Gram–Schmidt işlemi

Matematikte, özellikle doğrusal cebir ve sayısal analizde, Gram–Schmidt süreci bir dizi vektörleri bir iç çarpım uzayı içinde ortonormal etmek için kullanılan bir yöntemdir. İç çarpım uzayında olan vektörler, genellikle Öklid uzayında Rⁿ donatılmış olan standart iç çarpım vektörlerdir. Gram–Schmidt süreci bir sonlu, doğrusal bağımsız kümeni, S = {v₁, ..., v_k}, k ≤ n, alıp ve R'in aynı k-boyutlu alt uzayında yayılan ortogonal kümeni, S′ = {u₁, ..., u_k}, üretmektedir.

Bu yöntem ismini Jørgen Pedersen Gram ve Erhard Schmidt, den almaktadır. Ancak, daha önce Laplace ve Cauchynin çalışmalarında da ortaya çıkmıştı. Yalan grup parçalanması teorisinde Iwasawa ayrışma tarafından genelleştirilmiş.^[1]

Gram–Schmidt işlemi

Değiştirilmiş Gram-Schmidt süreci üç doğrusal bağımsız olmayan ve R³ için temel olan vektörler için çalıştırılmaktadır. Ayrıntılar için resmin üstüne Tıklayınız.

Projeksiyon operatörü aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır,

u ve v vektörlerin iç çarpımını: (veya Bu operatör v vektörünü u vektörü üzerine yayılmış olan çizginin üstüne yansıtıyor. Eğer u = 0, . Projeksiyon sıfır-yansıtma olarak kullanılmaktadır. Bütün vektörleri sıfır vektöre göndermekte.

Gram–Schmidt işlemi aşağıdaki gibi çalışır:

Örnek

Aşağıdaki vektörler kümesini R² de düşünün (geleneksel iç çarpımla birlikte)

Şimdi, ortogonal vektörler kümesini elde etmek için, Gram–Schmidt işlemini gerçekleştirin,

u₁ ve u₂ vektörlerinin gerçekten ortogonal olduğunu kontrol edin:

iki vektörün nokta çarpımının sıfır olduğunda, iki vektörun ortogonal olduğunu biliyoruz.

Sıfır olmayan vektörler için, vektörleri, yukarıda gösterilmiş olan boyutlarına bölünmesi yoluyla vektörleri normalize edebiliriz:

Algoritma

Aşağıdaki MATLAB algoritma Öklid Vektörler için yazılmış olan Gram–Schmidt ortonormalleştirme yöntemidir. v₁, ..., v_k vektörleri (V(:,j) j. vektördür) ortonormal vektörler (U'nün sütunleri) tarafından değiştirilmiştir.

function [U]=gramschmidt(V)
[n,k] = size(V);
U = zeros(n,k);
U(:,1) = V(:,1)/norm(V(:,1));
for i = 2:k
    U(:,i)=V(:,i);
    for j=1:i-1
        U(:,i)=U(:,i)-(U(:,j)'*U(:,i)) 
               /(norm(U(:,j)))^2 * U(:,j);
    end
    U(:,i) = U(:,i)/norm(U(:,i));
end
end

Bu algoritmanın zaman açısından maliyeti O(nk²) derecesinden dir. Burada n vektörlerin olduğu boyutluluktur (Golub & Van Loan 1996, §5.2.8).

Kaynakça

^ Cheney, Ward; Kincaid, David (2009). Linear Algebra: Theory and Applications. Sudbury, Ma: Jones and Bartlett. ss. 544, 558. ISBN 978-0-7637-5020-6. 18 Eylül 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 20 Ocak 2019.

Bibliyografya

Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations, 3rd, Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9 .

Lineer cebir
Temel kavramlar	Skaler Vektör Vektör uzayı Skaler çarpım Vektörel izdüşüm Doğrusal germe Doğrusal dönüşüm İzdüşüm Doğrusal bağımsızlık Doğrusal birleşim Taban Taban değişimi Satır vektör Sütun vektör Satır ve sütun uzayları Boşuzay Özdeğer, özvektör, özuzay Tersçapraz Doğrusal denklemler
Matrisler	Blok Ayrışım Tersinir Minor Çarpım Rank Dönüşüm Cramer kuralı Gauss eleme yöntemi
Çifte doğrusallık	Ortogonalite Nokta çarpım İç çarpım uzayı Dış çarpım Kronecker çarpımı Gram–Schmidt işlemi
Çokludoğrusal cebir	Determinant Çapraz çarpım Üçlü çarpım Geometrik cebir Dışsal cebir Bivector Multivector Tensör Outermorphism
Vektör uzayı yapıları	Fonksiyon Dual Bölüm Altuzay Tensör çarpımı
Nümerik	Kayan nokta Nümerik stabilite Seyrek matris

İlgili Araştırma Makaleleri

Klasik mekanikte momentum ya da devinirlik, bir nesnenin kütlesi ve hızının çarpımıdır; (p = mv). Hız gibi, momentum da vektörel bir niceliktir, yani büyüklüğünün yanı sıra bir yöne de sahiptir. Momentum korunumlu bir niceliktir ; yani bu, eğer kapalı bir sistem herhangi bir dış kuvvetin etkisi altında değilse, o kapalı sistemin toplam momentumunun değişemeyeceği anlamına gelir. Momentum benzer bir konu olan açısal momentum ile karışmasın diye, bazen çizgisel momentum olarak da anılır.

Matematik, fizik ve mühendislikte, Öklid vektörü veya kısaca vektör sayısal büyüklüğü ve yönü olan geometrik bir objedir. Vektör, genellikle bir doğru parçası ile özdeşleştirilir. Bir başlangıç noktası A ile bir uç noktası B'yi birleştiren bir ok şeklinde görselleştirilir ve $\text{[math]}$ ile belirtilir.

<span class="mw-page-title-main">Açısal momentum</span> Fiziksel nicelik

Açısal momentum, herhangi bir cismin dönüş hareketine devam etme isteğinin bir göstergesidir ve bu nicelik cismin kütlesine, şekline ve hızına bağlıdır. Açısal momentum bir vektör birimidir ve cismin belirli eksenler üzerinde sahip olduğu dönüş eylemsizliği ile dönüş hızını ifade eder.

Doğrusal cebir ya da lineer cebir; matematiğin, vektörler (yöney), vektör uzayları, doğrusal dönüşümler, doğrusal denklem takımları ve matrisleri (dizey) inceleyen alanıdır. Vektör uzayları, modern matematiğin merkezinde yer alan bir konudur. Bundan dolayı doğrusal cebir hem soyut cebirde hem de fonksiyonel analizde sıkça kullanılır. Doğrusal cebir, analitik geometri ile de alakalı olup sosyal bilimlerde ve fen bilimlerinde yaygın bir uygulama alanına sahiptir.

<span class="mw-page-title-main">Hiperbolik sayılar</span>

Gerçel sayılarda olmayan ve karesi 1 olan bir sayının kümeye katılmasıyla üretilen kümeye hiperbolik sayılar kümesi denir. Tıpkı karmaşık sayılarda olduğu gibi, hiperbolik sayılar $\text{[math]}$ şeklinde yazılabilen sayılardır, ancak karmaşık sayılardan tek farkı hiperbolik birim denilen sayının

\text{[math]}

Matematikte çapraz çarpım veya yöney çarpımı üç boyutlu uzayda iki yöney (vektör) ile yapılan bir işlemdir. Bu çarpımın sonucunda başka bir yöney elde edilir ve bu yöney çapraz çarpımda kullanılan iki yöneye de diktir. Aynı zamanda elde edilen yöney çapraz çarpımda kullanılan iki yöneyin oluşturduğu düzleme dik bir yöneydir. Bu çarpımın çapraz ismi gösterimde kullanılan "×" sembolünden gelmektedir ve her bir vektör sıralı bir şekilde diğeri ile çarpılmakta ve elde edilen yöney bu çarpan yöneylerden biri olmaktadır,yani çaprazlama yapılan modüler bir çarpım biçimidir.Yöney çarpımı ismi de işlemin sonucunda başka bir yöneyin elde edilmesinden gelmektedir. Bu işlemin matematik, fizik ve mühendislikte birçok uygulaması vardır.

Fizikte ve matematikte, matematikçi Hermann Minkowski anısına adlandırılan Minkowski uzayı veya Minkowski uzayzamanı, Einstein'ın özel görelilik kuramının en uygun biçimde gösterimlendiği matematiksel yapıdır. Bu yapıda, bilinen üç uzay boyutu tek bir zaman boyutuyla birleştirilerek, uzay zamanını betimlemek için dört boyutlu bir çokkatlı oluşturulmuştur.

Vektör uzayı veya Yöney uzayı, matematikte ölçeklenebilir ve eklenebilir bir nesnelerin (vektörlerin) uzayına verilen isimdir. Daha resmî bir tanımla, bir vektör uzayı, iki elemanı arasında vektör toplamasının ve skaler denilen sayılarla çarpımın tanımlı olduğu ve bunların bazı aksiyomları sağladığı kümedir. Skalerler, rasyonal veya reel sayılar kümesinden gelebilir, ama herhangi bir cisim üzerinden bir vektör uzayı oluşturmak mümkündür. Vektör uzayları, skalerlerin geldiği cisime göre reel vektör uzayı, kompleks vektör uzayı veya genel bir cisim üzerinden K vektör uzayı şeklinde adlandırılır.

<span class="mw-page-title-main">Öteleme</span> Fizik terimi

Öklid geometrisinde bir öteleme, belli bir yönde sabit bir uzaklık kadar yer değiştirme demektir. Eşölçer dönüşümlerden biridir. Ötelemenin bir diğer yorumu, her noktaya sabit bir vektör eklemek veya koordinat sistemini kaydırmaktır. Bir öteleme operatörü $\text{[math]}$ şöyle tanımlanır: $\text{[math]}$

Açısal hız, bir objenin birim zamandaki açısal olarak yer değiştirme miktarına verilen isimdir. Açısal hız vektörel olup bir cismin bir eksen üzerindeki dönüş yönünü ve hızını verir. Açısal hızın SI birimi radyan/saniyedir, ancak başka birimlerde de ölçülebilir. Açısal hız genellikle omega sembolü ile gösterilir. Açısal hızın yönü genellikle dönüş düzlemine diktir ve sağ el kuralı ile bulunabilir.

Matematikte Hilbert uzayı, sonlu boyutlu Öklit uzayında uygulanabilen lineer cebir yöntemlerinin genelleştirilebildiği ve sonsuz boyutlu da olabilen bir vektör uzayıdır. Daha kesin olarak, bir Hilbert uzayı, uzayın tam metrik uzay olmasını sağlayan bir uzaklık fonksiyonu üreten bir iç çarpımla donatılmış bir vektör uzayıdır. Bir Hilbert uzayı, bir Banach uzayının özel bir durumudur. Matematik, fizik ve mühendislikte sıkça kullanılmaktadır. Kuantum mekaniğiyle uyumludur. Adını David Hilbert'ten almaktadır.

Matematikte Öklid uzayı, Öklid geometrisinin üç boyutlu uzayıdır ve bu kavramlar, çok boyutlu olarak genelleştirilir. “Öklid” terimi bu uzayları, Öklid geometrisi olmayan eğimli uzaydan ve Einstein'nın genel görelilik kuramından ayırt eder. Bu adı Yunan matematikçi Öklid'den dolayı almıştır.

Matematik'te, ortogonal koordinatlar q = (q¹, q², ..., q^d) bir d koordinat kümesi olarak tanımlanır, hepsi koordinat yüzeyi içinde dik açılarla birleşir (not: üstsimge indis'tir, üstel değildir). Özel bir koordinat için Bir koordinat yüzeyi q^k eğrilik, yüzey veya hiperyüzey veya hangisiyse q_k bir sabittir. örneğin, üç-boyut Kartezyen koordinatlar (x, y, z) bir ortogonal koordinat sistemidir. Bu koordinat yüzeyleri için x = sabit, y = sabit ve z = sabit., yüzeyler dik açıda buluşurlar, bu örnek dik açı içindir. Ortogonal koordinatlar eğrisel koordinatlar'ın özel ama son derece yaygın bir durumudur.

Çifte doğrusallık, matematik'te, çiftdoğrusal işlemci her bir bağımsız dogrusal değişkenlerin üçüncü bir vektör uzayının bir öğesini elde etmek için iki vektör uzayı öğelerini birleştiren bir fonksiyonudur. Matris çarpimi bir örnektir.

Matematik'te L^p uzayı, sonlu boyutlu vektör uzayı için p-norm'un doğal bir genelleme kullanarak tanımlı fonksiyon uzayı'dır.Bazen Lebesque uzayı denir.İlk Frigyes Riesz tarafından Bourbaki grubu Bourbaki 1987 olarak tanıtılmasına rağmen,Henri Lebesgue Dunford & Schwartz 1958, III.3, adına ithaf edilmiştir. fonksiyonal analiz'de Banach uzayı'nın ve topolojik vektör uzaylarının önemli bir sınıfını L^p uzayı formu oluşturur.Lebesgue uzayının fizik, istatistik, finans, mühendislik ve diğer disiplinlerde uygulamaları var.

Doğrusal cebirde veya daha genel ifade ile matematikte matris çarpımı, bir matris çiftinde yapılan ve başka bir matris üreten ikili işlemdir. Reel veya karmaşık sayılar gibi sayılarda temel aritmetiğe uygun olarak çarpma yapılabilir. Başka bir ifade ile matrisler, sayı dizileridir. Bu yüzden, matris çarpımını ifade eden tek bir yöntem yoktur. "Matris çarpımı" terimi çoğunlukla, matris çarpımının farklı yöntemlerini ifade eder. Matris çarpımının anahtar özellikleri şunlardır: Asıl matrislerin satır ve sütun sayıları, ve matrislerin girişlerinin nasıl yeni bir matris oluşturacağıdır.

Matematikte, uzunluğu 1 olan ve uzayda bir norma sahip olan vektöre birim vektör denir. Birim vektör genellikle ‘û‘ gibi şapkalı ve küçük harflerle ifade edilir. Normalize vektör veya versor olmayan bir sıfır vektörü u ile eş yönlü olan birim vektörü u

\text{[math]}

Vektör kalkülüsün'de, matematiğin bir dalıdır, üçlü çarpım genellikle öklit vektörü olarak adlandırılan üç boyutlu vektörlerin çarpımıdır. Üçlü çarpım tabiri iki farklı çarpım için kullanılır, bunlardan ilki skaler değerler için kullanılan skaler üçlü çarpımı, bir diğeri ise vektörel değerliler için kullanılan vektörel üçlü çarpımdır.

Çarpışma iki ya da daha fazla cismin birbirlerine kısa bir süreliğine uyguladıkları kuvvet olayına denir. Çarpışma kelimesinin en yaygın kullanımı iki ya da daha fazla cismin birbirleriyle çarpışması anlamına gelmesine rağmen, kelimenin bilimsel olarak kullanımına baktığımızda çarpışma aslında kuvvetlerin büyüklükleri hakkında hiçbir şey ima etmez.

Matematikte, koordinat vektör uzayının ( $\text{[math]}$ veya $\text{[math]}$ olarak gösterilir) standart tabanı ya da standart bazı (aynı zamanda doğal baz veya ilkesel baz olarak da geçer), 1'e eşit olan dışında tüm bileşenleri sıfır olan vektörlerden oluşan tabanıdır. Örneğin, gerçek sayı çiftleri $(x, y)$ tarafından kurulan öklitçi $\text{[math]}$ düzlemi durumunda, standart baz vektörler tarafından oluşturulur.

\text{[math]}

Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.