İçeriğe atla

Hackenbush

Hackenbush oyunu için bir başlangıç konumu

Hackenbush, matematikçi John Horton Conway[1] tarafından icat edilen iki oyunculu bir oyundur. Birbirlerine ve bir "zemin" çizgisine uç noktaları ile bağlı renkli çubukların herhangi bir konfigürasyonunda oynanabilir.

Oynanış

Oyun; oyuncuların bir "zemin" çizgisi (genelde, kağıdın veya diğer oyun alanının altındaki yatay bir çizgi) ve her biri zemine doğrudan bir ucu ile veya dolaylı yoldan, başka çubuklar aracılığıyla bağlı çubuklar çizmesiyle başlar. Bir noktada birden fazla çubuk buluşabilir ve bu nedenle toprağa giden birden fazla yol olabilir.

Sıraları geldiğinde, oyuncular istedikleri herhangi bir çubuğu "keser" (siler). Zemine bağlantısı kalmayan diğer çubuklar düşer (silinir). Kombinatoryal oyun teorisinin standart kuralına göre, hamle yapamayan ilk oyuncu, oyunu kaybeder.

Hackenbush tahtaları, sonlu ("sonlu oyun" durumunda) veya sonsuz sayıda ("sonsuz oyun" durumunda) çubuktan oluşabilir. Sonsuz sayıda çubuğun varlığı, oyun teorisinin, yere doğrudan "değen" sadece sonlu sayıda çubuk olması koşuluyla, oyunun sonlu bir süre içinde bitirilebileceği varsayımını ihlal etmez. Sonsuz bir tahtada, tahtanın düzenine bağlı olarak, yere değen sonsuz çubuk olduğu varsayılırsa oyun sonsuza kadar devam edebilir.

Varyantlar

Matematiksel Oyunlarınız için Kazanma Yolları kitabında tanıtılan bir mavi-kırmızı Hackenbush kız

Hackenbush'ın orijinal folklor versiyonunda, her oyuncunun istediği her çubuğu kesme hakkı vardır ve bir tarafsız oyun olduğundan, Sprague-Grundy teoremini kullanarak tam bir analiz yapmak nispeten kolaydır. Bu nedenle, Hackenbush'un kombinatoryal oyun teorisini ilgilendiren versiyonları daha karmaşık partizan oyunlardır, yani bir pozisyonda bir oyuncunun yapabileceği hamleler ile sıra diğer oyuncuda olsaydı yapabileceği hamleler her daim aynı olmak zorunda değildir. Bu, iki farklı yolla sağlanabilir:

  • Orijinal Hackenbush: Tüm çubuklar aynı renktedir ve her iki oyuncu tarafından da kesilebilir. Bu, her oyuncunun mevcut pozisyonda aynı hamle seçeneklerine sahip olduğu anlamına gelir.
  • Mavi-Kırmızı Hackenbush : Her bir çubuk ya kırmızı ya da mavi renklidir. Bir oyuncunun (genellikle birinci veya soldaki oyuncu) yalnızca mavi çubukları kesmesine izin verilirken diğer oyuncunun (genellikle ikinci veya sağdaki oyuncu) yalnızca kırmızı çubukları kesmesine izin verilir.
  • Mavi-Kırmızı-Yeşil Hackenbush : Her bir çubuk kırmızı, mavi veya yeşil renklidir. Temel kuralları mavi-kırmızı Hackenbush ile aynıdır ancak ek olarak her iki oyuncunun da kesebildiği yeşil çubuklar vardır.

Mavi-kırmızı Hackenbush, aslında mavi-kırmızı-yeşil Hackenbush'ın özel bir durumudur, ancak analiz edilmesi genellikle çok daha basit olduğu için ayrı olarak belirtilmeye değer. Bunun nedeni, mavi-kırmızı Hackenbush'ın bir soğuk oyun olmasıdır, bu da oyuna başlamanın hiçbir zaman avantajlı olmayacağı anlamına gelir.

Analiz

Hackenbush, Sayılar ve Oyunlar ve Matematik Oyunlarınız için Kazanma Yolları kitaplarında kullanılmasının ardından, sıklıkla kombinatoryal oyun teorisindeki tanımları ve kavramları göstermek için örnek bir oyun olarak kullanılmıştır. Mavi-Kırmızı Hackenbush gerçeküstü sayılar oluşturmak için kullanılabilir: sonlu Mavi-Kırmızı Hackenbush tahtaları ikili rasyonel sayılar oluşturabilirken, sonsuz Mavi-Kırmızı Hackenbush tahtaları gerçek sayıları, sıral sayıları ve hiçbirine dahil olmayan daha birçok sayıyı oluşturur. Mavi-Kırmızı-Yeşil Hackenbush ise yıldız ve diğer minberler gibi reel sayı olmayan değerlere sahip oyunları oluşturmakta kullanılabilir.

Oyunun ileri analizi; oyun tahtasını bir düğümler ve yollar bütünü olarak düşünüp, zeminden her düğüme giden yol incelenip, çizge teorisi kullanılarak yapılabilir. (Zemin çizgisi Hackenbush tahtasındaki gibi bir çizgi yerine özel bir düğüm olarak ele alınabilir.)

Hackenbush'ın tarafsız versiyonunda (oyunculara özel renkler olmayan), oyunu birkaç durum halinde analiz ederek nim yığınları olarak görebiliriz. Bu durumlar dikey, yakınsak ve ıraksaktır. Dikey çubuklardan oluşan yığınlara bambu sapları adı da verilir ve bu şekildeki yığınlar doğrudan Nim olarak analiz edilebilir. Iraksak yığınlar veya diğer adıyla ağaçlar birbirlerinden ayrıldıkları bölgeden itibaren ele alınır ve bu noktadan itibaren uzunluklarının nim toplamına eşit tek bir bambu sapı ile değiştirilebilirler. Bu ilkeye kolon prensibi adı verilir. Diğer bir yığın çeşidi de yakınsak yani belli bir noktada birleşen dallar içindir. Füzyon ilkesini kullanarak, herhangi bir döngüdeki tüm köşelerin grafiğin değerini değiştirmeden birbirine kaynaşabileceğini söyleyebiliriz.[2] Bu nedenle, herhangi bir yakınsak grafik, basit bir bambu sapı grafiği olarak da yorumlanabilir. Üç tür kümeyi bir araya getirerek, oyunun nim toplamını hiç değiştirmeden oyunu karmaşıklaştırabilir, böylece Nim stratejilerinin oyunda yer almasını sağlayabiliriz.

Kolon İlkesinin Kanıtı

Kolon İlkesi, aynı noktadan çıkan dalların tümü yerine, hepsinin nim toplamına eşit tek bir dal koyulabileceğini söyler. G bir ağaç olsun, G üzerinde bir x noktası seçelim. G1 = G x : H 1 ve G 2 = Gx : H2... olmak üzere alt ağaçlar seçelim. Gx : Hi , ifadesi de x noktasından çıkan bir Hi ağacı anlamına gelsin. Bir oyuncu herhangi bir. Gi , ağacında toplam nim değerini azalacak bir hamle yapabilir, bu durum ağaçların toplam nim değerine sahip tek bir çubuk için de geçerlidir. Yani bu durum kolon ilkesine ters düşmez. Bir oyuncu herhangi bir ağacın değerini azaltacak ama toplam değeri arttıracak şekilde bir hamle yapabilir. Bu duruma bir örnek: *2 + *3 (=*1) şeklindeki bir oyunda yapılabilecek *2 + *1 (=*3) hamlesidir. bu durumda N oyunundan *M oyununa yapılacak bir hamle; "M >= N olmak üzere *M den *N'e hamle bulunur" kuralına dayanarak geri alınabilir, yani sonuç başlangıç değeri ile aynı olur, bu yüzden *M hamlesi hiç yapılamıyormuş gibi düşünülebilir. Rakibin bu hamleyi geri çevirmek yerine farklı bir pozisyon oluşturarak kendisi için daha avantajlı bir durum elde etme olasılığı var ise, *N den *M'e yapılacak hamle verimsiz bir hamledir ve oyun teorisinin: "oyuncular her zaman en ideal hamleleri yapar" kuralına ters düşer, bu yüzden benzer şekilde bu hamle yok kabul edilebilir. Bu kurallar göz önünde bulundurulduğunda x noktasında yapılacak hamlelerin sadece *N'den *K'ye K<=M koşulunu sağlayan hamleler olduğunu görebiliriz. Bu durum *N değerini taşıyan tek bir sap için de geçerli olduğundan kolon ilkesi ile yapılan hiçbir değişimin aslında oyun değerine etki etmediğini görebiliriz

Kaynakça

  1. ^ What is Hackenbush? 29 Ocak 2022 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at geometer.org
  2. ^ Winning ways for your mathematical plays. 2nd. Conway, John H. (John Horton), Guy, Richard K. Natick, Mass.: A.K. Peters. 2 Ocak 2004. ISBN 9781568811420. OCLC 45102937. 
  • John H. Conway, Sayılar ve Oyunlar Üzerine, 2. baskı, AK Peters, 2000.

Dış bağlantılar

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Satranç</span> İki oyuncu ile oynanan, turnuvaları düzenlenen ve birçok farklı türü olan zeka oyunu

Satranç, iki oyuncu arasında satranç tahtası ve taşları ile oynanan bir masa oyunudur. Dünya çapında turnuvaları düzenlenir ve bir spor dalı olarak kabul edilir.

<span class="mw-page-title-main">Xiang qi</span> satrancın Çin ve Doğu Asya versiyonu

Xiang qi : Satrancın Çin ve Doğu Asya versiyonudur.

<span class="mw-page-title-main">Şogi</span> oyun

Japon satrancı veya Kumandanlar Oyunu olarak da bilinen Şogi ya da Shōgi, Japonya kökenli, satrançla akraba iki kişilik soyut kombinatoryal ve eksiksiz enformasyonlu bir strateji oyunudur. Satranç ailesi içinde Japonya’da en yaygın oynanan çeşit olup 17 Kasım’da bayramı kutlanır. Shōgi, Japoncada kumandanın masa oyunu anlamına gelir.

<span class="mw-page-title-main">Senet (oyun)</span>

Senet, Antik Mısır döneminde oynanan ve geçmişi M.Ö. 5000 yıllarına dayanan, bilinen en eski masa oyunudur.

Oyun teorisi veya Oyun kuramı, istatistik, sosyal bilimler, biyoloji, mühendislik, siyasi bilimler, bilgisayar bilimleri kullanılan meşhur teoridir. Oyun teorisi, bireyin başarısının diğerlerinin seçimlerine dayalı olduğu seçimler yapması olan bazı stratejik durumların matematiksel olarak davranış biçimlerini yakalamaya çalışır. İlk başlarda bir bireyin kazancının ötekinin zararına olduğu yarışmaları çözümlemek için geliştirilmişse bile, daha sonradan birçok kısıta dayanan çok geniş bir etkileşim alanını incelemeye başlamıştır. Bugün:

Oyun teorisi, sosyal kelimesinin geniş anlamda insan ve insan-dışı oyuncuları kapsayacak biçimde tanımlandığı, sosyal bilimlerin rasyonel yönü için bir birleşik alan kuramı veya bir tür şemsiyedir.

<span class="mw-page-title-main">Snooker</span> bilardo varyantı

Snooker, 22 topla oynanan, Britanya'da popüler olan bir bilardo türüdür. Oyunun amacı çuha kaplı masadaki topları isteka kullanarak masanın her köşesinde dört tane ve uzun kenarın ortasında iki tane olmak üzere 6 tane deliğe belli kurallara ve sıralamaya bağlı kalarak sokmaktır. Oyunun açılışında; bir adet "isteka topu" olarak anılan beyaz top, 15 tane kırmızı top ve bunlara ilaveten birer tane 6 farklı renkte top vardır.

<span class="mw-page-title-main">Conway'in Hayat Oyunu</span>

Yaşam Oyunu ya da Hayat Oyunu, 1970'te İngiliz matematikçi John Horton Conway tarafından geliştirilmiş bir hücresel otomattır. Sıfır oyunculu bir oyundur. Diğer bir deyişle bu oyun; hiçbir oyuncunun oynamadığı, insansız bir oyundur. Başlangıçtaki veriler dışında oyuna etki edilmemesi amaçlanır.

<span class="mw-page-title-main">Dart</span> spor

Dart, iç içe renkli halkalardan ve bunları kesen üçgen dilimlerden oluşan bir hedefe, ufak okların (dartların) elle atılarak saplanması suretiyle oynanan bir spordur. Dünyada en yaygın oynanan türünde belirli bir skordan başlanarak geriye gidilir ve tam olarak sıfır puana ilk ulaşan taraf o eli kazanır. TDK, İngilizce kökenli darta karşılık olarak oklama sözcüğünü önermiştir.

Bir olasılık dağılımı bir rassal olayın ortaya çıkabilmesi için değerleri ve olasılıkları tanımlar. Değerler olay için mümkün olan tüm sonuçları kapsamalıdır ve olasılıkların toplamı bire eşit olmalıdır. Örneğin, bir rassal olay olarak madeni paranın tek bir defa havaya atılıp yere düşmesi ele alınsın; değerler 'yazı' veya 'tura' veya bunlar isimsel değişken ölçeğinde ifade edilirse 0 (yazı) veya 1 (tura) olur; olasılıklar ise her iki değer için ½ olacaktır. Böylece madeni bir paranın tek bir defa atılma olayı için iki değer ve ilişkili iki olasılık bu rassal olayın olasılık dağılımı olur. Bu dağılım ayrık olasılık dağılımıdır; çünkü sayılabilir şekilde ayrı ayrı sonuçlar ve bunlara bağlı olan pozitif olasılıklar vardır.

Piyon, satranç oyunundaki en zayıf ve sayıca en fazla olan taştır. Satranç bir savaş oyunu olarak düşünülürse piyonlar bu savaştaki en yalın asker olan piyadeyi temsil eder. Satranç oyununda her oyuncu oyuna sekiz piyonla başlar. Bu piyonlar oyuncunun gördüğü taraftan bakıldığında satranç tahtasının ikinci sırasını kaplar. Piyonların başlangıç konumu beyaz taşlarla oynayan oyuncu için a2, b2, c2, d2, e2, f2, g2 ve h2, siyah taşlarla oynayan oyuncu için a7, b7, c7, d7, e7, f7, g7 ve h7 kareleridir. Piyonlar karşı takımın son yatayına ulaştığında at, fil, kale veya vezire terfi edebilir.

<span class="mw-page-title-main">Satranç türevi</span>

Bir satranç türevi, satranç oyunundan türetilmiş, bu oyunla ilgili ya da bu oyuna benzer bir oyundur.

<span class="mw-page-title-main">Sonsuz</span> matematik ve fizikte herhangi bir sonu olmayan şeyler ve sayılar

Sonsuz, eski Yunanca Lemniscate kelimesinden gelmektedir, çoğunlukla matematik ve fizikte herhangi bir sonu olmayan şeyleri ve sayıları tarif etmekte kullanılan soyut bir kavramdır.

Shannon sayısı, 10120, olası satranç oyunlarının toplam sayısına dair tahminin alt sınırı olarak kabul edilir. Bu sayı, bilgi teorisyeni Claude Shannon tarafından 1950 tarihli "Bir Bilgisayarı Satranç Oynamaya Programlamak" adlı tezine dayanak olarak hesaplanmıştır. (Bu tez, satrancın programlanması alanına öncülük etmiştir.) Shannon şöyle yazmıştır:

Satrançta mükemmel bir oyun oynamak ya da bu işi yapabilecek bir bilgisayar yaratmak olasıdır. Bu, her durum için olası tüm hamleleri göz önüne alma ve rakibin bu hamlelere nasıl karşılık vereceğini hesaplama yoluyla yapılır. Bu yöntem oyun sonuna dek sürdürülür. Oyun sonlu bir hamle sayısında bitecektir (50 hamle kuralı göz önüne alınırsa). Bu varyasyonların her biri kazanç, kayıp ya da beraberlikle sonuçlanır. Oyunu sondan başlayarak inceleyen biri; zafer, beraberlik ya da yenilgi durumunda olduğunu görebilir. Ne var ki, günümüzün yüksek hızlı elektronik hesap makineleri bile böyle bir hesaplamayı yapamaz. Sade bir satranç oyununda beyazın tek bir hamlesine karşılık siyahın yaklaşık (20*20=400) hamlesi vardır. Ortalama bir satranç oyununun taraflardan birinin 40. hamlede çekilmesiyle sonuçlandığı göz önüne alınırsa bu hesaplama akılcı görünebilir ancak bu durumda bile oyunun başlangıcından itibaren hesaplanacak varyasyon sayısı 10120'dir. Bir varyasyonu (değişimi) hesaplaması 1 mikrosaniye süren bir makine ilk hamlesini yapabilmek için 1090 yıla gerek duyacaktır!
<span class="mw-page-title-main">Matematiksel oyun</span> Matematiksel parametrelerle tanımlanan oyun

Bir matematiksel oyun, kuralları, stratejileri ve sonuçları açık matematiksel parametrelerle tanımlanan bir oyun'dur. Genellikle bu tür oyunların tic-tac-toe ve dots and boxes gibi basit kuralları ve eşleştirme prosedürleri vardır. Genel olarak, matematiksel oyunların daha derin hesaplama temelleri içermesi için kavramsal olarak karmaşık olması gerekmez. Örneğin, Mankala kuralları nispeten basit olsa da, oyun kombinatoryal oyun teorisi merceğinden matematiksel kesinlikle analiz edilebilir.

<span class="mw-page-title-main">Kızma birader</span> Alman masa oyunu

Kızma birader 2 ila 4 oyuncu ile oynanan bir masa oyunudur. Alman klasik masa oyunlarindan sayilan bu oyun bir Hint masa oyunu olan Peçiç ile benzerlikler gösterir. Avrupa ülkelerinde '' Ludo '' olarak bilinir.

<span class="mw-page-title-main">Uno (kart oyunu)</span>

UNO!, ABD'de ortaya çıkan bir masa oyunudur. En az 2 kişi ile oynanır. Oyunun amacı eldeki kartları herkesten önce bitirmektir.

Go oyununda pek çok özel terim vardır. Dünyanın pek çok yerinde olduğu gibi, Türkiye'de de bu terimlerin genellikle Japoncaları kullanılır.

Nim oyunu, taş, kibrit çöpü, boncuk, fasulye gibi küçük ve birbirine benzer belli sayıda şeylerle masa üstünde oynanan matematiksel bir strateji oyundur. Oyun taşları masa üstüne belli bir düzende yerleştirilir. Oyuncular sırayla ve belli kurallara bağlı olarak taşları alıp kenara koyarlar. Ortada kalan son taşı kimin aldığı oyunu kimin kazandığını ya da kaybettiğini belirler.

<span class="mw-page-title-main">Ur Kraliyet Oyunu</span> Antik Mezopotamya kökenli kutu oyunu

Ur Kraliyet Oyunu, bilinen diğer adıyla Yirmi Kare Oyunu ya da kısaca Ur Oyunu, ilk olarak MÖ 3.000'lerin başlarında antik Mezopotamya'da oynanan iki oyunculu strateji yarış türünde bir masa oyunudur. Döneminde Orta Doğu'da tüm sosyal statüdeki insanlar arasında popüler olmuş ve oyunun tahtaları, Girit ve Sri Lanka gibi Mezopotamya dışındaki yerlerde de bulunmuştur. Popülerliğinin zirvesindeyken manevi bir önem kazanmış ve oyundaki olayların bir oyuncunun geleceğini yansıttığına ve tanrılardan veya diğer doğaüstü varlıklardan mesajlar taşıdığına inanılmıştır. Ur Oyunu, Geç Antik Çağ'a kadar popülerliğini korumuş ve muhtemelen zamanla tavlanın ilk biçimlerinden birine dönüşmüş ya da yerini tavlaya bırakmıştır. Neticede Hindistan'ın Koçi kentindeki Yahudi nüfusu dışında her yerde unutulmuş ve bu halk, İsrail'e göç etmeye başladıkları 1950'lere kadar oyunun bir versiyonunu oynamaya devam etmiştir.

Jarmo, iki oyuncu ile birlikte tahta üzerinde oynanan bir savaş stratejisi oyunudur. Tatar söylencesine göre Cengiz Han'ın torunu Altınordu Devleti'nin kurucusu Batu Han, askeri seferleri sırasında bu oyunu yanında taşırdı.


Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.