Grandi serisi toplamı

1 − 1 + 1 − 1 + … serisine ¹⁄₂ değerinin atanabilmesini olanaklı kılan oynamalar

• İki seriyi terim bazında toplamak ya da çıkarmak
• Serinin her terimini bir sayıyla çarpmak
• Terimlerin yerlerini toplamı etkilemeyecek biçimde "değiştirmek"
• Serinin başına yeni bir terim ekleyerek toplamı artırmak

olarak sıralanabilmektedir.

Bu oynamalar tüm yakınsak seriler için doğru sonuçlar üretmektedir ancak 1 − 1 + 1 − 1 + … serisi yakınsak değildir.

Öte yandan, temel mantığı bu tür oynamalara dayanan ve Grandi serisine bir değer atayabilen birçok toplam yöntemi vardır. Bunlardan en basitleri kuşkusuz Cesàro toplamı ve Abel toplamıdır.^[1]

Iraksak serilerin toplamına ilişkin ilk kalıcı yöntem 1890 yılında Ernesto Cesàro tarafından ortaya atılmıştır. Leibniz'in olasılıkçı yaklaşımına benzeyen bu yöntem bir serinin toplamını o serinin kısmi toplamlarının ortalaması olarak hesaplamaktadır. Yapılan işlem, her n değeri için σ_n ortalamasını hesaplamak ve n sonsuza giderken bu Cesàro ortalamalarının limitini almaktır.

Grandi serisinin aritmetik ortalamalar serisi

1, ¹⁄₂, ²⁄₃, ²⁄₄, ³⁄₅, ³⁄₆, ⁴⁄₇, ⁴⁄₈, …

biçiminde ifade edilebilir.

Burada, çift n değerleri için ${\displaystyle \sigma _{n}={\frac {1}{2}}}$ ve tek n değerleri için ${\displaystyle \sigma _{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2n}}}$ eşitlikleri geçerlidir.

Bu seri ¹⁄₂'ye yakınsadığından Σa_k Cesàro toplamı da bu değere eşit olur. Başka bir deyişle, 0, 1, 0, 1, … serisinin Cesàro limiti ¹⁄₂'ye eşittir.^[2]

1 + 0 − 1 + 1 + 0 − 1 + … serisinin Cesàro toplamı ²⁄₃'tür. Bu, bir serinin Cesàro toplamının seriye sonsuz çoklukta 0 ve ayraç ekleyerek değiştirilebileceğini göstermektedir.^[3]

φ(0) = 1 olmak üzere bir φ(x) işlevi tanımlı, φ'nın +∞'daki limiti 0 ve bu işlevin türevinin integrali (0, +∞) aralığında tanımlıysa Grandi serisinin φ-toplamı tanımlıdır ve ¹⁄₂'ye eşittir.

${\displaystyle S_{\varphi }=\lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}\varphi (\delta m)={\frac {1}{2}}}$

φ üçgensel ya da üstel bir işlev yerine konularak Cesaro ve Abel toplamlarına dönülebilmektedir. φ'nın integralinin sürekli tanımlı olduğu varsayılıyor ise bu önerme, ortalama değer teoremi kullanılarak ve toplam bir integrale çevrilerek kanıtlanabilir.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}S_{\varphi }&=&\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }\left[\varphi (2k\delta )-\varphi (2k\delta -\delta )\right]\\[1em]&=&\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }\varphi '(2k\delta +c_{k})(-\delta )\\[1em]&=&\displaystyle -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\varphi '(x)\,dx=-{\frac {1}{2}}\varphi (x)|_{0}^{\infty }={\frac {1}{2}}\end{array}}}$^[4]

Grandi serisinin Borel toplamı ¹⁄₂'ye eşittir. Bunun nedeni,

${\displaystyle 1-x+{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =e^{-x}}$

ve

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}e^{-x}\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2x}\,dx={\frac {1}{2}}}$

eşitliklerinin sağlanıyor oluşudur.^[5]