dizisine dayanan tam ve tutarlı bir uzantısı yoktur.
  • Peano aritmetiği gibi bir teori kendi tutarlılığını bile kanıtlayamaz; bu nedenle onun "sonlu" bir alt kümesi, küme teorisi gibi daha geniş teorilerin tutarlılığını kesinlikle kanıtlayamaz.
  • Peano aritmetiğinin herhangi bir tutarlı uzantısında ifadelerin doğruluğuna kanıtlayabilecek bir algoritma yoktur. Açıkça konuşursak, Entscheidungsproblem'e yönelik bu olumsuz çözüm, Gödel teoreminden birkaç yıl sonra ortaya çıktı, çünkü o zamanlar algoritma kavramı kesin olarak tanımlanmamıştı.

Gödel Sonrası Hilbert Programı

Kanıt teorisi, ters matematik ve matematiksel mantık gibi birçok güncel ar aştırma kolu Hilbert'in orijinal programının doğal devamı olarak görülebilir. Hedeflerini biraz değiştirerek çoğu işlevli hale gelebilir (Zach 2005) ve aşağıdaki değişikliklerle bir kısmı başarıyla tamamlanmıştır:

  • Matematiğin tamamını formelize etmek mümkün olmasa da,umumi olarak kullanılan matematiğin tamamını formelize etmek mümkündür. Özellikle Zermelo-Fraenkel küme teorisi, birinci dereceden mantıkla birleştiğinde, neredeyse tüm güncel umumimatematik için tatmin edici ve genel kabul görmüş bir biçimcilik sağlar.
  • Peano aritmetiğini ifade edebilen (veya daha genel konuşmak gerekirse, hesaplanabilir bir aksiyom dizisine sahip) sistemler için tamamlanmışlığığı kanıtlamak mümkün olmasa da, diğer birçok ilginç sistem için bütünlük biçimlerini kanıtlamak mümkündür.Bütünlüğü kanıtlanmış önemsiz olmayan bir teorinin bir örneği, belirli bir karakteristiğe sahip cebirsel olarak kapalı alanlar teorisidir.
  • Güçlü teorilerin sonlu tutarlılık kanıtları olup olmadığı sorusunun yanıtlanması zordur; bunun temel nedeni, "sonlu kanıt"ın genel kabul görmüş bir tanımının olmamasıdır. Kanıt teorisindeki çoğu matematikçi, sonlu matematiğin Peano aritmetiğinin içinde olduğunu düşünüyor ve bu durumda oldukça güçlü teorilerin sonlu kanıtlarını vermek mümkün değil. Öte yandan Gödel, Peano aritmetiğinde formelize edilemeyen sonlu yöntemler kullanılarak sonlu tutarlılık kanıtları bulma olasılığını gördü, bu nedenle hangi sonlu yöntemlerin yürüyeceği konusunda daha açık görüşlü görünüyor. Birkaç yıl sonra Gentzen, Peano aritmetiği için bir tutarlılık kanıtı verdi. Bu ispatın açıkça sonlu olmayan tek kısmı ε 0 ordinaline kadar belirli bir sonlu ötesi tümevarımdı. Eğer bu sonlu ötesi tümevarım sonlu bir yöntem olarak kabul edilirse Peano aritmetiğinin tutarlılığının sonlu bir kanıtı olduğu ileri sürülebilir. Gaisi Takeuti ve diğerleri tarafından ikinci dereceden aritmetiğin daha güçlü alt kümelerine tutarlılık kanıtları verilmiştir ve bu kanıtların tam olarak ne kadar sonlu veya yapıcı olduğu yine tartışılabilir. (Bu yöntemlerle tutarlılığı kanıtlanmış teoriler oldukça güçlüdür ve "sıradan" matematiğin çoğunu içerir.)
  • Peano aritmetiğinde ifadelerin doğruluğuna karar verecek bir algoritma olmamasına rağmen, bu tür algoritmaların bulunduğu pek çok ilginç ve önemsiz olmayan teori vardır. Örneğin Tarski, analitik geometrideki herhangi bir ifadenin doğruluğuna karar verebilecek bir algoritma buldu (daha doğrusu, gerçek kapalı alanlar teorisinin çıkarım yapılabilir olduğunu kanıtladı). Cantor-Dedekind aksiyomu göz önüne alındığında, bu algoritma Öklid geometrisindeki herhangi bir ifadenin doğruluğuna karar veren bir algoritma olarak kabul edilebilir.

Ayrıca bakınız

= Kaynakça

  1. ^ Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri, (Ed.) (2023), "Hilbert's Program", The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Spring 2023, Metaphysics Research Lab, Stanford University, erişim tarihi: 5 Temmuz 2023  Birden fazla yazar-name-list parameters kullanıldı (yardım); Yazar |ad1= eksik |soyadı1= (yardım)

=

  • G. Gentzen, 1936/1969. Die Widerspruchfreiheit der reinen Zahlentheorie. Matheatische Annalen 112:493–565. Gerhard Gentzen'in toplanan makaleleri, ME Szabo (ed.), 1969'da 'Aritmetiğin tutarlılığı' olarak tercüme edilmiştir.
  • D.Hilbert. 'Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre'. Matheatische Annalen 104:485–94. W. Ewald tarafından 'Temel Sayılar Teorisinin Temellendirilmesi' olarak çevrilmiştir, s. 266–273, Mancosu (ed., 1998) Brouwer'dan Hilbert'e: 1920'lerde matematiğin temelleri üzerine tartışma, Oxford University Press. New York.
  • SG Simpson, 1988. Hilbert'in programının kısmi gerçekleştirilmeleri (pdf) . Sembolik Mantık Dergisi 53:349–363.

Dış Bağlantılar

  • R.Zach, 2006. Hilbert'in Programı O Zaman ve Şimdi. Mantık Felsefesi 5:411–447, arXiv:math/0508572 [math.LO]

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Matematik</span> nicelik, yapı, uzay ve değişim gibi konularla ilgilenen bilim dalı

Matematik ; sayılar, felsefe, uzay ve fizik gibi konularla ilgilenir. Matematikçiler ve filozoflar arasında matematiğin kesin kapsamı ve tanımı konusunda görüş ayrılığı vardır.

<span class="mw-page-title-main">Matematik felsefesi</span>

Matematik felsefesi, matematiğin varlıksal, bilgisel ve yöntemsel sorunlarını inceleyen, matematiğin temelleriyle ilgili ana kavramları irdeleyen bir felsefe dalıdır.

<span class="mw-page-title-main">Doğal sayılar</span> sayma sayıları kümesine 0ın eklenmesiyle oluşan sayılar kümesi

Doğal sayılar, şeklinde sıralanan tam sayılardır ve kimi tanımlamalara göre 0 sayısı da bu kümeye dâhil edilebilir. Aralarında standart ISO 80000-2'nin de bulunduğu bazı tanımlar doğal sayıları 0 ile başlatır ve bu durum negatif olmayan tam sayılar için 0, 1, 2, 3, ... şeklinde bir karşılık bulurken, bazı tanımlamalar 1 ile başlamakta ve bu da pozitif tam sayılar için 1, 2, 3, ... şeklinde bir eşlenik oluşturur. Doğal sayıları sıfır olmadan ele alan metinlerde, sıfırın da dahil edildiği doğal sayılar bazen tam sayılar olarak adlandırılırken diğer bazı metinlerde bu terim, negatif tam sayılar da dahil olmak üzere tam sayılar için kullanılmaktadır. Özellikle ilkokul seviyesindeki eğitimde, doğal sayılar, negatif tam sayıları ve sıfırı dışlamak ve saymanın ayrık yapısını, gerçek sayıların bir karakteristiği olan ölçümün sürekliliğiyle karşıtlık oluşturmak amacıyla sayma sayıları olarak adlandırılabilir.

Tersine matematik, belirli bir teoremi ispatlamak için gerekli olan en az sayıdaki aksiyomların belirlenmesiyle ilgili matematik dalıdır. Çoğunlukla taban (kurucu) aksiyomları zayıf olan matematiksel kuramlarda ortaya atılan birçok teoremin teoremi kanıtlamak için gerekli olan ek aksiyoma denk olduğu ortaya çıkmaktadır.

Matematiğin temelleri olarak bilinen matematik dalı matematiğin tümü için geçerli olan en temel kavramları ve mantıksal yapıları inceler. Sayı, küme, fonksiyon, matematiksel tanıt, matematiksel tanım, matematiksel aksiyom, algoritma gibi kavramlar Matematiksel mantık, Aksiyomatik Küme Teorisi, Tanıtlama Teorisi, Model Teorisi, Hesaplama teorisi, Kategori Teorisi gibi yine matematiğim temelleri olarak anılan alanlarda incelenir. Bununla birlikte matematiğin temellerinin araştırılması matematik felsefesinin ana konularından biridir. Bu daldaki can alıcı soru matematiksel önermelerin hangi nihai esaslara göre "doğru" ya da "gerçek" kabul edilebileceğidir.

<span class="mw-page-title-main">Matematiksel ispat</span> ilgilenilen bir önermenin, belirli aksiyomlar esas alınarak, doğru olduğunu gösterme yöntemi

Matematiksel ispat, matematiksel bir ifade için türetilmiş varsayımların mantıksal olarak doğru olduğu sonucunu garantileyen, çıkarımsal bir argümandır. Argüman, teoremler gibi önceden oluşturulmuş diğer ifadeleri kullanabilir; lakin prensipte her delil, kabul edilen çıkarım kurallarıyla birlikte yalnızca aksiyom olarak bilinen belirli temel veya orijinal varsayımlar kullanılarak oluşturulabilir.

<span class="mw-page-title-main">Fermat'nın son teoremi</span> sayılar teorisinde n>2 tam sayısı için xⁿ+yⁿ=zⁿ ifadesinin non-trivial tam sayı çözümleri olmadığına dair teorem

Fermat'nın Son Teoremi, Fransız matematikçi Pierre de Fermat'nın 17. yüzyılda öne sürdüğü, 1994 yılında İngiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından kanıtlanan teorem.

Eksiklik Teoremi, Kurt Gödel'in 1931 yılında doktorasında yer verdiği "Principia Mathematica Gibi Dizgelerin Biçimsel Olarak Karar Verilemeyen Önermeleri Üzerine" başlıklı makalesinde 4. önerme olarak geçer. Sezgisel olarak matematikte belitlere (aksiyom) dayanan her sistemin tutarlı olması dahilinde eksik olması gerektiğini bildirir.

<span class="mw-page-title-main">Kurt Gödel</span> Avusturyalı-Amerikalı matematikçi (1906 – 1978)

Kurt Gödel, Avusturyalı-Amerikalı mantıkçı, matematikçi ve matematik felsefecisidir. Kendi ismiyle anılan Gödel'in Eksiklik Teoremi ile tanınır. Aristoteles'ten bu yana en büyük mantıkçılardan biri olarak kabul edilir.

Matematiksel mantık, biçimsel mantığın matematiğe uygulanmasıyla ilgilenen bir matematik dalıdır. Metamatematik, matematiğin temelleri ve kuramsal bilgisayar bilimi alanlarıyla yakınlık gösterir. Matematiksel mantığın temel konuları biçimsel sistemlerin ifade gücünün ve biçimsel ispat sistemlerinin tümdengelim gücünün belirlenmesidir.

Teori veya kuram, bilimde bir olgunun, sürekli olarak doğrulanmış gözlem ve deneyler temel alınarak yapılan bir açıklamasıdır. Kuram, herhangi bir olayı açıklamak için kullanılan düşünce sistemidir. Genel anlamda kuram, bir düşüncenin genel, soyut ve ussal olmasıdır. Ayrıca bir kuram, açıklanabilir genel bağımsız ilkelere dayanmaktadır. Bu ilkelere bağlı kalarak doğada sonuçların nasıl örneklendirileceğini açıklamaya çalışır. Sözcüğün kökü Antik Yunan’dan gelmektedir. Ancak günümüzde birçok ayrı anlamlarda kullanılmaktadır. Kuram, varsayımla (hipotez) aynı anlama sahip değildir. İkisinin de anlamı başkadır. Kuram bir gözlem için açıklanabilir bir çerçeve sağlar ve kuramı sağlayacak olan sınanabilir varsayımlar tarafından desteklenir.

Gerçel analiz ya da bilinen diğer ismiyle reel analiz, matematiksel analizin bir dalıdır. Bu dal, gerçek sayılar ve bu sayılardan türetilen yapılarla ilgili temel kavramları ele alır. Ana konuları arasında diziler, seriler, limitler, süreklilik, türev, integral ve fonksiyon dizileri yer alır. Gerçek analizin incelenmesi, matematiğin diğer alanları için temel araçlar ve yöntemler sağlar.

<span class="mw-page-title-main">Ernst Zermelo</span> Alman mantıkçı ve matematikçi

Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo, çalışmalarının matematiğin temelleri üzerinde büyük etkileri olan bir Alman mantıkçı ve matematikçiydi. Zermelo–Fraenkel aksiyomatik küme teorisini geliştirmedeki rolü ve iyi-sıralılık ilkesi için kanıtıyla tanınır. Ayrıca, 1929'da satranç oyuncularını sıralama üzerine çalışması, ikili karşılaştırma için bu yöntemi kullanan çeşitli uygulamalı alanlar üzerinde derin bir etkisi olmaya devam eden bir modelin ilk tanımıdır.

Tarih boyunca matematiğin konu çeşitliliği ve derinliği artmaktadır, matematiği kavrama, birçok konuyu matematiğin daha genel alanlarına göre sınıflandırma ve düzenleme için bir sistem gerektirir. Bir dizi farklı sınıflandırma şeması ortaya çıkmıştır ve bazı benzerlikleri paylaşsalar da, kısmen hizmet ettikleri farklı amaçlara bağlı olarak farklılıkları vardır. Ek olarak, matematik geliştirilmeye devam ettikçe, bu sınıflandırma şemaları da yeni oluşturulan alanları veya farklı alanlar arasında yeni keşfedilen bağlantıları dikkate alacak şekilde değişmelidir. Farklı alanlar arasındaki sınırı aşan, genellikle en aktif olan bazı konuların sınıflandırılması daha zor hale gelir.

Bu sayfa teoremlerin bir listesidir. Ayrıca bakınız:

Matematik, sayı, uzay, matematiksel yapı ve değişim gibi konuları araştıran bir çalışma alanıdır. Matematik ve bilim arasındaki ilişki hakkında daha fazla bilgi Matematik ve bilim bölümünde bulunabilir.

Matematik konularının listesi, matematik ile ilgili çeşitli konuları kapsar. Bu listelerden bazıları yüzlerce makaleye bağlantı içerir; bazıları sadece birkaç tane ile bağlantılıdır. Bu makale, aynı içeriği, göz atmaya daha uygun bir şekilde organize halde bir araya getirmektedir. Listeler, temel ve ileri matematik, metodoloji, matematiksel ifadeler, integraller, genel kavramlar, matematiksel nesneler ve referans tablolarının özelliklerini kapsar. Ayrıca insanların adını taşıyan denklemleri, matematiksel toplulukları, matematikçileri, matematik dergilerini ve meta listeleri de kapsar.

<span class="mw-page-title-main">Thoralf Skolem</span>

Thoralf Albert Skolem matematiksel mantık ve küme teorisi alanlarında çalışan Norveçli matematikçi.

Tarihte birleşik bir matematik teorisine ulaşmak için çeşitli girişimlerde bulunulmuştur. En büyük matematikçilerden bazıları, tüm konunun tek bir teoriye sığdırılması gerektiği görüşünü dile getirdiler.

Bu Rus matematikçiler listesi, Rusya İmparatorluğu, Sovyetler Birliği ve Rusya Federasyonu'ndan ünlü matematikçileri içermektedir.