İçeriğe atla

Girsanov teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan olasılık teorisinde (daha özelde stokastik süreçlerde) Girsanov teoremi, stokastik süreçlerin ölçü değişimleri altında nasıl değiştiğini gösteren ve özellikle finansal matematikte yaygın uygulaması olan bir teoremdir. Teorem, finansal matematikte bir dayanak varlığın (bir hisse senedi fiyatı veya faiz oranı gibi) fiziksel ya da gözlemlenen bir ölçüde yazılan fiyat sürecinin riske duyarsız ölçüye nasıl dönüştürüleceğini gösterir. Teorem, stokastik diferansiyel denklemlerin zayıf çözümlerinin varlığını ve biricikliğini kanıtlamakta da yararlıdır.[not 1]

Teoremin ifadesi

bir olasılık uzayı, bu uzayın olağan koşulları sağlayan bir filtreleme ve , özelliğini sağlayan boyutlu Brown hareketi olsun.

boyutlu süreci

  • ölçülebilir,
  • filtreye uyarlı
  • ve aşağıdaki şartları sağlayan bir süreç olsun.

Bu koşullar altında

iyi tanımlıdır.[not 2]

Girsanov teoremi,[not 3] eğer süreci martingalse

tanımının yeni bir olasılık ölçüsü verdiğini ve sabit alınmış bir değeri için,

biçiminde tanımlanan sürecinin olasılık uzayında -boyutlu Brown hareketi olduğunu söyler.

Bu teoremin ifadesi değişik kaynaklarda basitleşirilmiş ya da değişik kriterleri sağlayan halleriyle sunulabilir.[not 4]

Yukarıda verilen boyutlu süreci için,

koşulu sağlanıyorsa, o zaman bir martingal olur ve Girsanov teoreminin şartı sağlanmış olur. Bu koşula Novikov kriteri ya da Novikov koşulu denir.

Finans başta olmak üzere birçok durumda, teoremdeki süreci karşımıza

halinde çıkar. Bu biçimdeki bir sürecinin martingale olması için yeterli ve gerekli koşul Novikov koşulunun sağlanmasıdır; yani,

olmasıdır. Bu durumda, tanımlanırsa, her için bir -Brown hareketi elde edilir.

Finansta kullanımı

bir olasılık ölçüsü altında Brown hareketi, , ve

geometrik Brown hareketi olsun.

Her için, ve tanımlansın. O zaman

için, olur. Eğer olarak tanımlanırsa, süreci ölçüsü altında Brown hareketi olur. 'ya finansal matematikte riske duyarsız ölçü denir. Black-Scholes formülünün bir kanıtı bu ölçü altında verilebilir.

Notlar

  1. ^ Karatzas & Shreve 1991, s. 302'ye bakınız.
  2. ^ ifadesinin aslında ifadesi olduğu gözden kaçmamalıdır. Burada, Doléans-Dade üsteli notasyonudur.
  3. ^ Karatzas & Shreve 1991, s. 191'e bakınız.
  4. ^ Mesela, Oksendal 2003, s. 155'ten başlayarak değişik varsayimlar altında bu teoremin üç değişik versiyonu sunulmuştur.

Kaynakça

  • Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E. (1991), Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97655-6 
  • Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Springer, Berlin. ISBN 3-540-04758-1. 

İlgili Araştırma Makaleleri

Laplasyen , skaler bir alanının gradyanı alınarak elde edilen vektörün diverjansıdır. Fizikteki birçok diferansiyel denklem laplasyen içerir.

<span class="mw-page-title-main">Küresel koordinat sistemi</span>

Küresel koordinat sistemi, üç boyutlu uzayda nokta belirtmenin bir yoludur.

<span class="mw-page-title-main">Navier-Stokes denklemleri</span> Akışkanların hareketini tanımlamaya yarayan denklemler dizisi

Navier-Stokes denklemleri, ismini Claude-Louis Navier ve George Gabriel Stokes'tan almış olan, sıvılar ve gazlar gibi akışkanların hareketini tanımlamaya yarayan bir dizi denklemden oluşmaktadır.

Rassal değişken kavramının geliştirilmesi ile, sezgi yoluyla anlaşılan şans kavramı, soyutlaştırarak teorik matematik analiz alanına sokulmuş ve bu geliştirilen matematik kavram ile olasılık kuramı ve matematiksel istatistiğin temeli kurulmuştur.

<span class="mw-page-title-main">Gamma dağılımı</span>

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında gamma dağılımı iki parametreli bir sürekli olasılık dağılımıdır. Bu parametrelerden biri ölçek parametresi θ; diğeri ise şekil parametresi k olarak anılır. Eğer k tam sayı ise, gamma dağılımı k tane üstel dağılım gösteren rassal değişkenlerin toplamını temsil eder; rassal değişkenlerin her biri nin üstel dağılımı için parametre olur.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında bir rassal değişken X için olasılık yoğunluk fonksiyonu bir reel sayılı sürekli fonksiyonu olup f ile ifade edilir ve şu özellikleri olması gereklidir:

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında, bir rassal değişken X için, eğer beklenen değer var ise, moment üreten fonksiyon şöyle tanımlanır:

<span class="mw-page-title-main">İntegral testi</span>

Matematikte integral testi veya bir diğer deyişle yakınsaklık için integral testi, terimleri negatif olmayan sonsuz serilerin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Bu testin erken bir versiyonu 14. yüzyılda Hint matematikçi Madhava ve takipçileri tarafından bulunmuştur. Avrupa'da ise Maclaurin ve Cauchy tarafından geliştirilmiş olup aynı zamanda Maclaurin-Cauchy testi olarak da bilinir.

Gauss integrali, Euler–Poisson integrali olarak da bilinir, tüm reel sayılardaki ex2 Gauss fonksiyonunun integralidir. Alman matematik ve fizikçi Carl Friedrich Gauss'dan sonra adlandırlıdı. İntegrali şöyledir:

<span class="mw-page-title-main">Beta fonksiyonu</span>

Matematik'te, beta fonksiyonu, Euler integrali'nin ilk türüdür,

<span class="mw-page-title-main">Euler spirali</span> düzlemsel eğri

Euler spirali, eğimi eğrinin uzunluğuyla doğrusal olarak degişen bir eğridir. Euler spiralleri yaygın olarak spiros, clothoids veya Cornu spiralleri olarak da adlandırılır. Euler spirallerinin kırınım hesaplamalarında uygulamaları vardır. Genellikle demiryolu ve karayolu mühendisliklerinde teğet eğrisi ve dairesel eğri arasındaki geometriyi bağdaştırmaya ve aktarmaya yarayan geçiş eğrisi olarak kullanılır. Teğet eğrisi ve dairesel eğri arasındaki geçiş eğrisinin eğimindeki lineer değişim prensibi Euler spiralinin geometrisini belirler:

Burada, en yaygın olarak kullanılan koordinat dönüşümü bazılarının bir listesi verilmiştir. Kısmi türevler alınırken çarpımın türevi gibi davranıldığı akıldan çıkarılmamalıdır. Bir örnek olarak fonksiyonunda üç çarpım vardır

Matematiksel analizde Legendre fonksiyonları, aşağıdaki Legendre diferansiyel denkleminin çözümleridir.

 ;

Matematikte ters trigonometrik fonksiyonlar, tanım kümesinde bulunan trigonometrik fonksiyonların ters fonksiyonudur.

<span class="mw-page-title-main">Gauss fonksiyonu</span>

Matematikte Gauss fonksiyonu, bir fonksiyon biçimidir ve şöyle ifade edilir:

Matematik dünyasında, Parseval teoremi Fourier dönüşümünün bir üniter ifade olduğu sonucunu bize açıklar. Basit bir şekilde açıklarsak, bir fonksiyonun karesinin toplamı ile Fourier dönüşümün fonksiyonunun karesinin toplamının birbirine eşit olduğunu söyler. Teorem, Marc-Antoine Parseval'in 1799 yılındaki seriler hakkındaki bir teoreminin Fourier serilerine uygulanması sonucu ortaya çıkmıştır. Lord Rayleigh ile John William Strutt'tan sonra Rayleigh Enerji Teoremi veya Rayleigh Özdeşliği olarak da bilinir.

<span class="mw-page-title-main">Bir olayın olma olasılığı</span>

Olasılık yoğunluk fonksiyonu, olasılık kuramı ve bir olayın olma olasılığı dallarında bir rassal değişken olan X için reel sayılı sürekli fonksiyondur.

Matematiğin bir alt dalı olan olasılık teorisinde ve rassal süreçlerde, filtre ya da süzgeç azalmayan bir σ-cebiri ailesidir. Amerikalı matematikçi Joseph Doob tarafından 1953'te literatüre sokulmuştur.

Matematiğin bir alt dalı olan olasılık teorisinde bir martingal ya da martingal süreci bir sonraki beklenen değerinin geçmişteki bütün gözlemlenmiş değerlerden bağımsız olarak şimdiki gözlemlenen değer olduğu bir stokastik süreçtir.

Matematiğin bir alt dalı olan stokastik süreçlerde Doléans-Dade üsteli, Doléans üsteli ya da stokastik üstel, matematiksel analizin üstel fonksiyonuna stokastik süreçlerde karşılık gelen bir kavramdır. Bu kavram adını Fransız asıllı Amerikalı matematikçi Catherine Doléans-Dade'den almaktadır.