Hilbert'in uçlar aritmetiği

Alman matematikçi David Hilbert'in 1871'deki bir makalesinde^[1] incelemiş olduğu hiperbolik geometri'nin Poincaré modeli için verdiği cebirsel geometrik yapı. Doğruların uçlarının oluşturduğu bir cisim ve bu cisim üzerinde tanımlı bir çarpımsal uzaklık fonksiyonu içeriyor. Öklit geometrisine ters olarak, doğruların koordinatları ve noktaların denklemleri bulunuyor.

Hiperbolik geometride her paralel ışın, hiperbolik düzlemin dışında bulunan bir noktada kesişir (bknz. izdüşümsel geometri). Ayrıca her yakınsak paralel ışın sınır çember denilen ideal noktalarda kesişir. Bu yüzden Hilbert, her ışının barındırdığı ideal noktaya "uç" terimini kullanarak her doğrunun tam iki uç ile tanımlanmasını sağlar. Noktayı da bir doğru demeti denklemiyle elde eder.^[2]

Bu şekilde yapılanmış cebirsel geometrinin üzerine bir hiperbolik analitik goemetri veya bir hiperbolik trigonometri inşa edilebilir. Böylece geometrik her problem uçların üzerine tanımlı bir cisim ile cebirsel bir probleme indirgenmiş olur.

Öncelikle, toplama tanımında toplamın varlığını veren üç yansıma teoremini vermek gerekir.

Sav (üç yansıma teoremi).

Ortak uçları ${\displaystyle \omega }$ olan üç tane m, n, p doğrusu verilsin. Ucu ${\displaystyle \omega }$ olan öyle bir dördüncü r doğrusu vardır ki bu doğrudaki yansıma, diğer üç doğrunun yansımalarının çarpımına eşittir.

${\displaystyle \sigma _{r}=\sigma _{m}\sigma _{n}\sigma _{p}}$

ki burada ${\displaystyle \sigma _{d}}$, d doğrusundaki yansımayı ifade eder.

Şimdi buna dayanarak bir toplama tanımı verilebilir. Eğer yukarıdaki savda ${\displaystyle p=\alpha }$, n=0 ve ${\displaystyle m=\beta }$ alınırsa ${\displaystyle r=\alpha +\beta }$ olarak tanımlanabilir:

${\displaystyle \sigma _{\alpha +\beta }=\sigma _{\beta }\sigma _{0}\sigma _{\alpha }}$

ki burada herhangi bir ${\displaystyle \alpha }$ için, ${\displaystyle \sigma _{\alpha }}$ o ucun ${\displaystyle (\alpha ,\infty )}$ doğrusundaki yansımasını ifade eder.

Tanım.

${\displaystyle \infty }$ ucundan farklı herhangi iki ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ uçları ve ${\displaystyle (0,\infty )}$ doğrusundaki bir C noktası verilsin. A noktası, C 'nin ${\displaystyle (\alpha ,\infty )}$ doğrusuna olan yansıması ve B noktası da C 'nin ${\displaystyle (\beta ,\infty )}$ doğrusuna olan yansıması olsun. O halde ${\displaystyle \alpha +\beta }$ toplamı, ${\displaystyle \infty }$ ucundan farklı AB doğrusuna dik gelen kenarortay olarak tanımlanır.

Toplama, iyi tanımlıdır ve (H,+) kümesini birim ögesi 0 olan Abelci bir öbek yapar. Eğer ${\displaystyle H'=H\cup \infty }$ kümesi tanımlanırsa, her uç düzlemdeki yakınsak paralel ışınların bir denklik sınıfı olduğundan, bu küme düzlemdeki tüm uçların kümesi olacaktır. Bu kümedeki her iki uç bir doğruyu temsil ettiğinden, toplama için birim öge niyetine bir doğruyu sabitleyip onu ${\displaystyle (0,\infty )}$ uçlarına eşleyebiliriz.

Çarpmayı tanımlamak için öncelikle ${\displaystyle (0,\infty )}$ doğrusuna O noktasında dik, birim öge niyetine bir doğru çekilebilir. Bu doğrunun bir ucuna 1 ve diğer ucuna da -1 denir. Bu şekilde ${\displaystyle (0,\infty )}$ doğrusunu A ve B noktalarında dik kesen doğruların uçları çarpımı; Öklitçi doğru parçaları cinsinden

OA+OB=OC

eşitliğini sağlayan C noktasındaki dikmenin ucu olarak tanımlanır. Bu tanım aslında, paralel doğruların orijinle olan Öklitçi uzaklıklarının toplamı kadar uzaklıktaki paraleli üretmek sezgisidir. Daha matematiksel olarak,

Tanım.

${\displaystyle (0,\infty )}$ doğrusunu dik açıda A ve B noktalarında kesen ${\displaystyle (\alpha ,-\alpha )}$ ile ${\displaystyle (\beta ,-\beta )}$ doğruları için yine o doğruyu C noktasında kesen ${\displaystyle (\alpha \beta ,-\alpha \beta )}$ doğrusu; A' noktası Anın bakışığı olmak üzere,

BA'=OC

eşliğini sağlayan doğrudur.

Bu tanımın, ${\displaystyle (H,\cdot )}$ kümesini birim ögesi 1 olan değişmeli bir öbek yaptığı kanıtlanabilir. Artık bu iki işlemle birlikte ${\displaystyle (H,+,\cdot )}$ kümesi, birimleri 1 ve 0 olan değişmeli bir cisim olur.