Geometrik optik

Geometrik optik veya ışın optiği, ışık yayılmasını ışınlarla açıklar. Geometrik optikte ışın bir soyutlama ya da enstrumandır; ışığın belirli şartlarda yayıldığı yola yaklaşmada kullanışlıdır.

• Geometrik optiğin varsayımları sadeleştirilirse ışık ışınları:
• Homojen bir ortamda düz bir çizgi halinde yayılır.
• Farklı ortamların kesişiminde kıvrılır ve bazı şartlarda ikiye ayrılır.
• Kırılma indeksinin değiştiği bir ortamda eğik yollar takip eder.
• Soğurulmuş ya da yansıtılmış olabilir.

Geometrik optik kırınım ve girişim gibi belli optik etkileri açıklamaz. Bu sadeleştirme pratikte kullanışlıdır, dalga boyu ışığın etkilediği yapının boyutuna göre küçükse mükemmel bir yaklaşımdır. Teknikler özellikle optik aberesyonu(sapma) da kapsayan görüntülemenin geometrik halini tanımlamada kullanışlıdır.

Bir ışık ışını ışığın dalgacephesine dik (dalga vektörüne paralel) olan bir doğru veya eğridir.

Biraz daha titiz bir tanım gerekirse ışın Fermat prensibinden gelir. Fermat prensibine göre göre ışık ışınının iki nokta arasında aldığı yol en az zamanda çaprazlanabilen yoldur.^[1]

Geometrik optik sık sık paraxial yaklaşım veya küçük açı yaklaşımı yapılarak basitleştirilir. Matematiksel davranış optikal bileşenlerin ve sistemlerin basit matrislerle tanımlanabildiği doğrusal bir hale gelir. Bu optik sistemlerin yaklaşık görüntü ve obje pozisyonu/büyümeleri gibi temel özelliklerini bulan Gauss optiği ve ‘paraxial ışın izi’ tekniklerini kullanmaya olanak sağlar.^[2]

Ayna gibi parlak yüzeyler ışığı basit, tahmin edilebilir bir şekilde yansıtır.Bu uzayda sanal veya gerçek bir lokasyonla ilişkilendirilebilecek yansıyan bir görüntünün üretimine izin verir.

Bu gibi yüzeylerde, yansıyan ışının yönü çarpan ışının yüzeyin normaliyle (ışının çarptığı noktada yüzeye dik bir doğru) yaptığı açıyla belirlenir. Gelen ve yansıyan ışınlar tek bir düzlemdedir ve her iki ışının normalle yaptığı açı eşittir.^[3] Bu yansıma yasası olarak bilinir

Düz aynalar için, yansıma kuralı ayna önündeki objelerin görüntülerinin aynı dikey doğrultuda ve aynı uzaklıkta olarak aynanın arkasında oluştuğunu söyler. Obje ve görüntüsü aynı boyutlardadır. (Düz aynanın büyütme katsayısı 1 e eşittir.) Kural ayrıca ayna görüntülerinin ters pariteli (sağ-sol ters çevrilmesi) olduğunu söyler.

Eğik yüzeyli aynalar ışın kopyalamayla ve yüzeydeki her noktada yansıma kuralları kullanılarak modellenebilir. Parabolik yüzeyli aynalar için, aynaya çarpan paralel ışınlar ortak bir odağa yakınsayan yansıyan ışınlar oluşturur. Diğer eğik yüzeyler de beili ışığı odaklayabilir fakat düzensiz şekilden dolayı oluşan aberasyonlar odağın uzayda kaybolmasına yol açabilir. Özel olarak, küresel aynalar küresel aberasyonlar sergileyebilir. Eğik aynalar görüntüleri 1den küçük veya büyük katsayı ile oluşturabilir ve görüntü aynı doğrultuda ya da ters olabilir. Bir aynada yansımayla oluşmuş aynı doğrultulu bir görüntü daima sanaldır; ters dönmüş görüntüyse gerçektir ve bir ekrana yansıtılabilir.^[3]

Kırınım ışığın uzayda farklı bir kırılma indisine sahip ortama girmesiyle oluşur. Kırılmanın en basit oluşumu kırılma indisi olan bir ortam ile olan bir ortam arasındaki ara yüzeydedir. Böyle durumlarda, Snell yasası ışığın sapma miktarını belirler:

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\ }$ ve normal ( arayüzeye ) ile gelen ve kırılan ışınlar arasındaki açılardır. Bu olgu ayrıca yukarıda kırılma indisinin tanımında görüldüğü üzere ışığın hız değişimi ile bağdaştırılabilir:

${\displaystyle v_{1}\sin \theta _{2}\ =v_{2}\sin \theta _{1}}$

v_1 ve v_2 ortamlardaki dalga hızlarıdır.^[3]

Snell yasasının çeşitli neticeleri arasında ışığın yüksek kırılma indisili bir materyalden düşük kırılma indisli bir materyale geçerken ara yüzeyle etkileşimde sıfır iletim olması mümkündür. Bu olgu topyekûn iç yansıma olarak adlandırılır ve fiber optik teknolojiye imkân sağlar. Işık sinyalleri bir fiber optik kablodan geçerken topyekûn iç yansımaya maruz kalır ve esasen kablo boyunca hiç ışık kaybı olmaz. Kırılma ve yansımanın bir kombinasyonu kullanılarak polarize ışık ışınları üretilebilir: Kırılan ve yansıyan ışınlar bir dik açı oluşturursa, yansıyan ışın ‘düzlem polarizasyon’ özelliği kazanır. Böyle bir senaryo için gereken açıya Brewster açısı denir.^[3]

Snell yasası ortamın kırılma indisi ve geometrisi bilindiği sürece doğrusal bir ortamdan geçen ışık ışınlarının sapmalarını tahmin etmede kullanılabilir. Örnek olarak, bir prizmadan geçen ışık prizmanın şekline ve yönelimine bağlı olarak sapma yapar. İlaveten, ışığın farklı frekansları pek çok maddede az da olsa farklı kırılma indislerine sahip olduğundan, kırılma olayı gökkuşağı gibi görünen dağılma spektrumları oluşturmak için kullanılabilir. Bu prizmadan geçen ışık olgusunun keşfi Isaac Newton'a dayandırılır.^[3]

Pozisona göre kademeli olarak değişen bir kırılma indisine sahip olan ortamlarda ışık ışınları doğrudan şekilde hareket etmek yerine kıvrılarak hareket eder. Bu etki sıcak günlerde havanın değişken kırılma indisli kısımlarında ışık ışınlarında kırılmaya ve uzakta bir yerde yanıltıcı yansımaların oluşmasına yani serap görme dediğimiz olaya sebep olur. (sanki bir su birikintisi veya havuz yüzeyinde olduğu gibi). Değişken kırılma indisine sahip maddeler derece derece değişen kırılma indisine sahip madde(GRIN) olarak adlandırılır ve fotokopi ve tarayıcıları da içeren birçok modern optik tarama teknolojisinde kullanılan birçok yararlı özelliği vardır. Bu olgu üzerinde Gradyan indeksi optik konusunda çalışılır.^[4]

Kırılma ile ışınları birleştiren ya da ayıran cihazlara mercek (lens) adı verilir. İnce mercekler, merceğin iki tarafında da odak noktası oluşturabilirler. Bu noktalar lensmaker denklemi^[5] ile modellenebilir. Genel olarak iki çeşit mercek türü vardır: paralel ışınları birleştiren konveks ve paralel ışınları ayıran konkav mercek. Merceklerin nasıl görüntü oluşturduğunu ayrıntılı şekilde tahmin etmek için aynalarda kullanılan ışın izleme yöntemi kullanılabilir. Küresel aynalarda olduğu gibi ince merceklerde de verilen odak noktasının uzunluğu (${\displaystyle f}$) ve nesne uzaklığı(${\displaystyle S_{1}}$) kullanılarak basit bir denklem ile cismin görüntüsünün nerede olduğu belirlenebilir:

${\displaystyle {\frac {1}{S_{1}}}+{\frac {1}{S_{2}}}={\frac {1}{f}}}$

Bu denklemde görüntünün mesafesini ifade eder ve görüntü ile nesne aynı tarafta ise negatif; farklı tarafta ise pozitif kabul edilir. s.^[5] odak uzunluğu f kabul negatif içbükey mercekler.

Paralel gelen ışınlar ince kenarlı (konveks) mercek tarafından, merceğin uzak tarafında odaklandırılarak bir odak uzaklığı mesafede ters bir şekilde gerçek görüntüye dönüştürülürler

Sonlu bir mesafedeki nesneden gelen ışınlar odak noktasından daha öte bir noktada odaklanırlar; nesne merceğe yaklaştıkça görüntü mercekten uzaklaşır. Kalın kenarlı (konkav merceklerde), paralel gelen ışınlar mercekten geçtikten sonra mercekten bir odak uzunluğu mesafede, paralel ışınların geldiği mercek tarafındaki düz bir sanal görüntüden kaynaklanmışçasına dağılırlar.

Sonlu mesafedeki bir nesneden gelen ışınlar, merceğe odak noktasından daha yakın, nesne ile aynı tarafta olan bir sanal görüntü ile ilişkilendirilirler. Nesne merceğe yaklaştıkça, sanal görüntü de merceğe yaklaşır.

Aynı şekilde, bir merceğin büyütmesi ise aşağıda gösterildiği şekildedir:

${\displaystyle M=-{\frac {S_{2}}{S_{1}}}={\frac {f}{f-S_{1}}}}$

Bu formüldeki eksi (-), bir kongrede alınan karara göre, pozitif ise düz, negatif ise ters nesneleri belirtir. Aynalara benzer olarak, tek mercek ile oluşmuş görüntüler düz ise sanal, ters ise gerçek görüntülerdir.^[3]

Merceklerde odağı ve görüntüyü bozan optik aberasyonlar gözlemlenebilmektedir. Bu aberasyonlar (sapınçlar) geometrik kusurlardan ya da ışığın değişik dalga boyları nedeniyle ortaya çıkan kırınım indeksi değişiminden (kromatik aberasyon) kaynaklanabilmektedir.^[3]

Matematiksel bir çalışma olarak geometrik optik hiperbolik kısmi türev eşitlikleri çözümünde kısa dalgaboyu limiti olarak ortaya çıkar. Bu kısa dalga boyu limitinde çözüm yaklaşık olarak:

${\displaystyle u(t,x)\approx a(t,x)e^{i(k\cdot x-\omega t)}}$

k,w dağılım ilişkisini sağlar ve genlik a(t, x) yavaşça değişir. Daha açık olarak çözümler şeklini alır.

${\displaystyle a_{0}(t,x)e^{i\varphi (t,x)/\varepsilon }.}$

Aşama ${\displaystyle \varphi (t,x)/\varepsilon }$ büyük dalga boylarını değerlendirmek için doğrusallaştırılabilir ${\displaystyle k:=\nabla _{x}\varphi }$ ve frekans ${\displaystyle \omega :=-\partial _{t}\varphi }$. Genlik araç bir denklem sağlar. Küçük parametre ε ekrana yüksek titreşimli başlangıç koşulları sayesinde girer. Böylece başlangıç koşulları diferansiyel denklemdeki katsayılardan daha hızlı titreştiğinde çözüm daha yüksek titreşimli olacak ve ışınlar boyunca taşınacaktır. Diferansiyel denklemlerdeki katsayıların sorunsuz olduğunu varsayarsak o zaman ışınlarda öyle olacaktır. Bir başka deyişle kırınım yer almayacaktır. Bu teknik için bu etken kısa dalga boyuna sahip olan ışığın onların hareket sürelerini küçülten ışınlar boyunca hareket ettiği ışık yayılması senaryosu çalışmalarından gelir. Tam uygulama mikrolokal analizi araçlarını gerektirir.

${\displaystyle (t,x)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}}$ için dalga denklemiyle başlayarak

${\displaystyle L(\partial _{t},\nabla _{x})u:=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-c(x)^{2}\Delta \right)u(t,x)=0,\;\;u(0,x)=u_{0}(x),\;\;u_{t}(0,x)=0}$

Asimtotik seri çözümü formunu varsayarak;

${\displaystyle u(t,x)\sim a_{\varepsilon }(t,x)e^{i\varphi (t,x)/\varepsilon }=\sum _{j=0}^{\infty }i^{j}\varepsilon ^{j}a_{j}(t,x)e^{i\varphi (t,x)/\varepsilon }.}$

Kontrol edin;

${\displaystyle L(\partial _{t},\nabla _{x})(e^{i\varphi (t,x)/\varepsilon })a_{\varepsilon }(t,x)=e^{i\varphi (t,x)/\varepsilon }\left(\left({\frac {i}{\varepsilon }}\right)^{2}L(\varphi _{t},\nabla _{x}\varphi )a_{\varepsilon }+{\frac {2i}{\varepsilon }}V(\partial _{t},\nabla _{x})a_{\varepsilon }+{\frac {i}{\varepsilon }}(a_{\varepsilon }L(\partial _{t},\nabla _{x})\varphi )+L(\partial _{t},\nabla _{x})a_{\varepsilon }\right)}$

ile

${\displaystyle V(\partial _{t},\nabla _{x}):={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial t}}-c^{2}(x)\sum _{j}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$

Seriyi bu denkleme koyarak ve serileri bu eşitlikte yerleştirerek ${\displaystyle \varepsilon }$'nin ve kuvvetlerini eşitleyerek, tek ifade ${\displaystyle O(\varepsilon ^{-2})}$ tasvirsel denklemi doğrular (Bu durumda bir dağılm ilişkisi olarak adlandırılır.)

${\displaystyle 0=L(\varphi _{t},\nabla _{x}\varphi )=(\varphi _{t})^{2}-c(x)^{2}(\nabla _{x}\varphi )^{2}.}$

Sıralamak için ${\displaystyle \varepsilon ^{-1}}$ ,baş terim genliği taşıma denklemini sağlamalıdır.

${\displaystyle 2Va_{0}+(L\varphi )a_{0}=0}$

Bu tanımla birlikte, ${\displaystyle k:=\nabla _{x}\varphi }$, ${\displaystyle \omega :=-\varphi _{t}}$,Tabirsel denklem tamamıyla düzlem dalga sonuçlarının ${\displaystyle e^{i(k\cdot x-\omega t)}}$ dalga denklemine uygulanarak sonuçlanan dağılım ilişkisidir.Bunun daha karışık genişletilmiş değeri düzlem dalgalarının dalga hızları ${\displaystyle c}$ sabit olmadığında sonuçlandırılamamasıdır.Ancak,yerle bir ölçekte düzlem dalgaları olduğu için genliğin ${\displaystyle a_{0}}$ ve fazın ${\displaystyle \varphi }$ düzgün olduğu gösterilebilir.

Bu tekniği doğrulamak için,kalan terimler bazı durumlarda küçük gösterilmelidir.Bu enerji tahmini ve başlangıç koşullarının hızlıca titrediği varsayımı yapılarak uygulanabilir .Ayrıca serinin bazı durumlarda yakınsadığını göstermek zorundadır.

• Hamiltonian optics

• Robert Alfred Herman (1900) Bir Tez üzerinde Geometrik optik dan Archive.org.
• "Işık Gözleri ve Aydın Peyzaj Vizyonu" 15 Nisan 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. bir el yazması, Arapça, geometrik optik, kalma 16. yüzyıl.
• Teorinin Sistemleri Işınları 22 Ocak 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - W. R. Hamilton İşlemlerin İrlanda Kraliyet Akademisi, Vol. XV, 1828.

Bazı eski kitaplar ve kağıtlar İngilizce çevirileri:

• H. Bruns, "Das Eikonal" 14 Temmuz 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• M. Malus, "Optique" 14 Temmuz 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Işık dalgaları için genel form J. tüy yolma, "Tartışma" 21 Ekim 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Doğrusal ray sistemleri E. Kummer, "Genel teori" 21 Ekim 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• E. Kummer, optik üzerine sunum-ödenecek doğrusal ray sistemleri 21 Ekim 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Işık ışınlarının doğrusal sistemlerin R. Meibauer, "Teori" 4 Mart 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Kompleksleri M. Pasch, "ray sistemleri odak yüzeylerde ve tekillik yüzeyleri" 14 Temmuz 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Geometrik optik A. Levistal, "Araştırma" 14 Temmuz 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• F. Klein, "Bruns bu eikonal" 14 Temmuz 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Geometrik optiğin R. Dontot, "integral sabitleri ve bazı noktaları" 14 Temmuz 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Optik T. de Donder, "integral değişmezler" 14 Temmuz 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

• Temel Geometrik Optik Haberleşme temelleri Modülü17 Eylül 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.