İçeriğe atla

Hamilton optiği

Hamiltonyan optik[1] ve Lagrange optiği,[2] matematiksel formülasyonlarının büyük bir kısmını Hamilton mekaniği ve Lagrange mekaniği ile paylaşan Geometrik optiğin iki formülasyonudur.

Hamilton Prensibi

Fizikte, Hamilton ilkesi, bir sistemin evriminin , ve parametreleriyle belirtilen iki durum arasında genelleştirilmiş koordinatla tanımlanan bir sabit noktayla (varyasyonun sıfır olduğu bir nokta), hareket fonksiyonu, tanımlandığını belirtir. Başka bir deyişle,

olmak üzere,

koşulu ancak ve ancak iken Euler-Lagrange denklemleri

şartını sağladığında geçerlidir.

Momentum,

olarak tanımlandığında, iken Euler-Lagrange denklemleri,

şeklinde yeniden yazılabilir.

Bu problemin çözümüne farklı bir yaklaşım Hamiltonyen aşağıdaki gibi tanımlanmasını içerir (Lagrange denkleminin Legendre dönüşümünü alarak),

Lagrange'ın parametre 'ya, konumlara ve konumların 'ya göre türevlerine nasıl bağlı olduğuna bakılarak yeni bir diferansiyel denklem seti üretilebilir. Bu türetme, Hamiltonyen mekaniğindeki ile aynıdır, ancak şimdi zamanı genel bir parametre ile değiştirilmiştir. Bu diferansiyel denklemler iken Hamilton denklemleridir.

Hamilton denklemleri birinci dereceden Diferansiyel denklemler iken, Euler-Lagrange denklemleri ikinci derecedir.

Lagrange optiği

Hamilton ilkesi için yukarıda verilen genel sonuçlar Lagrange optiğine uygulanabilir.[3][4] 3 boyutlu Öklid uzayında genelleştirilmiş koordinatlar artık Öklid uzayının koordinatlarıdır.

Fermat İlkesi

Fermat ilkesi, iki sabit nokta arasındaki ve arasındaki ışığın izlediği yolun optik uzunluğunun durağan bir nokta olduğunu belirtmektedir. Bu nokta maksimum, minimum, sabit veya dönüm (büküm) noktası olabilir. Genel olarak, ışık ilerledikçe, uzayda skaler konum alanının değişken kırılma indisi oluşturduğu bir ortamda ilerler yani 3D Öklid uzayında

yazılabilir. Şimdi ışığın x3 ekseni boyunca ilerlediğini varsayarsak, bir ışık ışınının yolu noktasından başlayarak

noktasında bitmek üzere

ile parametrize edilebilir. Bu durumda Hamilton ilkesine kıyasla, genelleştirilmiş koordinatlar

nın rolünü ve koordinatları alırken, ise parametresinin rolünü alır yani parametre ve . Diferansiyel kalkülüs bağlamında bu denklem ,[2]

tarafından verilen ışın boyunca alınan sonsuz küçüklükteki bir yer değiştirme olmak üzere,

olarak yazılabilir. olmak üzere optik Lagrange

şeklinde tanımlanır. Optik yol uzunluğu (OYU) şu şekilde tanımlanır:

burada n, A ve B noktaları arasındaki yol boyunca bir konumun fonksiyonu olarak yerel kırılma indisidir.

Euler-Lagrange denklemleri

Hamilton ilkesi için yukarıda verilen genel sonuçlar Fermat prensibinde tanımlanan Lagrange denklemini kullanarak optiğe uygulanabilir. Fermat prensibine ve parametreleriyle uygulanan Euler-Lagrange denklemleri,

Sonucunu verir, burada , optik Lagrange ve

olarak tanımlanmıştır.

Optik momentum

Optik momentum

Optik momentum aşağıdaki gibi tanımlanır:

ve optik Lagrangian

tanımından yola çıkılarak bu ifade
olarak yeniden yazılabilir. Vektör formatında bu denklem aşağıdaki gibi yazılabilir,

burada bir birim vektördür ve açılar , ve , 'nin sırasıyla ve eksenlerine şekil "optik momentum ”da gösterildiği gibi sırasıyla yaptığı açılardır. Bu nedenle optik momentum şu norma sahiptir

burada n, p'nin hesaplandığı kırılma indisidir. Vektör , ışığın yayılım yönünde işaret eder. Eğer ışık değişken indis optiğinde yayılıyorsa, ışık ışınının yolu eğridir ve vektörü ışık rayına teğettir. Optik yol uzunluğu ifadesi optik momentumun bir fonksiyonu olarak da yazılabilir. olduğunu hesaba katarak, Lagrange denklemi yeniden şöyle yazılabilir,

Ve optik yol uzunluğunun formülü ise aşağıdaki gibi yazılır,

Hamilton denklemleri

Hamilton mekaniğinde olduğu gibi, optikte de Hamilton denklemi için yukarıda karşılığı verilmiş ve denklemleriyle şu şekilde tanımlanır,

Bu ifadeyi Lagrange için

ifadesiyle karşılaştırmak aşağıdaki sonucu verir,

Ve σ =x3 and k=1,2 parametreleriyle optiğe uygulanan Hamilton denklemleri,[5][6]

şeklinde yazılabilir. Burada and olarak alınmıştır.

Uygulamalar

Işığın ekseni boyunca ilerlediği varsayıldığında, yukarıdaki Hamilton denkleminde, ve koordinatları genelleştirilmiş koordinatlar rolünü alırken, σ parametresinin rolünü alır. Yani, parametre ve .

Kırılma ve yansıma

Yansıma

Eğer düzlemi, aşağıda ve altında kırılma indisine sahip medyaları ayırırsa, kırılma indisi bir basamak fonksiyonu ile verilir ve Hamilton denklemlerinden k=1,2 olmak üzere aşağıdaki denklem elde edilir,

Ve böylece ya da çıkarımları yapılabilir. Gelen bir ışık ışını kırılma öncesinde ( düzleminin altında) momentumuna ve kırılma sonrasında ( düzlemi üzerinde) momentumuna sahiptir. Işık ışını kırılmadan önce ekseni (kırıcı yüzeyin normali) ile açısı ve kırılma sonrası ekseni ile açısı yapar. Momentumun ve bileşenleri sabit olduğu için yalnızca 'dan 'ye değişir. Şekil "kırılma", bu kırılmanın geometrisini gösterir; bu kırılma

.
ve
olduğundan, son ifade aşağıdaki gibi yazılabilir

bu ifade Snell kırılma yasasını verir.

“Kırılma” şeklinde görüldüğü üzere, kırıcı yüzeyin normali ekseninin ve

vektörünün yönündedir. Daha sonra
birim normal vektörü aşağıdaki ifadeden elde dilebilir.

burada i ve r, gelen ışın ve kırılmış ışın yönlerindeki birim vektörlerdir. Ayrıca, giden ışın ( yönünde) gelen ışın ( yönünde) ve yüzey normali ile aynı düzlemdedir. Benzer bir argüman, dik açılı yansımalarda yansıma yasası türetilmesinde kullanılabilmektedir, ancak şu an eşitliği, ile sonuçlanmaktadır. Ayrıca, ve , sırasıyla gelen ışın ve kırılmış ışın doğrultusunda birim vektörlerse, yüzeye karşılık gelen normal, kırılma ile aynı ifadeyle, ancak ile verilir

Vektör formunda, eğer , gelen ışın yönünde işaret eden bir birim vektör ise ve , yüzeyin normali ise, kırılan ışınının yönü şöyledir:[3] burada Δ aşağıdaki ifadeye eşittir.

Eğer in<0 ise hesaplamalarda −n kullanılmalıdır. olduğunda, ışık tam iç yansıma gösterir ve yansıyan ışının yansıma ifadesi şu şekilde yazılabilir,

Işınlar ve Dalga cepheleri

Işınlar ve dalga cepheleri

Optik yol uzunluğunun tanımından iken Euler-Lagrange denklemlerinden yararlanılarak, İfadesi yazılabilir. Ayrıca Hamilton denklemlerinin sonuncusunu , yukarıda kanıtlanan eşitliğini ve

denklemini momentum 'nin bileşenlerini dikkate alarak birleştirmek aşağıdaki sonucu verir:

, ışık ışınlarına teğet vektörü olduğundan, Sabit yüzeyler bu ışık ışınlarına dik olmalıdır. Bu yüzeylere Dalga Cephesi denir. Şekil "ışınlar ve dalga cepheleri" bu ilişkiyi göstermektedir. Ayrıca bir ışık ışınına tanjant ve dalga cephesine dikey olan optik momentum gösterilmiştir. Vektör alanı korunan vektör alanıdır. Gradyan teoremi daha sonra optik yol uzunluğuna (yukarıda verilen şekilde) uygulanabilir ve sonuç olarak

elde edilir ve ve noktaları arasındaki eğrisi boyunca hesaplanan optik yol uzunluğu , sadece ve uç noktalarının bir fonksiyonudur ve aralarındaki eğrinin şekli değildir. eğri kapalı ise, özellikle, bu başlar ve aynı noktada sona erer başka bir deyişle olur böylece sonucuna ulaşılır.

Bu sonuç "optik yol uzunluğu" şekli gibi kapalı bir yoluna uygulanabilir ve aşağıdaki denklem elde edilir,

Eğri doğru parçası için optik momentum , eğrisi boyunca bir yer değiştirmesine diktir yani Aynı şey doğru parçası için de geçerlidir. doğru parçası için optik momentum, yer değiştirme ile aynı yöndedir ve doğru parçası için, optik momentum , yer değiştirme ile zıt yönde ve

Optik yol uzunluğu

Ancak integral yönünü tersine çevirerek integralin A'dan D'ye çekilmesi, ds yönü tersine çevirilirse elde dilen eşitlik olur. Bunlar hesaba katıldığında ya da sonuçlarına varılır ve bunları birbirine bağlayan ışın boyunca ve noktaları arasındaki optik yol uzunluğu , ve noktaları arasındaki ışın boyunca optik yol uzunluğu ile aynıdır. Optik yol uzunluğu, dalga cepheleri arasında sabittir.

Faz uzayı

2B faz uzayı

Şekil "2D faz uzayı", üst tarafında iki boyutlu uzayda bazı ışık ışınlarını göstermektedir. Burada olduğundan ışık düzlemi doğrultusunda artan değerleriyle ilerlemektedir. Bu durumda, ve olduğundan ışınının yönü momentumun bileşeni tarafından tamamen tanımlanır verilirse, hesaplanabilir (kırılma indisi değeri verilirse) ve bu nedenle , ışık ışınının yönünü belirlemek için yeterlidir. Işının seyahat ettiği ortamın kırılma indisi ifadesiyle belirlenir.

Örneğin, ışın eksenini, konumunda ortalayan yarıçapı olan bir çember üzerinde ucu bulunan optik bir momentum ile koordinatından kesmektedir. Koordinatını ve momentum 'nin yatay koordinatını , ışını 'yi, eksenini keserken tamamen tanımlar. Bu ışın daha sonra, şeklin alt kısmında gösterildiği gibi uzayında bir nokta ile tanımlanabilir. Uzay 'e faz uzayı denir ve farklı ışık ışınları bu alanda farklı noktalardan temsil edilebilir.

Bu durumda, en üstte gösterilen ışın , alttaki faz uzayında bir nokta ile temsil edilir. ve Işınları arasında bulunan koordinatında ekseni geçen tüm ışınlar, faz uzayında ve noktalarını birbirine bağlayan dikey bir doğru ile temsil edilir. Buna göre, ve ışınları arasında bulunan koordinatında eksenini geçen tüm ışınlar, faz uzayında ve noktalarını birbirine bağlayan dikey bir doğru ile temsil edilir. Genel olarak, ekseni ve arasında geçen tüm ışınlar, faz uzayında bir hacmi ile gösterilir. hacminin sınırındaki ışınlara kenar ışınları denir. Örneğin, ekseni koordinat 'da, ışınlar ve , diğer ışınlar bu ikisi arasında bulunduğu için kenar ışınlarıdır.

Üç boyutlu geometride momentum

with ve verilirse, hesaplanabilir (kırılma indisinin değeri verilir) ve bu nedenle ve ışık ışınının yönünü belirlemek için yeterlidir. ekseni boyunca ilerleyen bir ışın daha sonra düzleminde bir nokta ve bir yönde tanımlanır. Daha sonra, dört boyutlu faz uzayı 'deki bir nokta ile tanımlanabilir.

Etendue korunması

Hacim varyasyonu

Şekil "hacim değişimi" (hacmin varyasyonu), alanı ile sınırlanmış bir hacim 'yi gösterir. Zamanla, sınırı hareket ederse, hacmi değişebilir. Bilhassa, sonsuz küçük alan birimi dışa doğru işaret eden bir birim normali doğrultusunda hızı ile hareket ettiğinde, hacim değişimine şu şekilde yol açar:

Gauss teoreminden yararlanarak, uzayda hareket eden toplam hacminin zaman içerisinde değişimi:

En sağdaki terim, hacim V üzerindeki hacim integrali ve orta terim, hacim 'nin sınır 'sı üzerindeki yüzey integralidir. Ayrıca, , noktalarının hangi hareket ettiği hızdır. Optikte zamanın rolünü üstlenir. Faz uzayında ışık ışını “hızı” ile ilerleyen bir nokta ile tanımlanır. Burada nokta ’e göre türevi temsil eder.

koordinatında koordinatında koordinatında ve koordinatında üzerine yayılmış bir ışık ışını seti, faz uzayında hacmini kaplar. Genel olarak, geniş bir ışın grubu Gauss teoreminin uygulanabileceği faz uzayında büyük bir hacim yi kaplar,

Ve Hamilton denklemlerini kullanarak,

sonucuna varılır. Yani, ve

bu, ışık bir optik sistem boyunca ilerledikçe faz alan hacminin korunması anlamına gelir. Faz uzayında bir dizi ışın tarafından kullanılan hacim, yönündeki optik sistemde ışık ışınları ilerledikçe korunan etendue olarak adlandırılır. Bu Liouville teorisine karşılık gelir ve bu da Hamilton mekaniği için de geçerlidir.

Bununla birlikte, mekanikte Liouville teoremi anlamı, eminin korunması teorisinden oldukça farklıdır. Liouville teoremi aslında doğasında istatistikseldir ve aynı özelliklere sahip, ancak başlangıç koşulları farklı mekanik sistemlerin bir topluluğunun zaman içindeki evrimini ifade eder. Her sistem, faz uzayında tek bir nokta ile temsil edilir ve teorem, faz uzayındaki noktaların ortalama yoğunluğunun zaman içinde sabit olduğunu belirtir. Buna bir örnek, konteynerde dengede mükemmel bir klasik gaz molekülü olacaktır. Bu örnekte boyutlarına sahip olan, faz uzayındaki her nokta, , molekül sayısıdır ve temsil eden noktaların yoğunluğunun istatistiksel bir ortalamasını almaya yetecek kadar büyük bir topluluk olan aynı kapların bir grubunu temsil eder. Liouville teoremine göre, tüm kaplar dengede kalırsa puanların ortalama yoğunluğu sabit kalır.[3]

Görüntüleme ve görüntülemesiz optik

Etenduenin korunumu

Şekil "etendue korunumu" solda, ve olduğu diyagramsal iki boyutlu bir optik sistemi gösterir, bu nedenle ışık x3 değerleri artan yönünde ilerler. Noktanın noktasındaki optik giriş alanını geçen ışık ışınları giriş alanının (şeklin sağ alt köşesi) faz uzayında ve noktaları arasındaki dikey bir çizgi ile temsil edilen kenar ışınları ve arasında bulunur. Giriş alanını geçen tüm ışınlar faz uzayında bir bölge ile temsil edilir.

Ayrıca, noktanın x1 = x0 noktasındaki optik çıkış açıklığından geçen ışık ışınları, çıkış açıklığının faz uzayında ve noktaları arasında dikey bir çizgi ile gösterilen kenar ışınları ve arasında bulunur (sağ üst köşe şekli). Çıkış açıklığından geçen tüm ışınlar, faz uzayında bir bölge ile gösterilir.

Optik sistemdeki etenduenin korunması, giriş alanındaki tarafından işgal edilen faz uzayındaki hacmin (veya bu iki boyutlu durumda olan alanın) çıktı alanındaki tarafından işgal edilen faz uzayındaki hacim ile aynı olması gerektiği anlamına gelir.

Görüntülenen optikte giriş diyaframını 'de geçen tüm ışık ışını olarak çıkış deliğine doğru yönlendirilir. Bu, girişte bir büyütme ile çıktıda bir görüntü oluşturulmasını sağlar. Faz uzayında, bu, girişteki faz uzayındaki dikey çizgilerin çıktıda dikey çizgiler haline dönüştüğü anlamına gelir. Bu, 'da dikey çizgi 'nin 'da dikey çizgi 'ye dönüştürüldüğü durumda olurdu. Görüntüsüz optikte amaç, bir görüntü oluşturmak değil yalnızca giriş ışık aralığından çıkış diyaframına tüm ışığı aktarmaktır. Bu, 'nın kenar ışınları 'yi 'nun kenar ışınlarına dönüştürerek başarılır. Bu, kenar ışınları prensibi olarak bilinir.

Genelleştirmeler

Yukarıdaki Hamilton ilkesinde, ışığın x3 ekseni boyunca ilerlediği farz edildi, ve koordinatları genelleştirilmiş koordinatlar rolünü alırken, parametre rolünü üstlenir, yani parametre ve 'dir. Bununla birlikte, genelleştirilmiş koordinatların kullanımı kadar, ışık ışınlarının farklı parametrizasyonları da mümkündür.

Genel ışın parametrizasyonu

Bir ışık ışınının yolunun, σ'nın genel bir parametre olduğu olarak parametrize edildiği daha genel bir durum düşünülür. Bu durumda, yukarıdaki Hamilton ilkesine kıyasla, ve koordinatları, genelleştirilmiş koordinatlarının olduğu rolünü üstlenirler. Bu durumda optikte Hamilton ilkesinin uygulanması,

ve şimdi ve bu Fermat ilkesinin formuna uygulanan Euler-Lagrange denklemleri aşağıdaki sonucu verir,

burada ve optik Lagrange'dır. Bu durumda da optik momentum şu şekilde tanımlanır:

ve Hamilton denklemlerinde , yukarıda tanımlanan ve için verilen ve fonksiyonlarına karşılık gelen ifade ile tanımlanır.

Ve iken Hamilton denklemlerinin optiğe uyarlanmış hali,

burada ve olarak alınır. Optik Lagrange aşağıdaki gibidir,

ve açıkça parametre 'ya bağlı değildir. Bu nedenle, Euler-Lagrange denklemlerinin tüm çözümleri ışık ışınları için mümkün olmayacaktır, çünkü türevleri optikte meydana gelmeyen üzerine 'nin açık bir bağımlılığa sahiptir.

Optik momentum bileşenleri aşağıdaki yoldan elde edilebilir,

burada ve Lagrange ifadesi aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir,

için bu ifadeyi Hamilton ifadesi ile karşılaştırıldığında, sonucuna ulaşılır. 'nın bileşenlerinden yararlanılarak optik momentum aşağıdaki gibi bulunur,

Başka şekilde seçilebilecek olsa da Optik Hamilton aşağıdaki gibi seçilmiştir:

ve ile tanımlanan Hamilton denklemleri, olası ışık ışınlarını tanımlar.

Genelleştirilmiş koordinatlar

Hamilton mekaniğinde olduğu gibi Hamilton optik denklemlerini genelleştirilmiş koordinatlar ve genelleştirilmiş momenta ve Hamilton işlevi açısından yazmak mümkündür:

burada optik momentum aşağıdaki şekilde verilmiştir:

ve , ve birim vektörlerdir.

Özel bir durum bu vektörlerin ortonormal baz oluşturduğunda görülür. Ortonormal bazda bütün temel birim vektörler birbirine diktir. Bu durumda optik momentum ile birim vektör arasındaki açının kosinüsü ifadesine eşittir.

Ayrıca bakınız

Vikiversite'de
Hamilton optiği ile ilgili kaynaklar bulunur.

Kaynakça

  1. ^ H. A. Buchdahl, An Introduction to Hamiltonian Optics, Dover Publications, 1993, 978-0486675978.
  2. ^ a b Vasudevan Lakshminarayanan et al., Lagrangian Optics, Springer Netherlands, 2011, 978-0792375821.
  3. ^ a b c Chaves, Julio (2015). Introduction to Nonimaging Optics, Second Edition. CRC Press. ISBN 978-1482206739. 26 Kasım 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 22 Şubat 2023. 
  4. ^ Roland Winston et al., Nonimaging Optics, Academic Press, 2004, 978-0127597515.
  5. ^ Dietrich Marcuse, Light Transmission Optics, Van Nostrand Reinhold Company, New York, 1972, 978-0894643057.
  6. ^ Rudolf Karl Luneburg,Mathematical Theory of Optics, University of California Press, Berkeley, CA, 1964, p. 90.

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Türev</span> Fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimini hesaplama tekniğidir.

Matematikte türev, bir fonksiyonun tanımlı olduğu herhangi bir noktada değişim yönünü veya hızını veren temel bir kavramdır. Tek değişkenli bir fonksiyonun tanım kümesinin belli bir noktasında türevi, fonksiyonun grafiğine bu noktada karşılık gelen değerde çizilen teğet doğrunun eğimidir. Teğet doğru, tanım kümesinin bu noktasında fonksiyonun en iyi doğrusal yaklaşımıdır. Bu nedenle türev genellikle anlık değişim oranı ya da daha açık bir ifadeyle, bağımlı değişkendeki anlık değişimin bağımsız değişkendeki anlık değişime oranı olarak tanımlanır. Bir fonksiyonun türevini teorik olarak bulmaya türev alma denilir. Eğer bir fonksiyonun tanım kümesindeki her değerinde hesaplanan türev değerlerini veren başka bir fonksiyon varsa, bu fonksiyona eldeki fonksiyonun türevi denir.

Klasik mekanikte momentum ya da devinirlik, bir nesnenin kütlesi ve hızının çarpımıdır; (p = mv). Hız gibi, momentum da vektörel bir niceliktir, yani büyüklüğünün yanı sıra bir yöne de sahiptir. Momentum korunumlu bir niceliktir ; yani bu, eğer kapalı bir sistem herhangi bir dış kuvvetin etkisi altında değilse, o kapalı sistemin toplam momentumunun değişemeyeceği anlamına gelir. Momentum benzer bir konu olan açısal momentum ile karışmasın diye, bazen çizgisel momentum olarak da anılır.

<span class="mw-page-title-main">Navier-Stokes denklemleri</span> Akışkanların hareketini tanımlamaya yarayan denklemler dizisi

Navier-Stokes denklemleri, ismini Claude-Louis Navier ve George Gabriel Stokes'tan almış olan, sıvılar ve gazlar gibi akışkanların hareketini tanımlamaya yarayan bir dizi denklemden oluşmaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Mie saçılması</span>

Mie saçılması veya Mie teorisi, düzlem bir elektromanyetik dalganın (ışık) homojen bir küre tarafından saçılmasını ifade eder. Maxwell denklemlerinin Lorenz–Mie–Debye çözümü olarak da bilinmektedir. Denklemlerin çözümü sonsuz bir vektör küresel harmonik serisi şeklinde yazılır. Saçılma ismini fizikçi Gustav Mie'den almaktadır; analitik çözümü ilk kez 1908 yılında yayınlanmıştır.

<span class="mw-page-title-main">Katı cisim dinamiği</span>

Katı-cisim dinamiği, dış kaynaklı kuvvetler karşısında hareket eden birbiri ile ilişkili sistemlerin analizini inceler. Her bir gövde için, cisimlerin katı olduğu ve bu nedenle uygulanan kuvvetler nedeni ile deforme olmadıkları, sistemi tanımlayan taşıma ve dönme parametrelerinin sayısını azaltarak analizi basitleştirmektedir.

Lorentz kuvveti, fizikte, özellikle elektromanyetizmada, elektromanyetik alanların noktasal yük üzerinde oluşturduğu elektrik ve manyetik kuvvetlerin bileşkesidir. Eğer q yük içeren bir parçacık bir elektriksel E ve B manyetik alanın var olduğu bir ortamda v hızında ilerliyor ise bir kuvvet hissedecektir. Oluşturulan herhangi bir kuvvet için, bir de reaktif kuvvet vardır. Manyetik alan için reaktif kuvvet anlamlı olmayabilir, fakat her durumda dikkate alınmalıdır.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, çokdeğişirli normal dağılım veya çokdeğişirli Gauss-tipi dağılım, tek değişirli bir dağılım olan normal dağılımın çoklu değişirli hallere genelleştirilmesidir.

<span class="mw-page-title-main">Fourier serisi</span>

Matematikte, Fourier serileri bir periyodik fonksiyonu basit dalgalı fonksiyonların toplamına çevirir.

Gauss integrali, Euler–Poisson integrali olarak da bilinir, tüm reel sayılardaki ex2 Gauss fonksiyonunun integralidir. Alman matematik ve fizikçi Carl Friedrich Gauss'dan sonra adlandırlıdı. İntegrali şöyledir:

Delta metodu istatistikte, bir asimtotik normal istatistiki tahmin edicinin fonksiyonu için bu tahmin edicinin sınırlayıcı varyans bilgisi kullanılarak yaklaşık bir olasılık dağılımı türetme metodudur. Delta metodu merkezi limit teoreminin genelleştirilmiş hali olarak ele alınabilir.

Görüntü yük yöntemi, elektrostatikte kullanılan bir soru çözüm tekniğidir. İsimlendirmenin kökeni problemdeki sınır koşullarını bazı sanal yükler ile değiştirme yönteminden gelir.

<span class="mw-page-title-main">Fermat ilkesi</span>

Fermat ilkesi, Fermat prensibi ya da en az süre prensibi, Pierre de Fermat tarafından ışık yollarının belirlenmesi için kullanılabilen genel bir ilke. Fermat ilkesine göre bir ışık ışını herhangi iki nokta arasında ilerlerken, izlediği yol en az zamanı gerektiren yoldur.

<span class="mw-page-title-main">Gauss fonksiyonu</span>

Matematikte Gauss fonksiyonu, bir fonksiyon biçimidir ve şöyle ifade edilir:

Doğrusal cebirde veya daha genel ifade ile matematikte matris çarpımı, bir matris çiftinde yapılan ve başka bir matris üreten ikili işlemdir. Reel veya karmaşık sayılar gibi sayılarda temel aritmetiğe uygun olarak çarpma yapılabilir. Başka bir ifade ile matrisler, sayı dizileridir. Bu yüzden, matris çarpımını ifade eden tek bir yöntem yoktur. "Matris çarpımı" terimi çoğunlukla, matris çarpımının farklı yöntemlerini ifade eder. Matris çarpımının anahtar özellikleri şunlardır: Asıl matrislerin satır ve sütun sayıları, ve matrislerin girişlerinin nasıl yeni bir matris oluşturacağıdır.

<span class="mw-page-title-main">Elektromanyetizmanın eşdeğişim formülasyonu</span>

Klasik manyetizmanın eşdeğişimli formülasyonu klasik elektromanyetizma kanunlarının(özellikle de, Maxwell denklemlerini ve Lorentz kuvvetinin) Lorentz dönüşümlerine göre açıkça varyanslarının olmadığı, rektilineer eylemsiz koordinat sistemleri kullanılarak özel görelilik disiplini çerçevesinde yazılma sekillerini ima eder. Bu ifadeler hem klasik elektromanyetizma kanunlarının herhangi bir eylemsiz koordinat sisteminde aynı formu aldıklarını kanıtlamakta kolaylık sağlar hem de alanların ve kuvvetlerin bir referans sisteminden başka bir referans sistemine uyarlanması için bir yol sağlar. Bununla birlikte, bu Maxwell denklemlerinin uzay ve zamanda bükülmesi ya da rektilineer olmayan koordinat sistemleri kadar genel değildir.

Matematikte, Green kuramı basit, kapalı bir C eğrisi etrafındaki çizgi integrali ile C eğrisinin sınırlandırdığı D düzlem bölgesi üzerindeki çift katlı integral arasındaki ilişkiyi verir. Teorem adını matematikçi George Green'den almıştır ve daha genel hâli olan Stokes teoreminin iki boyuttaki özel durumudur.

18. yy. ve sonrasında geliştirilmiş, genellikle vektörel mekanik olarak nitelendirilen ve orijinalinde Newton mekaniği olarak bilinen analitik mekanik, klasik mekaniğin matematiksel fizik kaynaklarıdır. Model harekete göre analitik mekanik, Newton’un vektörel enerjisinin yerine, hareketin iki skaler özelliği olan kinetik enerjiyi ve potansiyel enerjiyi kullanır. Bir vektör, yön ve nicelik ile temsil edilirken bir skaler, nicelik ile(yoğunluğu belirtirken) temsil edilir. Özellikle Lagrange mekaniği ve Hamilton mekaniği gibi analitik mekanik de, sorunları çözmek için bir sistemin kısıtlamalarının ve tamamlayıcı yollarının kavramını kullanarak klasik mekaniğin kullanım alanını etkili bir şekilde yapılandırır. Schrödinger, Dirac, Heisenberg ve Feynman gibi kuram fizikçileri bu kavramları kullanarak kuantum fiziğini ve onun alt başlığı olan kuantum alan teorisini geliştirdiler. Uygulamalar ve eklemelerle, Einstein’a ait kaos teorisine ve izafiyet teorisine ulaşmışlardır. Analitik mekaniğin çok bilindik bir sonucu, modern teorik fiziğin çoğunu kaplayan Noether teoremidir.

Matematiksel fizikte, hareket denklemi, fiziksel sistemin davranışını, sistem hareketinin zamanı ve fonksiyonu olarak tanımlar. Daha detaya girmek gerekirse; hareket denklemi, matematiksel fonksiyonların kümesini "devinimsel değişkenler" cinsinden izah eder. Normal olarak konumlar, koordinat ve zaman kullanılır ama diğer değişkenler de kullanılabilir: momentum bileşenleri ve zaman gibi. En genel seçim genelleştirilmiş koordinatlardır ve bu koordinatlar fiziksel sistemin karakteristiğinin herhangi bir uygun değişkeni olabilirler. Klasik mekanikte fonksiyonlar öklid uzayında tanımlanmıştır ama görelilikte öklid uzayı, eğilmiş uzay ile tanımlanmıştır. Eğer sistemin dinamiği biliniyor ise denklemler dinamiğin hareketini izah eden diferansiyel denklemlerin çözümleri olacaktır.

<span class="mw-page-title-main">Lagrange mekaniği</span> Klasik mekaniğin yeniden formüle edilmesi

Lagrange mekaniği, klasik mekaniğin yeniden formüle edilmesidir. İtalyan-Fransız matematikçi ve astronom Joseph-Louis Lagrange tarafından 1788’de geliştirilmiştir.

Hamilton mekaniği klasik mekaniğin tekrar formüle edilmesiyle geliştirilmiş ve Hamilton olmayan klasik mekanik ile aynı sonuçları öngörmüş bir teoridir. Teoriye daha soyut bir bakış açısı kazandıran Hamilton mekaniği klasik mekaniğe kıyasla farklı bir matematiksel formülasyon kullanmaktadır. Tarihi açıdan önemli bir çalışma olan Hamilton mekaniği ileriki yıllarda istatistiksel mekanik ve kuantum mekaniği konularının da geliştirilmesine önemli katkılarda bulunmuştur.