Hankel dönüşümü

Matematikte Hankel dönüşümü, diğer adıyla Fourier–Bessel dönüşümü, herhangi bir f(r) fonksiyonunu sonsuz sayıda birinci tip Bessel fonksiyonlarının J_ν(kr) oranlı toplamı olarak gösterir. Bu dönüşümde ortogonal temeli oluşturan Bessel fonksiyonlarının hepsi aynı ν mertebesindedir. Bu integral dönüşümü ilk kez matematikçi Hermann Hankel tarafından tasvir edilmiştir. Formülü ve ters dönüşümü sırasıyla şu şekilde verilebilir:^[1]

${\displaystyle F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,\mathrm {d} r}$

${\displaystyle f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,k\,\mathrm {d} k}$

Fourier dönüşümü ile Fourier serisi arasındaki ilişkinin benzeri Hankel dönüşümü ile Fourier-Bessel serisi arasında da vardır. Hankel dönüşümü iki boyutlu Fourier dönüşümünün dairesel olarak simetrik bir versiyonu olarak düşünülebilir; bu nedenle bu dönüşüm fizik ve mühendislikte silindirik veya dairesel simetrinin bulunduğu birçok problemde kullanılır.^[2][3]

Bazı yaygın Hankel dönüşümleri şu şekilde gösterilebilir:^[4]

${\displaystyle f(r)}$	${\displaystyle F_{0}(k)}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\delta (k)}{k}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$
${\displaystyle r}$	${\displaystyle -{\frac {1}{k^{3}}}}$
${\displaystyle r^{3}}$	${\displaystyle {\frac {9}{k^{5}}}}$
${\displaystyle r^{m}}$	${\displaystyle {\frac {2^{m+1}\Gamma \left({\tfrac {m}{2}}+1\right)}{k^{m+2}\Gamma \left(-{\tfrac {m}{2}}\right)}},\quad -2<\Re (m)<-{\tfrac {1}{2}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-k|z|}}{k}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{z^{2}+r^{2}}}}$	${\displaystyle K_{0}(kz),\quad z\in \mathbf {C} }$
${\displaystyle {\frac {e^{iar}}{r}}}$	${\displaystyle {\frac {i}{\sqrt {a^{2}-k^{2}}}},\quad a>0,k<a}$
	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {k^{2}-a^{2}}}},\quad a>0,k>a}$
${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}a^{2}r^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}e^{-{\tfrac {k^{2}}{2a^{2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{r}}J_{0}(lr)e^{-sr}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\pi {\sqrt {(k+l)^{2}+s^{2}}}}}K{\bigg (}{\sqrt {\frac {4kl}{(k+l)^{2}+s^{2}}}}{\bigg )}}$
${\displaystyle -r^{2}f(r)}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{0}}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{0}}{\mathrm {d} k}}}$

${\displaystyle f(r)}$	${\displaystyle F_{\nu }(k)}$
${\displaystyle r^{s}}$	${\displaystyle {\frac {2^{s+1}}{k^{s+2}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(2+\nu +s)\right)}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}(\nu -s))}}}$
${\displaystyle r^{\nu -2s}\Gamma (s,r^{2}h)}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2s-\nu -2}\gamma \left(1-s+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4h}}\right)}$
${\displaystyle e^{-r^{2}}r^{\nu }U(a,b,r^{2})}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma (2+\nu -b)}{2\Gamma (2+\nu -b+a)}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{\nu }e^{-{\frac {k^{2}}{4}}}\,_{1}F_{1}\left(a,2+a-b+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4}}\right)}$
${\displaystyle r^{n}J_{\mu }(lr)e^{-sr}}$	Eliptik integraller ile gösterilebilir.[5]
${\displaystyle -r^{2}f(r)}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{\nu }}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{\nu }}{\mathrm {d} k}}-{\frac {\nu ^{2}}{k^{2}}}F_{\nu }}$

• Hankel matrisi
• Laplace dönüşümü