Harmonik ortalama

Harmonik ortalama, gözlem sonuçlarının (birim değerlerinin) terslerinin aritmetik ortalamasının tersidir.

Birim değerleri x₁, x₂, ..., x_n gibi gösterilirse harmonik ortalama aşağıdaki gibi yazılır:

${\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$

Harmonik ortalama genellikle, ekonomik olaylarda 1 birim ile alınan ortalama miktara veya bir mamülün bir biriminin üretimi için harcanan ortalamaya gereksinim duyulduğunda kullanılır. Harmonik ortalama kısaca H harfi ile gösterilir.

Pozitif gerçek sayıların harmonik ortalaması; ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$^[1]

${\displaystyle H(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}.}$

Bu, karşıtların aritmetik ortalamasının tersidir.

${\displaystyle {\begin{aligned}H(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&={\frac {1}{\displaystyle A\left({\frac {1}{x_{1}}},{\frac {1}{x_{2}}},\ldots {\frac {1}{x_{n}}}\right)}},\\A(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&={\frac {1}{\displaystyle H\left({\frac {1}{x_{1}}},{\frac {1}{x_{2}}},\ldots {\frac {1}{x_{n}}}\right)}},\end{aligned}}}$

Aritmetik ortalama şu şekilde tanımlanır: ${\textstyle A(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$

Harmonik ortalama, Schur-concave bir fonksiyondur ve argümanlarının minimum değeri tarafından baskın bir şekilde tanımlanır. ${\displaystyle \min(x_{1}\ldots x_{n})\leq H(x_{1}\ldots x_{n})\leq n\min(x_{1}\ldots x_{n})}$ şeklindedir. Bu nedenle, harmonik ortalamanın bazı değerleri daha büyük olanlarla değiştirildiğinde (en az bir değer değiştirilmeden) daha büyük hale getirilemeyeceği söylenebilir.

Harmonik ortalama ayrıca Schur-concave fonksiyonu olmasından dolayı güçlü bir özelliktir. Ancak, negatif değerler kullanıldığında ortalamanın fonksiyon olma özelliğini kaybettiği için yalnızca pozitif sayıların kullanılması gerektiğine dikkat edilmelidir.

Yalnız iki tane veri, (${\displaystyle x_{1}}$ ve ${\displaystyle x_{2}}$) elde bulunursa, bunlar için harmonik ortalama H şöyle ifade edilebilir.

${\displaystyle H={\frac {{2}{x_{1}}{x_{2}}}{{x_{1}}+{x_{2}}}}.}$

Bu halde bulunan harmonik ortalama, bu iki sayının aritmetik ortalamasına şöyle ilişkilidir;

${\displaystyle A={\frac {{x_{1}}+{x_{2}}}{2}},}$

ve bu iki verinin geometrik ortalamasi olan G ise

${\displaystyle G={\sqrt {{x_{1}}\cdot {x_{2}}}},}$

Bu harmonik ortalamaya şöyle ilişkilidir:

${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}.}$

Böylece,

${\displaystyle G={\sqrt {{A}{H}}}}$ ,

olur. Bu demektir ki geometrik ortalama, aritmetik ortalama ve harmonik ortalama'nın geometrik ortalaması olur.

Ama çok dikkat edilmelidir ki bu sonuç yalnız ve yalnız iki veri için geçerli olur.

Tüm pozitif veri setlerinde, en az bir eşit olmayan değer çifti bulunan durumlarda, harmonik ortalama her zaman üç Pythagorean ortalamasından en küçüğüdür.^[2] Aritmetik ortalama her zaman en büyüğüdür ve geometrik ortalama ise her zaman bunların ortasında yer alır. (Eğer bir boş olmayan veri setindeki tüm değerler eşitse, bu üç ortalama her zaman birbirine eşit olur; örneğin, {2, 2, 2} kümesinin harmonik, geometrik ve aritmetik ortalamaları hepsi 2'dir.)

Bu, kuvvet ortalamasının M₋₁ özel durumudur;$${\displaystyle H\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=M_{-1}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)={\frac {n}{x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+\cdots +x_{n}^{-1}}}}$$Harmonik ortalama, bir sayı listesinin en küçük elemanlarına güçlü bir şekilde yöneldiğinden, büyük aşırı değerlerin etkisini azaltma ve küçük olanların etkisini artırma eğilimindedir. Aritmetik ortalama, sıklıkla harmonik ortalamanın gerektiği yerlerde yanlış bir şekilde kullanılmaktadır.

Harmonik ortalama, aşağıdaki eşitlikte görüldüğü gibi diğer Pythagorean ortalamaları ile ilişkilidir. Bu, paydanın, n sayısının her bir terimini hariç tutarak çarpımının aritmetik ortalaması olarak yorumlanmasıyla görülebilir. Yani, birinci terim için, ilk terim hariç tüm n sayısını çarparız; ikinci terim için, ikinci terim hariç tüm n sayısını çarparız; ve bu şekilde devam ederiz. Pay, aritmetik ortalamayla ilişkili n hariç tutulduğunda, n kuvvetine sahip geometrik ortalamadır. Böylece n'inci harmonik ortalama, n'inci geometrik ve aritmetik ortalamalarla ilişkilidir.

Genel formül şöyledir:$${\displaystyle H\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)={\frac {\left(G\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\right)^{n}}{A\left(x_{2}x_{3}\cdots x_{n},x_{1}x_{3}\cdots x_{n},\ldots ,x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}\right)}}={\frac {\left(G\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\right)^{n}}{A\left({\frac {1}{x_{1}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},{\frac {1}{x_{2}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},\ldots ,{\frac {1}{x_{n}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}}\right)}}.}$$Eğer birbirine benzemeyen bir sayı kümesi, aritmetik ortalamayı değiştirmeden iki veya daha fazla elemanın birbirinden "yayılmasını" içeren bir ortalama koruyucu yayılmaya tabi tutulursa, harmonik ortalama her zaman azalır.^[3]

• Ağırlıklı harmonik ortalama
• Aritmetik ortalama
• Geometrik ortalama : Verilerin logaritmalarının aritmetik ortalaması.
• Ortalama kare
• Ortalama
• Pisagorik ortalama

• Harmonik Ortalama Hesaplama
• MathWorld'de harmonik ortalama25 Ocak 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Cut-the-Knot sitesinde ortalamalar, aritmetik ve harmonik ortalamalar29 Aralık 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.