Matematiğin bir alt dalı olan olasılık teorisinde (daha özelde stokastik süreçlerde) Girsanov teoremi, stokastik süreçlerin ölçü değişimleri altında nasıl değiştiğini gösteren ve özellikle finansal matematikte yaygın uygulaması olan bir teoremdir. Teorem, finansal matematikte bir dayanak varlığın (bir hisse senedi fiyatı veya faiz oranı gibi) fiziksel ya da gözlemlenen bir ölçüde yazılan fiyat sürecinin riske duyarsız ölçüye nasıl dönüştürüleceğini gösterir. Teorem, stokastik diferansiyel denklemlerin zayıf çözümlerinin varlığını ve biricikliğini kanıtlamakta da yararlıdır.[not 1]
Teoremin ifadesi
bir olasılık uzayı,
bu uzayın olağan koşulları sağlayan bir filtreleme ve
,
özelliğini sağlayan
boyutlu Brown hareketi olsun.
boyutlu
süreci
- ölçülebilir,
- filtreye uyarlı
- ve aşağıdaki şartları sağlayan bir süreç olsun.

Bu koşullar altında
![{\displaystyle \displaystyle Z_{t}(X):=e^{\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}X_{s}^{(i)}dW_{s}^{(i)}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}E[X_{t}^{2}]ds}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eae60b30568f7f4eaef21e9d37f091abbda3de43)
iyi tanımlıdır.[not 2]
Girsanov teoremi,[not 3] eğer
süreci martingalse
![{\displaystyle \mathbb {\tilde {P}} (A):=E[1_{A}Z_{T}(X)]\quad \forall A\in {\mathcal {F}}_{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/459209b491b0b664bd86a1ebbf2f4acd3d20ffb2)
tanımının yeni bir olasılık ölçüsü verdiğini ve sabit alınmış bir
değeri için,

biçiminde tanımlanan
sürecinin
olasılık uzayında
-boyutlu Brown hareketi olduğunu söyler.
Bu teoremin ifadesi değişik kaynaklarda basitleşirilmiş ya da değişik kriterleri sağlayan halleriyle sunulabilir.[not 4]
Yukarıda verilen
boyutlu
süreci için,
![{\displaystyle E\left[e^{{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}E[X_{s}^{2}]\,ds}\right]<\infty ,\quad 0\leq T<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b189f060e5f16f417096b22fdcd29e8057daefb)
koşulu sağlanıyorsa, o zaman
bir martingal olur ve Girsanov teoreminin şartı sağlanmış olur. Bu koşula Novikov kriteri ya da Novikov koşulu denir.
Finans başta olmak üzere birçok durumda, teoremdeki
süreci karşımıza

halinde çıkar. Bu biçimdeki bir
sürecinin martingale olması için yeterli ve gerekli koşul Novikov koşulunun sağlanmasıdır; yani,
![{\displaystyle E\left[e^{{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}Y_{s}^{2}\,ds}\right]<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a5ba053e60113cd6ac11535e921b619c53dc41)
olmasıdır. Bu durumda,
tanımlanırsa, her
için bir
-Brown hareketi elde edilir.
Finansta kullanımı
bir
olasılık ölçüsü altında Brown hareketi,
,
ve

geometrik Brown hareketi olsun.
Her
için,
ve
tanımlansın. O zaman

için,
olur. Eğer
olarak tanımlanırsa,
süreci
ölçüsü altında Brown hareketi olur.
'ya finansal matematikte riske duyarsız ölçü denir. Black-Scholes formülünün bir kanıtı bu ölçü altında verilebilir.
Notlar
- ^ Karatzas & Shreve 1991, s. 302'ye bakınız.
- ^
ifadesinin aslında
ifadesi olduğu gözden kaçmamalıdır. Burada,
Doléans-Dade üsteli notasyonudur. - ^ Karatzas & Shreve 1991, s. 191'e bakınız.
- ^ Mesela, Oksendal 2003, s. 155'ten başlayarak değişik varsayimlar altında bu teoremin üç değişik versiyonu sunulmuştur.
Kaynakça
- Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E. (1991), Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97655-6
- Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Springer, Berlin. ISBN 3-540-04758-1.