Hareket eden mıknatıs ve iletken problemi

Hareketli mıknatıs ve iletken problemi 19. yüzyılda ortaya çıkan, klasik elektromanyetizma ve özel görelilik kesişimi ile ilgili ünlü bir düşünce deneyidir. Mıknatısa göre sabit hız (v) ile hareket eden iletkendeki akım, mıknatısın ve iletkenin referans sistemlerinde hesaplanır. "Sadece "göreli" hareket gözlemlenebilir, diğerlerinin mutlak bir standardı yoktur." diye belirten temel görelilik ilkesi doğrultusunda, deneydeki gözlemlenebilir miktar olan akım, her durumda aynıdır.^[1] Ancak, Maxwell denklemlerine göre, iletkendeki yük, mıknatıs referans sisteminde "manyetik kuvvete" ve iletken referans sisteminde "elektrik kuvvetine" maruz kalır. Aynı olgu, gözlemcinin referans sistemine bağlı olarak iki farklı tanımları var gibi görünebilir.

Michelson-Morley deneyi ile birlikte bu problem, Einstein'ın görelilik kuramının temelini oluşturmuştur.

Albert Einstein'ın 1905'te dünyaya göreliliği sunduğu çalışması, mıknatıs/iletken sorununun tanımıyla başlar. On the Electrodynamics of Moving Bodies25 Nisan 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Farklı referans sistemlerindeki gereklilik tanımlamaları tutarlı olmalarıdır. Tutarlılık bir meseledir, çünkü Newton mekaniği, yükleri yürüten ve akıma yol açan güçler için olan ve Galileo değişmezliği olarak adlandırılan bir dönüşümü öngörürken Maxwell denklemleri olarak ifade edilen elektrodinamik, bu güçlere yol açan alanların Lorentz değişmezliğine göre farklı şekilde dönüştürdüğünü öngörür. Michelson Morley deneyinde açığa çıkan ışık sapması gözlemleri, Lorentz değişmezliğinin geçerliliğini saptadı ve özel göreliliğin gelişmesi Newton mekaniği ile sonuçlanan anlaşmazlığı çözdü. Özel görelilik, Lorentz değişmezliği ile tutarlı olması için, hareketli referans sistemlerindeki güçlerin dönüşümünü gözden geçirmiştir. Bu dönüşümlerin detayları aşağıda tartışılmıştır.

Tutarlılığın yanı sıra, referans sisteminden bağımsız gibi görünen tanımlamaları pekiştirmek iyi olacaktır. Referans sisteminden bağımsız tanımın anahtarı, bir referans sistemindeki manyetik alanların başka referans sisteminde elektrik alanı halini aldığının gözlenmesidir. Aynı şekilde, elektrik alanlarının solenoidal bölümü (elektrik yüklerinden kaynaklanmayan bölümü) başka bir referans sistemi içinde bir manyetik alan haline gelir: yani, solenoidal elektrik alanlar ve manyetik alanlar aynı şeyin görünümleridir.^[2] Bu farklı açıklamaların paradoksunun sadece semantik olabileceği anlamına gelir. B ve E yerine φ ve A skaler ve vektör potansiyelleri kullanan açıklama semantic tuzağın önüne geçer. Lorentz değişmeyen dört vektörü A^α = (φ /c ₀, A) yerini E ve B ^[3] ve çerçeveden bağımsız açıklama (E– B– tanımlamasından daha az visseral de olsa) sağlar.^[4] Açıklamaların alternatif bir birleşmesi, fiziksel varlığı daha sonradan açıklanacak olan elektromanyetik alan tensörü olarak düşünülmektir. Bu tensör hem bileşenler olarak E ve B alanları içerir hem de referansın tüm çerçevelerinde aynı forma sahiptir.

Elektromanyetik alanlar doğrudan gözlemlenemezler. Elektromanyetik alanların varlığı görünebilir yörüngeleri olan yüklü parçacıkların hareketinden anlaşılmaktadır. Elektromanyetik alanlar, yüklü parçacıkların gözlenen hareketlerini açıklar.

Fizikteki güçlü bir koşul, bir parçacığın hareketinin tüm gözlemcileri, parçacığın yörüngesi üzerinde hemfikir olduğudur. Örneğin, eğer bir gözlemci bir parçacığın gözetleme camının merkezi ile çarpıştığını kaydederse, sonrasında tüm gözlemcilerin aynı sonuca ulaşması gerekir. Bu gereklilik, elektromanyetik alanların doğası üzerine ve bu alanların bir referans çerçevesinde diğerine dönüşümü üzerine kısıtlamalar koyar. Ayrıca, alanların ivmeyi ve dolayısıyla yüklü parçacıkların yörüngelerini etkilediği biçime kısıtlamalar koyar.

Belki de en basit örnek ve Einstein'ın 1905'teki özel göreliliği tanıtan çalışmasında bahsettiği mıknatıs alanında hareket eden iletken problemidir. Mıknatıs çerçevesinde iletken manyetik' bir kuvvete maruz kalır. Mıknatısa göre hareket eden bir iletkenin çerçevesinde, iletken elektrik alanına bağlı olarak bir kuvvete maruz kalır. Mıknatıs çerçevesindeki manyetik alanın ve iletken çerçevesindeki elektrik alanın iletkende tutarlı sonuçlar oluşturması gerekir. Einstein'ın zamanı 1905'te, Maxwell denklemleri tarafından temsil edilen alan denklemleri tamamen tutarlıydı. Fakat, Newton'un hareket kanunu, tutarlı parçacık yörüngeleri sağlaması için düzeltilmeliydi.^[5]

Mıknatıs çerçevenin ve iletken çerçevenin Galileo dönüşümü ile ilgili olduğu varsayılarak, iki çerçevedeki alanları ve kuvvetleri hesaplamak basittir. Bu, indüklenen akımın aslında her iki çerçevede aynı olduğunu gösterecektir. Bir yan ürün olarak, bu argüman ayrıca başka çerçevedeki alanlar açısından bir çerçevedeki elektrik ve manyetik alanlar için genel bir formül verir.^[6]

Gerçekte, çerçeveler Galileo dönüşümü tarafından ilişkilendirilmez, ama Lorentz dönüşümleri tarafından ilişkilendirilir. Buna rağmen, bu, ışık hızından çok daha az hızlarda Galileo dönüşümü olacaktır.

İşlemden geçirilmemiş nicelikler, mıknatısın geri kalan çerçevesine karşılık geliyorken işlemden geçirilmiş nicelikler, iletkenin geri kalan çerçevesine karşılık gelir. v iletkenin mıknatısın olduğu referans sistemindeki hızı olsun.

Mıknatısın durgun olduğu referans sisteminde, manyetik alan, mıknatısın yapısı ve şekli tarafından belirlenen sabit bir alandır B(r). Elektrik alan sıfırdır.

Genel olarak, iletkendeki yükün parçacığı q üzerinde elektrik alan ve manyetik alan tarafından kullanılan kuvvet şöyledir (SI birimleri kullanılarak):

${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ),}$

burada ${\displaystyle q\ }$ parçacık yükü, ${\displaystyle \mathbf {v} \ }$ parçacık hızı ve F Lorentz kuvvetidir. Ancak burada, elektrik alanı sıfırdır ve parçacık üzerindeki kuvvet şöyledir:

${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$

İletkenin referans sisteminde, buna göre manyetik alan B', mıknatıs referans sistemindeki manyetik alan B ile şu ilişki içerisinde olacaktır:^[7]

${\displaystyle \mathbf {B} '(\mathbf {x} ',t)=\mathbf {B} (\mathbf {x} '+\mathbf {v} t).}$

Bu referans sisteminde, Maxwell-Faraday denklemi tarafından üretilen bir elektrik alanı vardır:

${\displaystyle \mathbf {\nabla \times E} '=-{\frac {\partial \mathbf {B} '}{\partial t}}\ .}$

B' için yukarıdaki ifadeyi kullanarak,

${\displaystyle \mathbf {\nabla \times E} '=-(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {B} =-\nabla \times (\mathbf {B} \times \mathbf {v} )-\mathbf {v} (\nabla \cdot \mathbf {B} )=-\nabla \times (\mathbf {B} \times \mathbf {v} )}$

(Zincir kuralını ve Gauss'un manyetizma kuralını kullanarak). Bunun şöyle bir çözümü vardır:

${\displaystyle \mathbf {E} '=-\mathbf {B} \times \mathbf {v} =\mathbf {v} \times \mathbf {B} \ .}$

İletkendeki yük q, iletken referans sisteminde durağan olacaktır. Bu nedenle, Lorentz kuvvetinin manyetik kuvvet teriminin hiçbir etkisi yoktur ve yükün üzerindeki kuvvet şöyledir:

${\displaystyle \mathbf {F} '=q\mathbf {E} '=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} \ .}$

Bu, (beklenileceği üzere) kuvvetin her iki referans sisteminde de aynı olduğunu gösterir, böylelikle, indüklenen akım gibi, bu kuvvetin gözlenebilen her bir sonucu da her iki çerçevede aynı olacaktır. Bu, kuvvetin iletkenin referans sisteminde elektrik kuvveti olarak görünmesine rağmen, mıknatısın referans sisteminde manyetik kuvvet olarak görünür. İşte burada manyetik alan ve elektrik alan arasındaki ilişki ortaya çıkmaktadır.

Eğer mıknatısın referans sistemi de elektrik alan içerirse benzer bir takım argümanlar üretilebilir. (Amper-Maxwell denklemi de bu hareketli elektrik alanının, iletkenin referans sistemi içinde manyetik alana nasıl katkıda bulunduğunu açıklayarak devreye giriyor.) Sonuç, genel olarak, şöyledir:

${\displaystyle \mathbf {E} '=\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} }$

${\displaystyle \mathbf {B} '=\mathbf {B} -{\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}\ \mathbf {v} \times \mathbf {E} \ ,}$

boş alandaki c₀ ışık hızı ile birlikte.

Bu dönüşüm kurallarını tamamen Maxwell denklemlerine yerleştirirsek, eğer Maxwell denklemleri bir referans sisteminde doğruysa, bunların diğerinde neredeyse doğru olduğu ama Lorentz dönüşümleri tarafından lehinde yanlış terimler içerdiği görülebilir ve alan dönüşüm denklemleri ayrıca aşağıda verilen ifadelere göre değiştirilmelidir.

V hızında hareket eden referans sistemi içinde, hareketsiz mıknatısın referans sisteminde hiçbir E alanının olmadığı durumdaki Maxwell denklemleri şu şekilde dönüştürülür:

${\displaystyle \ \mathbf {E} '=\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {B} }$

burada

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{(v/c_{0})}^{2}}}}}$

buna Lorentz faktörü denir ve c₀ boş alandaki ışık hızıdır. Bu sonuç, tüm ivmesiz referans sistemlerindeki gözlemcilerin Maxwell denklemleri için aynı forma ulaşması gerekliliğinin bir sonucudur. Özellikle, tüm gözlemcilerin, aynı ışık hızı c₀ değeri gözlemlemeleri gerekir. Bu gereklilik uzay ve zaman için Lorentz dönüşümlerine yol açar. Lorentz dönüşümünü varsayarsak, böylelikle Maxwell denklemlerinin değişmezliği bu örnek için alanın yukarıdaki dönüşümüne yol açar.

Sonuç olarak, yükün üzerindeki kuvvet şöyledir:

${\displaystyle \mathbf {F} '=q\mathbf {E} '=q\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {B} \ .}$

Bu ifade, ${\displaystyle \gamma }$ faktörü tarafından ve göreli olmayan Newton'un hareket yasasından elde edilen ifadeden farklıdır. Özel görelilik, kuvvetlerin ve alanların sürekli dönüştüğü bir şekilde uzay ve zamanı değiştirir.

Alanları farklı olsa da Lorentz kuvveti her iki referans sisteminde de aynı formülle gösterilir, yani:

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[[\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right]]\ .}$

Şekil 1'e bakınız. Basitleştirmek için, manyetik alan z yönünde olsun ve konumu x ekseni boyunca değişsin ve iletken v hızıyla pozitif x yönünde ilerlesin. Sonuç olarak, mıknatısın referans sisteminde iletken hareket eder, Lorentz kuvveti, hem hıza hem de "B" alanına dik doğrultudaki negatif "y" yönünü gösterir. Sadece B alanı nedeniyle yükün üzerindeki kuvvet şöyle ifade edilir:

${\displaystyle F_{y}=-q\ v\ B\ ,}$

iletkenin referans sistemindeyse mıknatıs hareket ediyorken, kuvvet, kuvvet E-alnından kaynaklı olarak yine negatif y yönünde olacaktır.

${\displaystyle {F_{y}}'=q\ E'=-q\ \gamma v\ B.}$

İki kuvvet birbirinden Lorentz faktörü γ kadar farklıdır. Bu fark rölativistik teoride beklenen bir sonuçtur; ancak, referans sistemleri arasındaki uzay-zaman değişimi de göz önünde bulundurulmalıdır.

Görelilik, Maxwell denklemlerinin Lorentz dönüşümleriyle verilen bir uzay-zamanda değişmez kılınmasını sağlar ve bunu dinamikte Newton'un hareket kanunları üzerinde de uygular. Bu örnekte, Lorentz dönüşümleri sadece x yönünde etki eder (göreli hareket sadece x yönü boyuncadır). Zaman ve uzayı birleştiren bağlantılar şöyledir (üssü işareti hareketli iletkenin referans sistemini ifade eder):^[8]

${\displaystyle x'=\gamma (x-vt)\ }$  ${\displaystyle x=\gamma (x'+vt')\ ,}$

${\displaystyle t'=\gamma (t-{\frac {vx}{c_{0}^{2}}})}$  ${\displaystyle t=\gamma (t'+{\frac {vx'}{c_{0}^{2}}})\ .}$

Bu dönüşümler, bir kuvvetin y bileşenindeki değişime neden olur:

${\displaystyle {F_{y}}'=\gamma {F_{y}}\ .}$

Galileo değişmezliğinin aksine, kuvvet Lorentz değişmezliğinde bütün referans sistemlerinde aynı değildir. Fakat Lorentz kuvveti yasası temel alarak yapılan daha önceki analiz:

${\displaystyle \gamma F_{y}\ =-q\ \gamma v\ B\ ,}$    ${\displaystyle {F_{y}}'\ =-q\ \gamma v\ B\ ,}$

tamamen tutarlıdır. Yani yük üzerindeki kuvvetler iki referans siteminde aynı değildir; fakat göreliliğe göre beklendiği gibi dönüşür.

Newton'un hareket yasasını relativistik sürümünü elde etmek için modern bir yaklaşım Maxwell denklemlerinin kovaryant formda ve Newton'un hareket yasasını genelleştiren kovaryant formun bulunmasıyla yazılarak elde edilebilir

Newton'un hareket yasası modern kovaryant gösterimle, alan gücü tensörü olarak yazılabilir:

${\displaystyle mc{du^{\alpha } \over {d\tau }}={{} \over {}}F^{\alpha \beta }qu_{\beta }}$

burada m parçacık kütlesi, q yük ve

${\displaystyle u_{\beta }=\eta _{\beta \alpha }u^{\alpha }=\eta _{\beta \alpha }{dx^{\alpha } \over {d\tau }}}$

parçacığın 4-hız vektörüdür. Burada, ${\displaystyle \tau }$ parçacığın gerçek zamanının c katı, ${\displaystyle \eta }$ Minkowski metriği tensorüdür.

Alan gücü tensörü alan cinsinden aşağıdaki gibi yazılır:

${\displaystyle F^{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&{E_{x}}&{E_{y}}&{E_{z}}\\-{E_{x}}&0&cB_{z}&-cB_{y}\\-{E_{y}}&-cB_{z}&0&cB_{x}\\-{E_{z}}&cB_{y}&-cB_{x}&0\end{matrix}}\right).}$

Alternatif olarak, dört vektörü kullanarak:

${\displaystyle A^{\alpha }=\left(\phi /c,\ A_{x},\ A_{y},\ A_{z}\right)\ ,}$

elektrik ve manyetik alanlarla ilgili olarak:

${\displaystyle \mathbf {E=-\nabla } \phi -\partial _{t}\mathbf {A} }$    ${\displaystyle \mathbf {B=\nabla \times A} \ ,}$

alan tensörü şöyle olur:^[9]

${\displaystyle F^{\alpha \beta }={\frac {\partial A^{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}-{\frac {\partial A^{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}\ ,}$

burada

${\displaystyle x_{\alpha }=\left(-ct,\ x,\ y,\ z\right)\ .}$

Alanlar sabit göreli bir hızla hareket eden referans sistemine göre dönüştürülür:

${\displaystyle {\acute {F}}^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }F^{\alpha \beta },}$

burada ${\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }}$ bir Lorentz dönüşümüdür.

Bu, mıknatıs/iletken probleminde şunu verir:

${\displaystyle \ \mathbf {E} '=\gamma {\mathbf {v} \over c}\times \mathbf {B} ,}$

bu SI ve CGS birimleri arasındaki ilişki dikkate aldığında geleneksel dönüşümle uyumludur. Böylece, Newton'un hareket yasasının Lorentz kuvvetini kullanarak rölativistik düzenlemesini yaparsak, bütün referans sistemleri için aynı olan, parçacığın hareketini tahmin edebiliriz.

• Özel görelilikte mıknatıs ve iletkenler17 Temmuz 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

1. Einstein, A. (1961). Relativity: The Special and General Theory. New York: Crown. ISBN 0-517-02961-8. 
2. Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0. KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi (link)
3. Landau, L. D. and Lifshitz, E. M. (1975). Classical Theory of Fields (Fourth Revised English Edition). Oxford: Pergamon. ISBN 0-08-018176-7. KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi (link)
4. Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X. 
5. C Møller (1976). The Theory of Relativity (Second Edition bas.). Oxford UK: Oxford University Press. ISBN 019560539X. 13 Şubat 2009 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 12 Ekim 2020. KB1 bakım: Fazladan yazı (link)