İçeriğe atla

Helmholtz teoremleri

Bardaktaki su girdabı

Akışkanlar mekaniğinde, Helmholtz teoremleri, girdap (vorteks) filamanlarının çevresindeki üç boyutlu akışkan hareketlerini tanımlar. İsmini Hermann von Helmholtz'den alan bu teoremler, viskoz olmayan akışlarda ve viskozite etkisinin az olup göz ardı edilebileceği akışlarda geçerlidir.

Helmholtz'un üç teoremi şöyledir:[1]

Helmholtz'un birinci teoremi:

Bir girdap filamanının şiddeti girdap ekseni boyunca sabittir.

Helmholtz'un ikinci teoremi:

Bir girdap filamanı akışkan içinde son bulamaz: Akışkanın sınırlarına kadar uzanmalı veya kapalı bir eğri oluşturmalıdır.

Helmholtz'un üçüncü teoremi:

Rotasyonel harici kuvvetler yoksa, başlangıçta irrotasyonel olan bir akışkan irrotasyonel kalır.

Helmholtz teoremleri viskoz olmayan akışlar için geçerlidir. Gerçek akışkanlardaki girdapların gözlemlerinde girdapların şiddeti, viskoz kuvvetlerin dağıtıcı etkisi nedeniyle yavaş yavaş azalır.

Üç teorem alternatif olarak aşağıdaki gibi de ifade edilebilir:

  1. Bir girdap tüpünün şiddeti zamanla değişmez.[2]
  2. Belli bir zamanda bir girdap çizgisinde üzerinde bulunan akışkan elemanları, aynı girdap çizgisinde kalmaya devam eder. Daha basitçe anlatmak gerekirse, girdap çizgileri akışkanla birlikte hareket eder. Ayrıca girdap çizgileri ve tüpleri, kapalı bir döngü teşkil etmelidir: ya sonsuza gitmeli ya da katı sınırlarda başlamalı/son bulmalıdır.
  3. Başlangıçta vortisitesiz olan akışkan elemanları vortisitesiz kalırlar.

Helmholtz teoremleri günümüzde genellikle Kelvin'in sirkülasyon teoremi referans alınarak kanıtlansa da aslında Helmholtz teoremleri 1858'de, yani Kelvin'in teoremi yayınlanmadan dokuz yıl önce, yayınlanmıştır.[3]

Notlar

  1. ^ Kuethe and Schetzer, Foundations of Aerodynamics, Section 2.14
  2. ^ Bir girdap tüpünün şiddeti, aşağıdaki gibi gösterilir:
    Denklemde sirkülasyonu temsil eder, vortisite vektörüdür, A yüzeyine dik normal vektörüdür, A yüzeyinin sınırlayan kapalı eğri C üzerindeki hız vektörüdür. Sirkülasyonun işareti A yüzeyine dik normal vektörünün yönüne bağlı olarak sağ el kuralı ile belirlenir. Üçüncü teorem, bu değerin tüpün tüm A kesitleri için aynı olduğunu ve zamandan bağımsız olduğunu belirtmektedir, yani matematiksel olarak:
  3. ^ Helmholtz, H. "Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen". Journal für die reine und angewandte Mathematik (İngilizce). Cilt 55. ISSN 0075-4102. 2 Şubat 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 18 Şubat 2017. 

Kaynakça

  • M. J. Lighthill, An Informal Introduction to Theoretical Fluid Mechanics, Oxford University Press, 1986, ISBN 0-19-853630-5
  • P. G. Saffman, Vortex Dynamics, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-42058-X
  • G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press (1967, reprinted in 2000).
  • Kundu, P and Cohen, I, Fluid Mechanics, 2nd edition, Academic Press 2002.
  • George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th edition, Academic Press: San Diego (1995) pp. 92–93
  • A.M. Kuethe and J.D. Schetzer (1959), Foundations of Aerodynamics, 2nd edition. John Wiley & Sons, Inc. New York ISBN 0-471-50952-3

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Kuvvet</span> kütleli bir cisme hareket kazandıran etki

Fizik disiplininde, kuvvet bir cismin hızını değiştirmeye zorlayabilen, yani ivmelenmeye sebebiyet verebilen - hızında veya yönünde bir değişiklik oluşturabilen - bir etki olarak tanımlanır, bu etki diğer kuvvetlerle dengelenmediği müddetçe geçerlidir. Itme ya da çekme gibi günlük kullanımda yer alan eylemler, kuvvet konsepti ile matematiksel bir netliğe ulaşır. Kuvvetin hem büyüklüğü hem de yönü önemli olduğundan, kuvvet bir vektör olarak ifade edilir. Kuvvet için SI birimi, newton (N)'dur ve genellikle F simgesi ile gösterilir.

Vektör hesaplamada, divergence bir vektör alanının kaynak ya da batma noktasından uzaktaki bir noktada genliğini ölçen işleçtir; yani bir vektör alanının uzaksaması işaretli bir sayıdır. Örneğin ısındıkça genişleyen havanın hızını gösteren bir vektör alanının uzaksaması pozitif olacaktır, çünkü hava genişlemektedir. Eğer hava soğuyup daralıyorsa uzaksama negatif olacaktır. Bu özel örnekte uzaksama yoğunluğun değişiminin ölçüsü olarak düşünülebilir.

<span class="mw-page-title-main">Akışkanlar dinamiği</span> hareket halindeki akışkanların (sıvılar ve gazlar) doğal bilimi

Fizik, fiziksel kimya ve mühendislikte akışkanlar dinamiği, akışkanların akışını tanımlayan akışkanlar mekaniğinin bir alt disiplinidir. Aerodinamik ve hidrodinamik dahil olmak üzere çeşitli alt disiplinleri vardır. Akışkanlar dinamiğinin, uçaklardaki kuvvetlerin ve momentlerin hesaplanması, boru hatları boyunca petrolün Kütle akış hızının belirlenmesi, hava durumu modellerinin tahmin edilmesi, uzaydaki bulutsuların anlaşılması ve fisyon silahı patlamasının modellenmesi dahil olmak üzere geniş bir uygulama yelpazesi vardır.

<span class="mw-page-title-main">Reynolds sayısı</span>

Akışkanlar dinamiği alanında, Reynolds sayısı, farklı durumlarda akışkan akışı desenlerini tahmin etmeye yardımcı olan bir boyutsuz sayıdır ve eylemsizlik kuvvetleri ile viskoz kuvvetler arasındaki oranı ölçer. Düşük Reynolds sayılarında, akışlar genellikle laminer akış tarafından domine edilirken, yüksek Reynolds sayılarında akışlar genellikle türbülanslı olur. Türbülans, akışkanın hız ve yönündeki farklılıklardan kaynaklanır ve bazen bu yönler kesişebilir veya akışın genel yönüne ters hareket edebilir. Bu girdap akımları, akışı karıştırmaya başlar ve bu süreçte enerji tüketir, bu da sıvılarda kavitasyon olasılığını artırır.

Lorentz kuvveti, fizikte, özellikle elektromanyetizmada, elektromanyetik alanların noktasal yük üzerinde oluşturduğu elektrik ve manyetik kuvvetlerin bileşkesidir. Eğer q yük içeren bir parçacık bir elektriksel E ve B manyetik alanın var olduğu bir ortamda v hızında ilerliyor ise bir kuvvet hissedecektir. Oluşturulan herhangi bir kuvvet için, bir de reaktif kuvvet vardır. Manyetik alan için reaktif kuvvet anlamlı olmayabilir, fakat her durumda dikkate alınmalıdır.

Fizikte ve matematikte, matematikçi Hermann Minkowski anısına adlandırılan Minkowski uzayı veya Minkowski uzayzamanı, Einstein'ın özel görelilik kuramının en uygun biçimde gösterimlendiği matematiksel yapıdır. Bu yapıda, bilinen üç uzay boyutu tek bir zaman boyutuyla birleştirilerek, uzay zamanını betimlemek için dört boyutlu bir çokkatlı oluşturulmuştur.

<span class="mw-page-title-main">Cauchy integral teoremi</span> Matematiksel analiz ile ilgili bir teorem

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde, Augustin Louis Cauchy'nin ismine atfedilen Cauchy integral teoremi, karmaşık düzlemdeki holomorf fonksiyonların çizgi integralleri hakkında önemli bir teoremdir.

Matematikte verilmiş bir P noktasındaki ve V vektörü boyuncaki çok değişkenli bir fonksiyonun yönlü türevi sezgisel olarak fonksiyonun P noktasında, V vektörü boyuncaki anlık değişim oranını temsil eder. Bu yüzden, kısmi türev fikrinin genelleştirmesidir çünkü kısmi türevler alınırken yön her zaman koordinat eksenlerine paralel olarak alınmaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Çizgi integrali</span>

Matematikte bir çizgi integrali, integrali alınan fonksiyonun bir eğri boyunca değerlendirildiği integraldir. Çeşitli farklı çizgi integralleri kullanılmaktadır. Kapalı eğrinin kullanıldığı durumlarda integrale kontür integrali denildiği de olmaktadır.

Açısal hız, bir objenin birim zamandaki açısal olarak yer değiştirme miktarına verilen isimdir. Açısal hız vektörel olup bir cismin bir eksen üzerindeki dönüş yönünü ve hızını verir. Açısal hızın SI birimi radyan/saniyedir, ancak başka birimlerde de ölçülebilir. Açısal hız genellikle omega sembolü ile gösterilir. Açısal hızın yönü genellikle dönüş düzlemine diktir ve sağ el kuralı ile bulunabilir.

<span class="mw-page-title-main">Akım fonksiyonu</span>

Akım Fonksiyonu, eksen simetrisi ile üç boyutta olduğu kadar iki boyutta sıkıştırılamaz akışlar için tanımlanır. Akış hızı bileşenleri, skaler akış fonksiyonunun türevleri olarak ifade edilebilir. Akım fonksiyonu, kararlı akıştaki partiküllerin yörüngelerini gösteren akım çizgileri, çıkış çizgileri ve yörüngeyi çizmek için kullanılabilir. İki boyutlu Lagrange akım fonksiyonu, 1781'de Joseph Louis Lagrange tarafından tanıtıldı. Stokes akım fonksiyonu, eksenel simetrik üç boyutlu akış içindir ve adını George Gabriel Stokes'tan almıştır.

<span class="mw-page-title-main">Bernoulli ilkesi</span>

Akışkanlar dinamiğinde Bernoulli prensibi, sürtünmesiz bir akış boyunca, hızda gerçekleşen bir artışın aynı anda ya basınçta ya da akışkanın potansiyel enerjisinde azalmaya neden olduğunu ifade eder. Bernoulli prensibi, adını Hollanda-İsviçre kökenli matematikçi Daniel Bernoulli'den almıştır. Bernoulli bu prensibini 1738 yılında Hydrodynamica adlı kitabında yayınlamıştır.

Hesaplamalı akışkanlar dinamiğinde (HAD), SIMPLE algoritması, Navier-Stokes denklemleri'nin çözümünde sıklıkla kullanılan bir sayısal yöntem. SIMPLE, İngilizce Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equations'ın kısaltmasıdır, Türkçe karşılığı Basınca Bağlı Denklemler için Yarı Kapalı Yöntem'dir.

Aerodinamik bölümünde bahsedilen aerodinamik sürüklenim, bir akışkan yönünde hareket halinde olan herhangi bir katı cisme etki eden akışkan sürüklenim kuvvetine denir. Cisim baz alındığında bu kuvvet cismin yüzeyine etki eden basınç dağılımlarından(Dp) ve cisme etki eden kayma kuvvetlerinden(akışkanlığın sonucu [Df]) meydana gelir. Akışın özelliklerine göre hesaplama yapıldığında sürüklenim kuvveti 3 temel birime bağlıdır : şok dalgaları, girdaplar ve akışkanlık.

Stokes Akışı George Gabriel Stokes tarafından geliştirilmiştir. Aynı zamanda sürünme akışı olarak da adlandırılır. Bu akışlar, advektif Atalet kuvvetlerinin viskoz kuvvetlere göre küçük olduğu akışlardır. Adveksiyon, herhangi bir dinamik davranışta korunan değerlerin parçacıklar veya sistemler arasındaki kütlesel hareket ile taşınımıdır. Atalet kuvvetlerinin küçük olması ise hareketlerin düşük hızlı olduğunu ifade eder. Bunlara bağlı olarak Stokes Akışları Reynolds Sayısının küçük olduğu akışlardaki basitleştirilmiş modeldir. Bu tipik durumun olduğu akışlarda hız oldukça yavaştır ve viskozite çok yüksektir veya karakteristik uzunlukların oranı küçüktür. Sürünme akışı ilk olarak göreceli hareketin küçük olduğu veya statik olan mekanik parçaların yağlanmasında incelenmiştir. Ayrıca bu akış doğada mikroorganizmaların akışkanlar içindeki hareketlerinde gözlenir. Teknolojide ise MEMS’de ve polimerlerde bu akış görülebilir.

<span class="mw-page-title-main">Statik basınç</span>

Akışkanlar mekaniğinde, statik basınç birçok kullanışa sahiptir.

Thales teoremi veya temel orantı teoremi olarak da bilinen kesişme teoremi, kesişen iki çizginin bir çift paralelle kesilmesi durumunda oluşturulan çeşitli çizgi parçalarının oranları hakkındaki temel geometride önemli bir teoremdir. Benzer üçgenlerdeki oranlarla ilgili teoreme eşdeğerdir. Geleneksel olarak Yunan matematikçi Thales'e atfedilir.

<span class="mw-page-title-main">Sürükleme katsayısı</span> bir nesnenin hava veya su gibi sıvı bir ortam içinde sürtünmesi ya da direnç göstermesini nicelendirmek için kullanılan boyutsuz miktar

Akışkanlar dinamiği alanında, sürükleme katsayısı, bir nesnenin hava veya su gibi bir akışkan ortamında maruz kaldığı sürükleme veya direnç miktarını belirlemek için kullanılan bir boyutsuz niceliktir. Sürükleme denkleminde kullanılır ve daha düşük bir sürükleme katsayısı, nesnenin daha az aerodinamik veya hidrodinamik sürüklemeye sahip olacağını ifade eder. Sürükleme katsayısı her zaman belirli bir yüzey alanına bağlı olarak değerlendirilir.

Marangoni sayısı (Ma), yaygın olarak tanımlandığı üzere, Marangoni akışları ile difüzyon taşıma hızını karşılaştıran bir boyutsuz sayıdır. Marangoni etkisi, sıvının yüzey gerilimindeki gradyanlardan kaynaklanan akışıdır. Difüzyon ise yüzey gerilimindeki gradyanı oluşturan maddenin yayılmasıdır. Bu nedenle, Marangoni sayısı akış ve difüzyon zaman ölçeklerini karşılaştıran bir tür Peclet sayısıdır.

Akışkanlar dinamiği alanında, basınç katsayısı bir boyutsuz sayı olup, bir akış alanındaki bağıl basınçları ifade eder. Basınç katsayısı, aerodinamik ve hidrodinamik çalışmalarında kullanılmaktadır. Her bir akış alanında, her konumsal noktanın kendine özgü bir basınç katsayısı, Cp değeri bulunmaktadır.