Grupoid

Matematikte, özellikle kategori teorisi ve homotopi teorisinde bir grupoid için (nadiren Brandt grupoidi veya sanal grup olarak da anılır) grup kavramı birden fazla eşdeğer yolla açıklanabilir. Bir grupoid şu iki şekilde genelleştirilir:

• İkili işlemin yerini alan bir kısmi fonksiyon ilişkisindeki grup;
• Her morfizmanın ters çevrilebilir olduğu kategorideki grup.

Grupoidler genellikle manifoldlar gibi geometrik nesneler hakkında akıl yürütmek için kullanılır. Heinrich Brandt (1927), Brandt yarı-grupları (Brandt Semigroup) aracılığıyla dolaylı olarak grupoidleri tanıtmıştır.^[1]

Bir ${\displaystyle \ f\colon X\to Y}$ fonksiyonunu düşünelim. Boş kümeden farklı herhangi bir ${\displaystyle A\subseteq X}$ alt kümesi için ${\displaystyle \ f\colon A\to Y}$ şeklinde tanımlı fonksiyona kısmi fonksiyon denir.

Bir ${\displaystyle \ G}$ grupoidi ${\displaystyle {}^{-1}\colon G\to G}$ şeklinde tanımlı tekli işlem ile ${\displaystyle \ *\colon G\times G\to G}$ kısmi fonksiyonu ile tanımlanan ve her ${\displaystyle a,b,c\in G}$ için aşağıdaki özellikleri sağlayan bir kümedir.

(i) Bileşim: Eğer ${\displaystyle (a*b)}$ ve ${\displaystyle (b*c)}$ tanımlı ise ${\displaystyle (a*b)*c}$ ${\displaystyle =a*(b*c)}$ ’dir.

(ii) Tersinirlik:${\displaystyle \ a^{-1}*a}$ ve ${\displaystyle \ a*a^{-1}}$ tanımlıdır.

(iii) Özdeşlik: Eğer ${\displaystyle \ a*b}$ tanımlı ise

• ${\displaystyle a*b*b^{-1}=a}$,

• ${\displaystyle a^{-1}*a*b=b}$.

Ek olarak da

• ${\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}$

• ${\displaystyle (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}}$ özellikleri sağlanır.

Bir grupoid, içindeki her morfizmanın bir izomorfizma olduğu küçük ve bağlantılı bir kategoridir.

Tanımı daha açık bir şekilde görebilmek için rastgele bir kategorik teorisel ${\displaystyle G}$ grupoidi alalım. Bu grupoid aşağıdaki özellikleri sağlar.

(i) ${\displaystyle G}$ grupoidi, nesnelerden oluşan bir ${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$ kümesi içermektedir.

(ii) ${\displaystyle G}$ grupoidi, her ${\displaystyle x,y\in }$ ${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$ nesneleri için ${\displaystyle x}$’ten ${\displaystyle y}$’ye tanımlı morfizmaların oluşturduğu bir ${\displaystyle \operatorname {mor} (x,y)}$ kümesini içerir. Bu kümeden alınan bir ${\displaystyle f}$ morfizması ${\displaystyle f\colon x\to y}$ şeklinde gösterilir.

(iii) Her ${\displaystyle x\in }$ ${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$ nesnesi için ${\displaystyle \operatorname {id} _{x}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)}$’dir.

(iv) Her ${\displaystyle x,y,z\in \operatorname {ob} (G)}$ için ${\displaystyle x}$’ten ${\displaystyle y}$’ye giden ve ${\displaystyle y}$’den ${\displaystyle z}$’ye giden morfizmaların bileşkesi şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle \operatorname {comp} _{x,y,z}}$ ${\displaystyle \colon }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (y,z)\times \operatorname {mor} (x,y)\to \operatorname {mor} (x,z)}$öyle ki ${\displaystyle (g,f)\mapsto gf}$

(v) Her ${\displaystyle x,y\in }$ ${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$ için ${\displaystyle x}$ nesnesinden ${\displaystyle y}$ nesnesine giden morfizmaların tersi şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle \operatorname {inv} \colon \operatorname {mor} (x,y)\to \operatorname {mor} (y,x)}$

${\displaystyle f\mapsto f^{-1}}$

ve ${\displaystyle \operatorname {inv} }$ fonksiyonu her ${\displaystyle f\colon x\to y}$, ${\displaystyle g\colon y\to z}$ ve ${\displaystyle h\colon z\to w}$ morfizmaları için aşağıdaki özellikleri sağlar:

• ${\displaystyle f\operatorname {id} _{x}=f}$ ve ${\displaystyle \operatorname {id} _{y}f=f}$.

• ${\displaystyle (hg)f=h(gf)}$.

• ${\displaystyle ff^{-1}=}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{y}}$ ve ${\displaystyle f^{-1}f=}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{x}}$.

Kategori teorisel bir G grupoidi alalım. Eğer her ${\displaystyle x,y\in G}$ için ${\displaystyle \operatorname {mor} (x,y)}$ kümesi boş kümeden farklı ise ${\displaystyle G}$’ye bağlı grupoid denir.

Her grup bir grupoiddir. Örnek olarak (${\displaystyle \mathbb {Z} ,+}$) grubunu düşünelim. Grupoidin grup teorisindeki tanımını kullanarak bu grubun bir grupoid olduğunu gösterelim. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ kümesini ve ${\displaystyle +\colon \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ operatörünü ele alacağız. Rastgele ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} }$ alalım.

(i) Bileşim: ${\displaystyle (a+b)}$ ve ${\displaystyle (b+c)}$’nin tanımlı olduğunu biliyoruz. O halde +’nın Z üzerinde bileşim özelliğini sağladığından ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ elde edilir.

(ii) Tersinirlik: Her ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ için ${\displaystyle a^{-1}}$ vardır ve ${\displaystyle a^{-1}=-a\in \mathbb {Z} }$ olur. Bunun yanı sıra ${\displaystyle (-a)+a=0\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle a+(-a)=0\in \mathbb {Z} }$ özellikleri de sağlanır.

(iii) Özdeşlik: ${\displaystyle (a+b)}$ tanımlı olduğu için

• ${\displaystyle a+b+b^{-1}=a+0=a}$,

• ${\displaystyle a^{-1}+a+b=0+b=b}$ olur.

Sonuç olarak (${\displaystyle \mathbb {Z} ,+}$) bir grupoiddir.

Nesneleri vektör uzayları ve morfizmaları birebir ve örten lineer (doğrusal) fonksiyonlar olan bir ${\displaystyle G}$ kategorisi grupoid belirtir. Kategori teorisindeki grupoid tanımını kullanarak ${\displaystyle G}$’in bir grupoid olduğunu gösterelim.

(i) ${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$ ${\displaystyle =\left\{V\mid V\ {\text{bir vektör uzayı}}\right\}}$.

(ii) ${\displaystyle \operatorname {mor} (G)}$ ${\displaystyle =\left\{T\colon V\to W\mid T{\text{ birebir ve örten lineer fonksiyon}}\right\}}$

(iii) Rastgele bir ${\displaystyle V\in }$ ${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$ nesnesi alalım. Bariz bir şekilde ${\displaystyle \operatorname {id} _{V}\colon V\to V}$ birim fonksiyonu birebir, örten ve lineer olduğundan ${\displaystyle \operatorname {id} _{V}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (G)}$ olur.

(iv) Herhangi üç ${\displaystyle V,U,W\in }$ ${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$nesneleri alalım. ${\displaystyle \operatorname {mor} (G)}$ kümesinden ${\displaystyle T_{1}\colon V\to U}$ ve ${\displaystyle T_{2}\colon U\to W}$ şeklinde tanımlı iki morfizma düşünelim. ${\displaystyle T_{1}}$ ve ${\displaystyle T_{2}}$’nin birebir, örten ve lineer fonksiyonlar olduğunu biliyoruz. ${\displaystyle T_{2}T_{1}\colon V\to W}$ şeklinde tanımlı bileşke fonksiyonunun birebir, örten ve lineer olduğunu göstermeliyiz.

• İki birebir fonksiyonun bileşkesi de birebir olacağından ve ${\displaystyle T_{1}}$ ile ${\displaystyle T_{2}}$ birebir olduğundan ötürü ${\displaystyle T_{2}T_{1}}$ birebirdir.

• İki örten fonksiyonun bileşkesi örten olduğundan ${\displaystyle T_{2}T_{1}}$ örten bir fonksiyon olur.

• İki lineer fonksiyonun bileşkesinin de lineer olduğu bilindiğinden ${\displaystyle T_{2}T_{1}}$ de lineer bir fonksiyon olur.

Sonuç olarak ${\displaystyle T_{2}T_{1}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (V,W)}$ olur ve dolayısıyla

${\displaystyle \operatorname {comp} _{V,U,W}\colon \operatorname {mor} (U,W)\times \operatorname {mor} (U,V)\to \operatorname {mor} (V,W)}$ öyle ki; ${\displaystyle (T_{2},T_{1})\mapsto T_{2}T_{1}}$ şeklinde tanımlanabilir.

(v) Herhangi iki ${\displaystyle V,U\in }$ ${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$ nesneleri ve rastgele bir ${\displaystyle T\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (V,U)}$ morfizması ele alalım. ${\displaystyle T}$ birebir ve örten olduğundan ${\displaystyle T^{-1}\colon U\to V}$ vardır. ${\displaystyle T}$ lineer bir fonksiyon olduğundan ${\displaystyle T^{-1}}$ de lineerdir. Sonuç olarak ${\displaystyle T^{-1}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (U,V)}$ olur. Bu örnekte morfizmalar fonksiyon olduğundan rastgele alınan ${\displaystyle T_{1}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (V,U)}$, ${\displaystyle T_{2}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (U,W)}$ ve ${\displaystyle T_{3}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (W,Z)}$ morfizmaları için aşağıdaki özellikler de sağlanmaktadır:

•${\displaystyle T_{1}\operatorname {id} _{V}=T_{1},\operatorname {id} _{U}T_{1}=T_{1}}$.

•${\displaystyle (T_{3}T_{2})T_{1}(x)=T_{3}(T_{2}T_{1})(x),\forall x\in V}$ .

•${\displaystyle T_{1}T_{1}^{-1}=\operatorname {id} _{U},T_{1}^{-1}T_{1}=\operatorname {id} _{V}}$.

Sonuç olarak ${\displaystyle G}$ bir grupoiddir.

Herhangi bir ${\displaystyle X}$ topolojik uzayı ele alalım. Bu uzaydaki bir noktadan başka bir noktaya giden yollar kategori teorisinde bir grupoid belirtir.^[2] Bu yolların kümesine ${\displaystyle G}$ diyerek nesneler ve morfizmalar kümelerini aşağıdaki gibi tanımlayalım:

(i) ${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$ ${\displaystyle =X}$

(ii) ${\displaystyle \operatorname {mor} (G)}$ ${\displaystyle =\left\{[\varphi ]\mid \varphi \colon [0,1]\to X{\text{ bir yol}}\right\}}$.

Burada ${\displaystyle \operatorname {mor} (G)}$ kümesi homotopi denklik sınıflarından oluşmaktadır. Rastgele bir ${\displaystyle [\varphi ]\in \operatorname {mor} (G)}$ aldığımızda bu eleman ${\displaystyle \varphi }$'ye homotopik olan yolları içermektedir.^[3]

(iii) Rastgele bir ${\displaystyle x\in X}$ nesnesi alalım. ${\displaystyle \operatorname {id} _{x}\colon x\to x}$ fonksiyonunun ${\displaystyle x}$’ten ${\displaystyle x}$’e giden bir morfizma olduğunu gösterelim. ${\displaystyle \operatorname {id} _{x}\colon [0,1]\to X}$ fonksiyonu bir yol olup bariz bir şekilde ${\displaystyle \operatorname {id} _{x}\in [\operatorname {id} _{x}]}$olur. Sonuç olarak ${\displaystyle \operatorname {id} _{x}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} G(x,x)}$ denilir.

(iv) Rastgele ${\displaystyle x,y,z\in }$ ${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$alalım. Herhangi iki ${\displaystyle [\varphi _{1}]\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} G(x,y)}$, ${\displaystyle [\varphi _{2}]\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} G(y,z)}$ morfizmalarını düşünelim. O zaman

${\displaystyle [\varphi _{2}][\varphi _{1}]\colon }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} G(y,z)\times }$${\displaystyle \operatorname {mor} G(x,y)\to }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} G(x,z)}$ öyle ki ${\displaystyle (\varphi _{2},\varphi _{1})\mapsto [\varphi _{2}][\varphi _{1}]}$

${\displaystyle [\varphi _{2}][\varphi _{1}]=[\varphi _{2}\varphi _{1}]}$ iyi tanımlıdır, çünkü ${\displaystyle \varphi _{2}\varphi _{1}\colon x\to z}$ şeklinde ${\displaystyle X}$ uzayında bir yol belirtir. Sonuç olarak ${\displaystyle [\varphi _{2}][\varphi _{1}]\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} G(x,z)}$’dir.

(v) Rastgele ${\displaystyle x,y\in }$${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$ ve ${\displaystyle [\varphi ]\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} G(x,y)}$ alalım. Bariz bir şekilde ${\displaystyle [\varphi ^{-1}]\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} G(y,x)}$'dir.

Grupoidin grup teorisindeki tanımı ile kategori teorisindeki tanımı birbirine denktir.

İspatını yaparken, bir ${\displaystyle G}$ grupoidi, kategori teorisindeki gibi tanımlansın diyelim. Bu grupoidin grup teorisindeki tanımın özelliklerini sağladığını göstereceğiz. ${\displaystyle G}$ grupoidi kategori teorisindeki tanıma göre ikisi de boş kümeden farklı nesneler kümesinden ve morfizmalar kümesinden oluşur. Bu kümelere sırasıyla ${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$ ve ${\displaystyle \operatorname {mor} (G)}$ diyelim. Rastgele bir ${\displaystyle x\in }$ ${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$ nesnesi alalım. ${\displaystyle x}$’ten x’e giden morfizmaların kümesi ${\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)}$'in bileşim, tersinirlik ve özdeşlik özelliklerini sağladığını gösterelim.

(i) Bileşim: Rastgele ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)}$ alalım. ${\displaystyle G}$’nin kategori teorisindeki tanımına göre ${\displaystyle \varphi _{1}\varphi _{2}}$ ve ${\displaystyle \varphi _{2}\varphi _{3}}$ tanımlıdır. Yine kategori teorisindeki tanıma göre ${\displaystyle (\varphi _{1}\varphi _{2})\varphi _{3}=\varphi _{1}(\varphi _{2}\varphi _{3})}$ özelliği sağlanır.

(ii) Tersinirlik: Herhangi bir ${\displaystyle \varphi \in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)}$ morfizması alalım. Kategori teorisindeki tanıma göre her morfizmanın tersi vardır. Dolayısıyla ${\displaystyle \varphi }$’nin de tersi vardır ve ${\displaystyle \varphi ^{-1}\colon x\to x}$ olur. Bu yüzden ${\displaystyle \varphi ^{-1}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)}$. Tekrar kategori teorisindeki tanıma göre ${\displaystyle \varphi \varphi ^{-1}=id_{x}}$ ve ${\displaystyle \varphi ^{-1}\varphi =id_{x}}$ olur. Sonuç olarak tersinirlik özelliği sağlanır.

(iii) Özdeşlik: Herhangi iki ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)}$ morfizmaları alalım. ${\displaystyle \varphi _{1}\varphi _{2}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)}$ olduğunu biliyoruz. O halde

• ${\displaystyle \varphi _{1}\varphi _{2}\varphi _{2}^{-1}=\varphi _{1}id=\varphi }$

• ${\displaystyle \varphi _{1}^{-1}\varphi _{1}\varphi _{2}=id\varphi _{2}=\varphi _{2}}$

• ${\displaystyle (\varphi _{1}^{-1})^{-1}=\varphi _{1}}$ ve

• ${\displaystyle (\varphi _{1}\varphi _{2})^{-1}=\varphi _{2}^{-1}\varphi _{1}^{-1}}$ özellikleri sağlanır.

Şimdi de grup teorisindeki tanımın özelliklerini sağlayan ${\displaystyle G}$ grupoidinin kategori teorisindeki tanımın özelliklerini sağladığını gösterelim. ${\displaystyle *}$ operatörünü fonksiyon bileşkesi olarak düşünerek nesneler ve morfizmalar kümesini oluşturalım. ${\displaystyle f,g\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)}$ olacak şekilde;

(i) ${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$ ${\displaystyle =\left\{ff^{-1}\mid f\in G\right\}}$

(ii) ${\displaystyle \operatorname {mor} (ff^{-1},gg^{-1})}$ ${\displaystyle =\left\{\alpha \in G\mid \exists ff^{-1}\alpha ,\exists \alpha gg^{-1}\right\}}$ kümeleri ${\displaystyle G}$ grupoidinin sırasıyla nesneler ve morfizmalar kümeleridir. Böylece, kategori teorisindeki grupoid tanımına göre (i) ve (ii) sağlanmış olur.

(iii) Rastgele bir ${\displaystyle ff^{-1}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$ nesnesi olsun. ${\displaystyle id_{ff^{-1}}\colon ff^{-1}\to ff^{-1}}$ şeklinde tanımlanır. Bu fonksiyonun ${\displaystyle \operatorname {mor} (ff^{-1},ff^{-1})}$ kümesinin bir elemanı olduğunu gösterelim. ${\displaystyle G}$’nin grup teorisindeki grupoid tanımından dolayı ${\displaystyle ff^{-1}id_{ff^{-1}}=ff^{-1}\in G}$ ve ${\displaystyle id_{ff^{-1}}ff^{-1}=ff^{-1}\in G}$ özellikleri sağlanacağından ${\displaystyle id_{ff^{-1}}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (ff^{-1},ff^{-1})}$ olur.

(iv) Herhangi üç ${\displaystyle ff^{-1},gg^{-1},hh^{-1}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$ nesnelerini ele alalım. Rastgele iki ${\displaystyle \alpha _{1}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (ff^{-1},gg^{-1})}$, ${\displaystyle \alpha _{2}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (gg^{-1},hh^{-1})}$ morfizmaları olsun. ${\displaystyle \alpha _{2}\alpha _{1}}$’nın ${\displaystyle \operatorname {mor} (ff^{-1},hh^{-1})}$ olduğunu gösterelim. ${\displaystyle \alpha _{2},\alpha _{1}\in G}$ olduğundan ${\displaystyle \alpha _{2}\alpha _{1}\in G}$ olur dolayısıyla ${\displaystyle ff^{-1}\alpha _{2}\alpha _{1}\in G}$ ve ${\displaystyle \alpha _{2}\alpha _{1}hh^{-1}}$ elde edilir. Sonuç olarak, ${\displaystyle \alpha _{2}\alpha _{1}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (ff^{-1},hh^{-1})}$ olur.

(v) Rastgele ${\displaystyle ff^{-1},gg^{-1}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$ nesneleri ve ${\displaystyle \alpha \in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (ff^{-1},gg^{-1})}$ morfizmasını ele alalım ve ${\displaystyle \alpha _{1}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (gg^{-1},ff^{-1})}$ olduğunu gösterelim. ${\displaystyle G}$, grup teorisindeki grupoid tanımını sağladığından ${\displaystyle \alpha ^{-1}\in G}$ olmaktadır. ${\displaystyle \alpha \in }$${\displaystyle \operatorname {mor} (ff^{-1},gg^{-1})}$ olduğundan ${\displaystyle ff^{-1}\alpha \in G}$ ve ${\displaystyle \alpha gg^{-1}\in G}$ sağlanmaktadır. Yine ${\displaystyle G}$’nin sağladığı tanımdan dolayı ${\displaystyle gg^{-1}\alpha ^{-1}=(\alpha gg^{-1})^{-1}}$ ve ${\displaystyle \alpha ^{-1}ff^{-1}=(ff^{-1}\alpha )^{-1}}$ olduğu görülür. Sonuç olarak ${\displaystyle gg^{-1}\alpha ^{-1},\alpha ^{-1}ff^{-1}\in G}$ sağlanarak ${\displaystyle \alpha ^{-1}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (gg^{-1},ff^{-1})}$ elde edilmiş olur.

Öte yandan ${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$ kümesi üzerinde ${\displaystyle ff^{-1}\sim gg^{-1}\Leftrightarrow ff^{-1}=gg^{-1}}$ olacak şekilde bir ${\displaystyle \sim }$ ilişkisi vardır.

Sonuç olarak ${\displaystyle G}$ bir kategoridir.

Denklik bağıntısı ile ilişkisi

${\displaystyle \sim }$ ilişkisi, ${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$ üzerinde bir denklik bağıntısıdır.

Kanıtını şöyle açıklayabiliriz: ${\displaystyle f\in }$${\displaystyle \operatorname {mor} _{G}(x,x)}$ olan rastgele bir ${\displaystyle ff^{-1}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$ alalım. Bariz bir şekilde ${\displaystyle ff^{-1}}$ olur. Dolayısıyla ${\displaystyle gg^{-1}\sim ff^{-1}}$’dir. Böylelikle ${\displaystyle \sim }$ bağıntısının simetri özelliğini sağladığı görülür.Rastgele ${\displaystyle ff^{-1},gg^{-1},hh^{1}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$ alalım. ${\displaystyle ff^{-1}\sim gg^{-1}}$ ve ${\displaystyle gg^{-1}\sim hh^{-1}}$ olduğunu varsayalım ve ${\displaystyle ff^{-1}\sim hh^{-1}}$ olduğunu gösterelim.

${\displaystyle ff^{-1}\sim gg^{-1}}$ ve ${\displaystyle gg^{-1}\sim hh^{-1}}$ olduğundan; ${\displaystyle ff^{-1}=gg^{-1}}$ ve ${\displaystyle gg^{-1}=hh^{-1}}$ olur. Buradan da ${\displaystyle ff^{-1}=hh^{-1}}$ eşitliğine ulaşılır. Dolayısıyla ${\displaystyle ff^{-1}\sim hh^{-1}}$’dir. Sonuç olarak ${\displaystyle \sim }$ ilişkisi ${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$ kümesi üzerinde bir denklik bağıntısıdır.

Morfizma Kümesi ve Grup İlişkisi

Kategori teorisel herhangi bir ${\displaystyle G}$ grupoidi alalım. Her ${\displaystyle x\in }$ ${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$ nesnesi için ${\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)}$ kümesi bir gruptur.

Kanıtını açıklayalım;

• Kapalılık: Rastgele ${\displaystyle f,g\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)}$ alalım. ${\displaystyle fg}$ bileşke fonksiyonu da ${\displaystyle x}$’ten ${\displaystyle x}$’e giden bir morfizma olacağından ${\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)}$ kümesi bileşke işlemi altında kapalıdır.

• Bileşim: Herhangi ${\displaystyle f,g,h\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)}$ alalım. ${\displaystyle G}$ grupoidinin kategori teorisindeki tanımına göre ${\displaystyle f(gh)=(fg)h}$ eşitliği sağlandığından bileşke işlemi ${\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)}$ kümesi içinde bileşim özelliğini sağlar.

• Birim eleman: ${\displaystyle G}$ grupoidinin kategori teorisindeki tanımına göre her ${\displaystyle x\in }$ ${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$ nesnesi için ${\displaystyle \operatorname {id} _{x}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)}$ olduğundan ve ${\displaystyle f\operatorname {id} _{x}=f,\operatorname {id} _{x}f=f}$ özellikleri sağlandığından birim eleman ${\displaystyle \operatorname {id} _{x}}$ vardır ve tektir.

• Ters eleman: Rastgele bir ${\displaystyle f\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)}$ alalım. ${\displaystyle G}$’nin kategori teorisindeki tanımından ${\displaystyle f^{-1}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)}$’dir ve ${\displaystyle ff^{-1}=\operatorname {id} _{x}}$ ve ${\displaystyle f^{-1}f=\operatorname {id} _{x}}$ olmaktadır.

Morfizma Kümesi ve Grup İzomorfizma İlişkisi

${\displaystyle G}$ bağlı bir grupoid olsun. Rastgele ${\displaystyle x,y\in }$ ${\displaystyle \operatorname {ob} (G)}$ alalım.

Bir ${\displaystyle \eta \in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (y,x)}$ morfizması için ${\displaystyle \varphi _{\eta }\colon }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)\to }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (y,y)}$ öyle ki ${\displaystyle \gamma \mapsto \eta \gamma \eta ^{-1}}$ bir grup izomorfizmasıdır. Yani:

(i) ${\displaystyle \varphi _{\eta }}$ bir grup homomorfizmasıdır.

(ii) ${\displaystyle \varphi _{\eta }}$ birebirdir.

(iii) ${\displaystyle \varphi _{\eta }}$ örtendir.

Kanıtını şöyle açıklayabiliriz:

• Rastgele ${\displaystyle \gamma _{1}\gamma _{2}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)}$ alalım. O halde,

${\displaystyle \varphi _{\eta }(\gamma _{1}\gamma _{2})=\eta \gamma _{1}\gamma _{2}\eta ^{-1}}$

${\displaystyle =\eta \gamma _{1}\eta ^{-1}\eta \gamma _{2}\eta ^{-1}}$

${\displaystyle =\varphi _{\eta }(\gamma _{1})\varphi _{\eta }(\gamma _{2})}$

Sonuç olarak ${\displaystyle \varphi _{\eta }}$ bir grup homomorfizmasıdır.

• Herhangi iki ${\displaystyle \gamma _{1}\gamma _{2}\in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)}$ alalım ve ${\displaystyle \varphi _{\eta }(\gamma _{1})=\varphi _{\eta }(\gamma _{2})}$ olsun. O halde,

${\displaystyle \eta \gamma _{1}\eta ^{-1}=\eta \gamma _{2}\eta ^{-1}}$

${\displaystyle \gamma _{1}\eta ^{-1}=\gamma _{2}\eta ^{-1}}$

Buradan da ${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}}$ elde edilir. O halde ${\displaystyle \varphi _{\eta }}$ birebirdir.

• Görüntü kümesinden yani ${\displaystyle \operatorname {mor} (y,y)}$’den bir ${\displaystyle f}$ elemanı alalım. O halde öyle bir ${\displaystyle \gamma \in }$ ${\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)}$ arıyoruz ki ${\displaystyle \varphi _{\eta }(\varphi )=f}$ olsun. O halde ${\displaystyle \gamma =\eta ^{-1}f\eta }$ alırsak;

${\displaystyle \varphi _{\eta }(\gamma )=\varphi _{\eta }(\eta ^{-1}f\eta )=\eta (\eta ^{-1}f\eta )\eta ^{-1}=(\eta \eta ^{-1})f(\eta \eta ^{-1})=f}$ olur. O halde ${\displaystyle \varphi _{\eta }}$ örtendir.

Sonuç olarak ${\displaystyle \varphi _{\eta }}$ bir grup izomorfizmasıdır.

Rastgele bir ${\displaystyle x\in }$ için ${\displaystyle \operatorname {mor} (x,x)}$ grubuna ${\displaystyle G}$ grupoidinin temel grubu adı verilir.