İçeriğe atla

Gnomon teoremi

Gnomon:
Gnomon Teoremi: yeşil alan = kırmızı alan,
,

Gnomon teoremi, bir gnomon'da meydana gelen belirli paralelkenarların eşit büyüklükte alanlara sahip olduğunu belirtir. Gnomon (Grekçeγνώμων), geometride benzer bir paralelkenarı daha büyük bir paralelkenarın bir köşesinden çıkararak oluşturulan bir düzlem şeklidir; veya daha genel olarak, belirli bir şekle eklendiğinde, aynı şekle sahip daha büyük bir şekil oluşturan bir şekildir.[1]

Teorem

köşegeni üzerinde noktası olan bir paralelkenarında kenarına paralel olan ve noktasından geçen doğru, kenarını noktasında ve kenarını da noktasında keser. Benzer şekilde kenarına paralel ve noktasından geçen doğru, kenarını noktasında ve kenarını da noktasında keser. Gnomon teoremi, ve paralelkenarlarının eşit alanlara sahip olduğunu belirtir.[2][3]

Gnomon, üst üste gelen iki paralelkenar olan ve 'den oluşan L biçimindeki şeklin adıdır. Eşit alana sahip ve paralelkenarları, ve köşegenlerindeki paralelkenarların tamamlayıcısı olarak adlandırılır.[4]

İspat

Teoremin kanıtı, ana paralelkenarın alanları ve köşegeninin etrafındaki iki iç paralelkenarın alanları göz önüne alındığında basittir:

  • ilk olarak, ana paralelkenar ile iki iç paralelkenar arasındaki fark, iki tamamlayıcının birleşik alanına tam olarak eşittir;
  • ikinci olarak, üçü de köşegen ile ikiye bölünmüştür. Bu, şunları verir:[5]

Uygulamalar ve genişletmeler

ve sayılarının bölümü olan 'nin geometrik gösterimi
AB doğru parçasının bir bölümünün oranının doğru parçasına aktarılması:

Gnomon teoremi, cetvel ve pergelle yapılan çizimler yöntemiyle belirli bir paralelkenar veya dikdörtgene eşit alana sahip yeni bir paralelkenar veya dikdörtgen oluşturmak için kullanılabilir. Bu aynı zamanda geometrik terimlerle iki sayının bölünmesinin temsil edilmesine izin verir, bu da geometrik problemleri cebirsel terimlerle yeniden formüle etmek için önemli bir özelliktir. Daha kesin olarak, iki sayı doğru parçalarının uzunlukları olarak verilirse, uzunluğu bu iki sayının bölümü olan üçüncü bir doğru parçası oluşturulabilir (şekle bakınız). Diğer bir uygulama, bir doğru parçasının (farklı uzunluktaki) diğer bir doğru parçasına bölme oranının aktarılması, böylece diğer doğru parçasının belirli bir doğru parçası ve bölüntüsüyle aynı oranda bölünmesidir (şekle bakınız).[2]

, ve tamamlayıcıları ile köşegen etrafında (alt) paralel yüzlü ve aynı hacme sahiptir:

Paralel yüzlüler için benzer bir ifade üç boyutlu olarak yapılabilir. Bu durumda, bir paralel yüzeyin cisim köşegeni üzerinde bir noktası vardır ve iki paralel çizgi yerine noktası boyunca her biri paralel yüzlüye paralel olan üç düzleminiz vardır. Üç düzlem, paralel yüzlüleri sekiz küçük paralel yüzeye böler; bunlardan ikisi köşegeni çevreler ve noktasında buluşur. Şimdi, köşegenin etrafındaki bu iki paralel yüzlüden her biri kendisine bağlı kalan altı paralel yüzlüden üçüne sahiptir, bu üçü tamamlayıcı rolünü oynar ve eşit hacimdedir (şekle bakınız).[3]

İç içe paralelkenarlar hakkında genel teorem

genel teorem:
yeşil alan = mavi alan - kırmızı alan

Gnomon teoremi, ortak köşegenli iç içe paralelkenarlar hakkında daha genel bir ifadenin özel bir durumudur. Verilen bir paralelkenar için, köşegen olarak 'yi içeren herhangi bir iç paralelkenarını düşünün. Ayrıca, kenarları dış paralelkenarın kenarlarına paralel olan ve iç paralelkenar ile tepe noktasını paylaşan benzersiz şekilde belirlenmiş iki paralelkenar ve vardır. Şimdi bu iki paralelkenarın alanlarının farkı, iç paralelkenarın alanına eşittir,[3] yani:

Bu ifade, köşeleri köşegen üzerinde olan bozulmuş bir iç paralelkenarına bakıldığında gnomon teoremini verir. Bu, özellikle paralelkenarlar ve için, ortak noktaları 'nin köşegen üzerinde olduğu ve alanlarının farkının sıfır olduğu anlamına gelir, bu tam olarak gnomon teoreminin ifade ettiği şeydir.

Tarihsel yönü

Gnomon teoremi, Öklid'in Elemanlarında (MÖ 300 civarında) yer alacak kadar erken tanımlanmış ve diğer teoremlerin türetilmesinde önemli bir rol oynamıştır. Gnomon terimini kullanmadan paralelkenarlar hakkında bir ifade olarak ifade edildiği Elemanların I. kitabında 43 numaralı önerme olarak verilmiştir. İkincisi, Elemanların II. kitabının ikinci tanımı olarak Öklid tarafından tanıtılmıştır. Gnomon ve özelliklerinin önemli bir rol oynadığı diğer teoremler, Kitap II'deki önerme 6, Kitap VI'daki önerme 29 ve Kitap XIII'deki 1'den 4'e kadar olan önermelerdir.[5][6][7]

Notlar

  1. ^ Gazalé, Midhat J. (1999), Gnomon: From Pharaohs to Fractals, Princeton University Press, ISBN 9780691005140 .
  2. ^ a b Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, 9783662530344, ss. 190-191
  3. ^ a b c William J. Hazard (Ocak 1929), "Generalizations of the Theorem of Pythagoras and Euclid's Theorem of the Gnomon", The American Mathematical Monthly, 36 (1), ss. 32-34, JSTOR 2300175 
  4. ^ Johannes Tropfke (2011). Geschichte der Elementarmathematik Ebene Geometrie – Band 4: Ebene Geometrie (Almanca). Walter de Gruyter. ss. 134-135. ISBN 9783111626932. 
  5. ^ a b Roger Herz-Fischler (2013). A Mathematical History of the Golden Number (İngilizce). Dover. ss. 35-36. ISBN 9780486152325. 
  6. ^ Paolo Vighi & Igino Aschieri (2010), Vittorio Capecchi, Massimo Buscema, Pierluigi Contucci & Bruno D'Amore (Ed.), "From Art to Mathematics in the Paintings of Theo van Doesburg", Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts, Springer, ss. 601-610, ISBN 9789048185818, in particular ss. 603–606 
  7. ^ George W. Evans (Mart 1927), "Some of Euclid's Algebra", The Mathematics Teacher, 20 (3), ss. 127-141, JSTOR 27950916 

Kaynakça

  • Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler & Juan Läuchli (2016). Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie (Almanca). Springer. ss. 190-191. ISBN 9783662530344. 
  • George W. Evans (Mart 1927), "Some of Euclid's Algebra", The Mathematics Teacher, 20 (3), ss. 127-141, JSTOR 27950916 
  • William J. Hazard (Ocak 1929), "Generalizations of the Theorem of Pythagoras and Euclid's Theorem of the Gnomon", The American Mathematical Monthly, 36 (1), ss. 32-34, JSTOR 2300175 
  • Paolo Vighi & Igino Aschieri (2010), Vittorio Capecchi, Massimo Buscema, Pierluigi Contucci & Bruno D'Amore (Ed.), "From Art to Mathematics in the Paintings of Theo van Doesburg", Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts, Springer, ss. 601-610, ISBN 9789048185818 

Dış bağlantılar

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Pisagor teoremi</span> Öklid geometrisinde bir dik üçgenin üç kenarı arasındaki bağıntı

Pisagor teoremi veya Pisagor bağıntısı, Öklid geometrisinde üçgenin kenarları arasındaki temel ilişkiyi kuran ilk teoremlerden biridir. Teoreme gerçek hayattan örnek olarak telli çalgıları gösterilebilir; 'telin uzunluğu arttıkça titreşim artar' prensibine dayanır. Pisagor'un denklemi olarak da isimlendirilen bu teorem, a, b ve c kenarlarının arasındaki ilişkiyi şu şekilde açıklar:

<span class="mw-page-title-main">Üçgen</span> üçgen düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimi

Bir üçgen düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir. Üçgene müselles ve üçbucak da denir.

<span class="mw-page-title-main">Paralelkenar</span>

Paralelkenar, karşılıklı kenarları eşit olan ve iç açıları toplamı 360 derece olan bir dörtgendir. Karşılıklı kenarları paralel ve uzunlukları eşittir.

<span class="mw-page-title-main">Eşkenar dörtgen</span>

Matematiğin bir alt dalı olan Geometride bir eşkenar dörtgen, dört kenarlı ve tüm kenar uzunlukları birbirine eşit bir dörtgendir. Oyun kâğıtlarında görülen eşkenar dörtgene karo, bu şekle sahip olan haplara lozanj, bu şekle sahip olan beyzbol oyun sahasına diamond (elmas) denir.

<span class="mw-page-title-main">Thales teoremi (çember)</span>

Çemberlerde Thales teoremi, alınan A, B ve C noktalarının bir çember üzerinde ve AC doğrusunun bu çemberin çapı olması durumunda, ABC açısının dik açı olacağını belirten geometri teoremi. Thales teoremi çevre açı kurallarının özel bir hâlidir. Adını Thales'ten alan teorem, genellikle ona atfedilir ancak bazı yerlerde Pisagor'la da ilişkilendirilir.

<span class="mw-page-title-main">Thales teoremi</span>

Geometride, Thales teoremi, A, B ve C, AC çizgisinin bir çap olduğu bir daire üzerinde farklı noktalar ise, ∠ABC açısının bir dik açı olduğunu belirtir. Thales teoremi, çevre açı teoreminin özel bir durumudur ve Öklid'in Elemanlar adlı eserinin üçüncü kitabında 31. önermenin bir parçası olarak bahsedilmiş ve kanıtlanmıştır. Genellikle, teoremin keşif için şükran kurbanı olarak bir öküz sunduğu söylenen Miletli Thales'e atfedilir, ancak bazen Pisagor'a da atfedilir.

<span class="mw-page-title-main">Apollonius teoremi</span> Öklid geometrisinde bir teorem

Geometri'de, Apollonius teoremi, üçgenin bir kenarortay uzunluğunu kenarlarının uzunluklarıyla ilişkilendiren bir teoremdir.

<span class="mw-page-title-main">Açıortay teoremi</span> Bir üçgeni bölen iki parçanın göreli uzunlukları hakkında

Geometride açıortay teoremi, bir üçgenin kenarının karşı açıyı ikiye bölen bir çizgiyle bölündüğü iki parçanın göreli uzunluklarıyla ilgilidir. Göreli uzunluklarını, üçgenin diğer iki kenarının göreli uzunluklarına eşitler.

<span class="mw-page-title-main">Pappus'un alan teoremi</span> rastgele bir üçgenin üç kenarına iliştirilmiş üç paralelkenarın alanları arasındaki ilişkiyi verir

Pappus'un alan teoremi, verilen herhangi bir üçgenin üç kenarına yaslanmış üç paralelkenarın alanları arasındaki ilişkiyi tanımlar. Pisagor teoreminin bir genellemesi olarak da düşünülebilecek teorem, adını onu keşfeden Yunan matematikçi İskenderiyeli Pappus'tan almıştır.

<span class="mw-page-title-main">Brahmagupta teoremi</span>

Geometride, Brahmagupta teoremi, eğer bir kirişler dörtgeni ortodiyagonal ise, o zaman köşegenlerin kesişme noktasından bir kenara çizilen dikmenin karşı kenarı daima ikiye böldüğünü belirtir. Adını Hint matematikçi Brahmagupta'dan (598-668) almıştır.

<span class="mw-page-title-main">İngiliz bayrağı teoremi</span>

Öklid geometrisinde, İngiliz bayrağı teoremi, dikdörtgeni içinde bir noktası seçilirse, 'den dikdörtgenin iki karşıt köşesine olan Öklid mesafelerinin karelerinin toplamının, diğer iki karşıt köşenin toplamına eşit olduğunu söyler. Denklem olarak aşağıdaki şekilde gösterilir:

<span class="mw-page-title-main">Droz-Farny doğru teoremi</span> Rastgele bir üçgenin ortasından geçen iki dik doğrunun özelliği hakkında teorem

Öklid geometrisinde, Droz-Farny doğru teoremi, keyfi bir üçgenin yükseklik merkezinden (ortosantr) geçen iki dik doğrunun bir özelliğidir.

<span class="mw-page-title-main">Euler dörtgen teoremi</span>

Leonhard Euler (1707–1783) adını taşıyan Euler dörtgen teoremi veya Euler'in dörtgenler yasası, dışbükey bir dörtgenin kenarları ile köşegenleri arasındaki ilişkiyi açıklar. Pisagor teoreminin genellemesi olarak görülebilecek Paralelkenar yasasının bir genellemesidir. Bu nedenle Pisagor teoreminin dörtgenler açısından yeniden ifade edilmesi bazen Euler-Pisagor teoremi olarak adlandırılır.

<span class="mw-page-title-main">Anne teoremi</span>

Fransız matematikçi Pierre-Leon Anne'in (1806-1850) adını taşıyan Anne teoremi, dışbükey dörtgen içindeki belirli alanların eşitliğini tanımlayan Öklid geometrisinden bir teoremdir.

<span class="mw-page-title-main">Brune teoremi</span>

Brune teoremi, bir orta düzey Prusya memuru olan muhasebeci Ernst Wilhelm Brune (1790?-1860?) tarafından bulunan ve 1841 yılında Berlin'de yayınlanan, dörtgenlerle ilgili bir temel geometri teoremidir. Teorem, Öklid düzleminde bir dışbükey dörtgeninin yapıcı bir şekilde aynı alana sahip dört kısmi dörtgene nasıl bölünebileceği problemini ele alır ve yanıtlar.

<span class="mw-page-title-main">Batlamyus eşitsizliği</span>

Öklid geometrisinde, Batlamyus eşitsizliği, düzlemde veya daha yüksek boyutlu bir uzayda dört nokta tarafından oluşturulan altı uzunluğu ilişkilendirir. Herhangi bir A, B, C ve D noktası için aşağıdaki eşitsizliğin geçerli olduğunu belirtir:

.
<span class="mw-page-title-main">Carnot teoremi (konikler)</span>

Adını Fransız matematikçi Lazare Carnot'dan alan Carnot'un teoremi, konik kesitler ve üçgenler arasındaki bir ilişkiyi tanımlar.

<span class="mw-page-title-main">Finsler–Hadwiger teoremi</span> Bir tepe noktasını paylaşan herhangi iki kareden türetilen üçüncü bir kareyi açıklar

Finsler–Hadwiger teoremi, bir tepe noktasını paylaşan herhangi iki kareden türetilen üçüncü bir kareyi tanımlayan Öklid düzlem geometrisindeki ifadedir. Teorem adını, üçgenin kenar uzunlukları ve alanıyla ilgili Hadwiger-Finsler eşitsizliğini yayınladıkları makalenin bir parçası olarak 1937'de yayınlayan Alman ve İsviçreli matematikçi Paul Finsler ile İsviçreli matematikçi Hugo Hadwiger'den almıştır.

<span class="mw-page-title-main">Kirişler dörtgeni</span> tüm köşeleri tek bir çember üzerinde yer alan dörtgen

Öklid geometrisinde, bir kirişler dörtgeni veya çembersel dörtgen veya çevrimsel dörtgen, köşeleri tek bir çember üzerinde bulunan bir dörtgendir. Bu çembere çevrel çember denir ve köşelerin aynı çember içinde olduğu söylenir. Çemberin merkezi ve yarıçapı sırasıyla çevrel merkez ve çevrel yarıçap olarak adlandırılır. Bu dörtgenler için kullanılan diğer isimler eş çember dörtgeni ve kordal dörtgendir, ikincisi, dörtgenin kenarları çemberin kirişleri olduğu içindir. Genellikle dörtgenin dışbükey (konveks) olduğu varsayılır, ancak çapraz çevrimsel dörtgenler de vardır. Aşağıda verilen formüller ve özellikler dışbükey durumda geçerlidir.

<span class="mw-page-title-main">Viviani teoremi</span> Herhangi bir iç noktadan bir eşkenar üçgenin kenarlarına olan en kısa mesafelerin toplamının üçgenin yüksekliğinin uzunluğuna eşit olduğunu belirten Öklid geometrisi teoremi

Adını Vincenzo Viviani'den alan Viviani teoremi, herhangi bir iç noktadan bir eşkenar üçgenin kenarlarına olan en kısa mesafelerin toplamının üçgenin yüksekliğinin uzunluğuna eşit olduğunu belirtir. Çeşitli matematik yarışmalarında, ortaokul matematik sınavlarında yaygın olarak kullanılan bir teoremdir ve gerçek dünyadaki birçok probleme uygulanabilirliği vardır.