Hermit polinomu

Hermit polinomları, 1810'da Pierre-Simon Laplace tarafından tanımlanmış,^[1][2] ancak pek tanınmayan bir biçimde 1859'da Pafnuty Chebyshev tarafından ayrıntılı olarak incelenmiştir.^[3] Chebyshev'in çalışması gözden kaçmış ve daha sonra 1864'te polinomlar üzerine yazan ve onları yeni olarak tanımlayan Charles Hermite'nin adıyla anılmışlardır.^[4] Sonuç olarak yeni değillerdi, ancak Hermite 1865'teki yayınlarında çok boyutlu polinomları tanımlayan ilk kişi olmuştur.

Diğer klasik dik polinomlar gibi, Hermit polinomları birkaç farklı başlangıç noktasından tanımlanabilir. Hermit polinomlarının tam ortak kullanımı olmadığı için iki farklı denklemi vardır.

• Olasılıkçıların kullandığı Hermit polinomu;

${\displaystyle {\textstyle He_{n}(x)=(-1)^{n}e^{\left({\frac {x^{2}}{2}}\right)}{d^{n} \over dx^{n}}e^{\left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right)}}}$

• Fizikçilerin kullandığı Hermit polinomu;

${\displaystyle {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{d^{n} \over dx^{n}}e^{-x^{2}}}}$

Bu denklemler bir Rodrigues formülü biçimindedir ve şu şekilde de yazılabilir;

${\displaystyle {\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1,\quad H_{n}(x)=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.}}$

İki tanım tam olarak aynı değildir, her biri bir diğerinin yeniden ölçeklendirilmesidir.

${\displaystyle {\displaystyle H_{n}(x)=2^{\frac {n}{2}}{\mathit {He}}_{n}\left({\sqrt {2}}\,x\right),\quad {\mathit {He}}_{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}}$

Olasılıkçıların kullandığı Hermit polinomunun ilk on bir değeri;

${\textstyle {\displaystyle He_{0}(x)=1}}$

${\textstyle {\displaystyle He_{1}(x)=x}}$

${\textstyle {\textstyle He_{2}(x)=x^{2}-1}}$

${\textstyle {\textstyle He_{3}(x)=x^{3}-3x}}$

${\textstyle {\textstyle He_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3}}$

${\textstyle {\textstyle He_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x}}$

${\textstyle {\textstyle He_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15}}$

${\textstyle {\textstyle He_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x}}$

${\textstyle {\textstyle He_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105}}$

${\textstyle {\textstyle He_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x}}$

${\textstyle {\textstyle He_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{3}-945}}$

Fizikçilerin kullandığı Hermit polinomunun ilk on bir değeri;

${\textstyle H_{0}(x)=1}$

${\displaystyle H_{1}(x)=2x}$

${\textstyle H_{2}(x)=4x^{2}-2}$

${\textstyle H_{3}(x)=8x^{3}-12x}$

${\textstyle H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12}$

${\textstyle H_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120}$

${\textstyle H_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120}$

${\textstyle H_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x}$

${\textstyle H_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680}$

${\textstyle H_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x}$

${\textstyle H_{10}(x)=1024x^{10}-2340x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240}$

${\displaystyle n}$ dereceden bir Hermit polinomu ${\displaystyle n}$ dereceli bir polinomdur. Olasılıkçıların(${\displaystyle He_{n}}$) kullandığı Hermit polinomunun ilk terimindeki katsayısı her zaman 1'dir.Fizikçilerin(${\displaystyle H_{n}}$) kullandığı Hermit polinomunun katsayısı ${\displaystyle 2^{n}}$

Olasılıkçıların kullandığı Hermit polinomunun ${\displaystyle n}$'i 2 olsun ve aradaki farkı anlayabilmek için fizikçilerin kullandığı Hermit polinomunun da ${\displaystyle n}$'i 2 olsun

${\displaystyle {\textstyle {\textstyle He_{2}(x)=x^{2}-1}}}$ ilk terimin katsayısı 1 ${\textstyle H_{2}(x)=4x^{2}-2}$ ilk terimin katsayısı 4(${\displaystyle 2^{2}=4}$)

${\displaystyle He_{n}}$ ve  ${\displaystyle H_{n}}$ dereceden polinomları için ${\displaystyle n=1,2,3,4........}$ Bu polinomlar ağırlık işlevine(fonksiyon) göre dikliktir.

${\displaystyle {\displaystyle w(x)=e^{\left({\frac {x^{2}}{2}}\right)}}}$ (${\displaystyle He}$ için)

ya da

${\displaystyle {\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}}}$ (${\displaystyle H}$ için)

Diğer bir deyişle$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)dx=0\qquad m\neq n}$$Ayrıca

${\displaystyle {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\mathit {He}}_{m}(x){\mathit {He}}_{n}(x)\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\sqrt {2\pi }}\,n!\,\delta _{nm},}}$

Ya da

${\displaystyle {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,2^{n}n!\,\delta _{nm},}}$

Burada ${\displaystyle \delta _{nm}}$ Kronecker deltasıdır.

Olasılık polinomları bu nedenle standart normal olasılık yoğunluk fonksiyonuna göre ortogonaldir.

Hermite polinomları (olasılıkçıların veya fizikçilerin), Hilbert fonksiyon uzayının ortogonal bir temelini oluşturur.

${\displaystyle {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}f(x){\bigr |}^{2}\,w(x)\,dx<\infty ,}}$

Ürün kısmının tümlev hali;

${\displaystyle {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,dx}}$