İçeriğe atla

Genelliği kaybetmeden

Genelliği kaybetmeden veya daha az kullanılan şekliyle genellikten hiç kayıp vermeden, matematikte sıkça kullanılan bir deyimdir. Bu deyim önermenin örneklem kümesini daraltarak analizin kapsamını küçülten bir ispat geliştirirken, bir varsayımdan önce kullanılır; ispatın bu altkümedeki geçerliliğinin tüm kümeye genelleştirilebileceğini ima eder. Böylece önermenin kaynak kümesinin bir altkümesinde gerçekleştirilen bir "alt-ispat"tan elde edilen sonuçların anaküme için de geçerli olacağını ifade eder.

Bu durum genelde simetri bakışımlılık gerektirir. Örneğin, x ve y şeklinde iki sayımız olsun ve x < y olduğu bilinsin; bu durumda bu varsayıma dayanarak ispat edilen tüm ilişkiler tamamlayıcı durum olan y < x için de geçerli olacaktır, zira x ve y nin rolleri değişmiştir, fakat ispat bu iki değişkende bakışımlıdır. Başka bir deyişle P(x, y)'nin doğru olduğu sonucuna ancak ve ancak P(y, x) doğru ise ulaşabiliyorsak, o halde genelliği kaybetmeden P(x, y) 'nin doğru olduğunu göstermemiz yeterlidir, zira bakışım gereği P(y, x) sonucumuzu takip edecektir. Bu bağlamda, P bakışımlıdır (simetriktir).

Genelliği kaybetmeden deyiminden sonra bir varsayım gelmelidir. Genelliğin kaybolmadığını denetlemek için ispatın tamamını yazar (kaynak kümesini daraltılmış bir varsayım yapmadan) ve ispatın tüm kümede geçerli olup olmayacağına bakarız.

Örnek

Aşağıdaki kuramı inceleyelim (Ramsey'in kuramının en basit hali ve ayrıca Dirichlet'in güvercin yuvası ilkesinin bir örneğidir):

Üç cisimden her biri ya kırmızıya ya da maviye boyanmıştır; o halde rengi aynı olan iki cisim olmalıdır.

İspat:

Genelliği kaybetmeden ilk cismin kırmızı olduğunu varsayalım. Eğer kalan iki cisimden herhangi biri kırmızı ise işimiz bitmiştir; eğer değilse kalan iki cisim mavidir ve dolayısıyla yine işmiz bitmiştir.

Tam ispata tüm permütasyonların dökümüyle başlayalım, K ile başlayanları M ile başlayanlardan ayıralım:

  1. KKK
  2. KKM
  3. KMK
  4. KMM
  5. MKK (4'ün tersi)
  6. MKM (3'ün tersi)
  7. MMK (2'nin tersi)
  8. MMM (1'in tersi)

Toplamda, beklediğimiz gibi 8 tanedirler (2 × 2 × 2). Şimdi görüyoruz ki ayrık listeler varsayımımız altında birbirlerine denktirler (ilk yarıdakilerde K ve M'nin yerlerini değiştirerek ikinci yarıdakileri elde edebiliyoruz ve tersi), o halde varsayımımızı sadece K ile başlayan yarı üzerinde denememiz yeterlidir.

Daha kısa olan listeyi tarayarak (1-4 arası permütasyonlar) her defasında aynı renkte olan iki cisim olduğunu görebiliriz. 1-3 arası permütasyonlarda ilkinden sonra en az bir cismin kırmızı olduğunu görüyoruz ve 4. permütasyonda da son iki cisim mavi.

Önermemizi kısıtlandırma işlemini yaparken dikkat ettiğimiz iki nokta;

  1. Cisimlerin sıralanma şeklinin bir şeyi değiştirmeyeceğini fark etmemiz
  2. Rengin "türü" ile değil de "sayısı" ile ilgileniyor olmamız

Bu iki varsayımımız da "aynı renk" gerektiren (gevşek bir gereklilik) sonucumuzla uyumludur.

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Matematiksel ispat</span> ilgilenilen bir önermenin, belirli aksiyomlar esas alınarak, doğru olduğunu gösterme yöntemi

Matematiksel ispat, matematiksel bir ifade için türetilmiş varsayımların mantıksal olarak doğru olduğu sonucunu garantileyen, çıkarımsal bir argümandır. Argüman, teoremler gibi önceden oluşturulmuş diğer ifadeleri kullanabilir; lakin prensipte her delil, kabul edilen çıkarım kurallarıyla birlikte yalnızca aksiyom olarak bilinen belirli temel veya orijinal varsayımlar kullanılarak oluşturulabilir.

Matematikte reel sayılar kümesi, Fransızca réel “gerçek” den gelmektedir. Oranlı sayılar kümesinin evrim sürecinden elde edilen bir varsayım kombinasyonudur. Reel sayılar kümesi sembolüyle gösterilir.

Topolojik uzaylar, matematiğin Topoloji dalının başlıca uğraş konularıdır. Bir X kümesi ve bu kümenin alt kümelerinin bir kısmını içeren ve aşağıdaki varsayımları sağlayan S kümesinden oluşurlar:

Matematiksel mantık, biçimsel mantığın matematiğe uygulanmasıyla ilgilenen bir matematik dalıdır. Metamatematik, matematiğin temelleri ve kuramsal bilgisayar bilimi alanlarıyla yakınlık gösterir. Matematiksel mantığın temel konuları biçimsel sistemlerin ifade gücünün ve biçimsel ispat sistemlerinin tümdengelim gücünün belirlenmesidir.

<span class="mw-page-title-main">Öklid geometrisi</span> Öklide atfedilen matematiksel-geometrik sistem

Öklid geometrisi, İskenderiyeli Yunan matematikçi Öklid’e atfedilen matematiksel bir sistemdir ve onun Elemanlar adlı geometri üzerine ders kitabında tarif edilmektedir. Öklid'in yöntemi, sezgisel olarak çekici küçük bir aksiyom seti varsaymaktan ve bu aksiyomlara dayanarak birçok başka önermeyi (teoremleri) çıkarmaktan ibarettir. Öklid'in sonuçlarının çoğu daha önceki matematikçiler tarafından ifade edilmiş olsa da, Öklid, bu önermelerin kapsamlı bir tümdengelimli ve mantıksal sisteme nasıl uyabileceğini gösteren ilk kişi oldu. Elemanlar, ilk aksiyomatik sistem ve resmi ispatın ilk örnekleri olarak ortaokulda (lise) hala öğretilen düzlem geometrisi ile başlar. Üç boyutlu katı geometrisi ile devam ediyor. Elemanlar’ın çoğu, geometrik dilde açıklanan, şimdi cebir ve sayı teorisi olarak adlandırılan şeyin sonuçlarını belirtir.

<span class="mw-page-title-main">Özel görelilik</span> izafiyet teorisi, uzay ve zaman arasındaki ilişkiyi açıklayan bir bilimsel teoridir

Fizikte, özel görelilik teorisi veya izafiyet teorisi, uzay ve zaman arasındaki ilişkiyi açıklayan bir bilimsel teoridir. Albert Einstein'ın orijinal çalışmalarında teori, iki varsayıma dayanmaktadır:

  1. Fizik yasaları, tüm süredurum referans çerçevelerinde değişmezdir.
  2. Işık kaynağının veya gözlemcinin hareketinden bağımsız olarak vakumdaki ışığın hızı, tüm gözlemciler için aynıdır.
<span class="mw-page-title-main">Açısal momentum</span> Fiziksel nicelik

Açısal momentum, herhangi bir cismin dönüş hareketine devam etme isteğinin bir göstergesidir ve bu nicelik cismin kütlesine, şekline ve hızına bağlıdır. Açısal momentum bir vektör birimidir ve cismin belirli eksenler üzerinde sahip olduğu dönüş eylemsizliği ile dönüş hızını ifade eder.

<span class="mw-page-title-main">Çarpma</span>

Çarpma, temel aritmetik işlemlerden biridir. Sayılarda çarpma, çarpılan sayının çarpan sayı kadar adedinin toplamının alınması işlemidir.

Cisim, halka ve grup gibi soyut bir cebirsel yapıdır. Kabaca, elemanları arasında toplama, çıkarma, çarpma ve bölme yapılabilen ve bu işlemlerde sayılardan alışık olduğumuz temel aritmetik kurallarının geçerli olduğu bir küme olarak tanımlanabilir.

ElGamal şifrelemesi, Diffie-Hellman anahtar alış-verişi'ne dayanan bir asimetrik şifreleme algoritması olup Taher Elgamal tarafından 1984 yılında önerilmiştir.

<span class="mw-page-title-main">Dönme</span>

Dönme ya da dönüş; bir merkeze bağlı olarak dairesel hareket yapan cisimlerin hareketine denir. Üç boyutlu cisimler her zaman hayali bir dönüş eksen çizgisi etrafında döner. Eğer bu eksen cismin gövdesinden ve kütle merkezinden geçerse, cismin kendi etrafında döndüğü söylenir. Bir dış noktaya göre merkez seçilirse bu harekete dönüş veya orbital dönüş denir ve genellikle yerçekimi tarafından oluşturulur.

Collatz sanısı, Lothar Collatz tarafından ortaya atılan, 1'den büyük tüm doğal sayıların 1'e indirebildiğini anlatan bir konjektür. Ancak daha kesinleşememiştir. Çünkü; 268 ≈ 2.951×1020. sayısına kadar olan sayılar, ancak kanıtlanabildi. Bu sayı ve daha yüksekleri ise daha hâlâ matematikçiler tarafından uğraşılmaktadır.

Olasılık kuramında Borel–Cantelli önermesi olay dizilerine ilişkin bir savdır. Ölçü kuramının bir sonucu olan önerme Émile Borel ve Francesco Paolo Cantelli'ye adanmıştır.

Olasılık kuramında iki olayın bağımsız olması bu olaylardan birinin gerçekleşme olasılığının diğer olayın gerçekleşip gerçekleşmediğine bağlı olmaması anlamına gelmektedir. Örneğin;

Matematikte fonksiyon uzayı bir X kümesinden bir Y kümesine tanımlı fonksiyonların oluşturduğu kümeye verilen bir addır. Fonksiyonlar kümesi yerine fonksiyon uzayı denilmesinin nedeni matematiğin kendi içindeki uygulamalarında bu kümenin genellikle topolojik uzay veya vektör uzayı olarak ortaya çıkmasıdır.

<span class="mw-page-title-main">Kara cisim ışınımı</span> opak ve fiziksel yansıma gerçekleştirmeyen siyah cisimden yayılan ve sabit tutulan tekdüze ısı

Siyah cisim ışıması içinde elektromanyetik ışıma ya da çevresinde termodinamik dengeyi sağlayan ya da siyah cisim tarafından yayılan ve sabit tutulan tekdüze ısıdır. Işıma çok özel bir spektruma ve sadece cismin sıcaklığına bağlı olan bir yoğunluğa sahiptir. Termal ışıma, birçok sıradan obje tarafından kendiliğinden yayılan bir siyah cisim ışıması sayılabilecek türden bir ışımadır. Tamamen yalıtılmış bir termal denge ortamı siyah cisim ışımasını kapsar ve bir boşluk boyunca kendi duvarını yaratarak yayılır, boşluğun etkisi göz ardı edilebilecek kadar küçüktür. Siyah cisim oda sıcaklığında siyah görünür, yaydığı enerjinin çoğu kızılötesidir ve insan gözü ile fark edilemez. Daha yüksek sıcaklıklarda, siyah cisimlerin özkütleleri artarken renkleri de soluk kırmızıdan kör edecek şekilde parlaklığı olan mavi-beyaza dönüşür. Gezegenler ve yıldızlar kendi sistemleri ve siyah cisimler ile termal dengede olmamalarına rağmen, yaydıkları enerji siyah cisim ışımasına en yakın olaydır. Kara delikler siyah cisim olarak sayılabilirler ve kütlelerine bağlı bir sıcaklıkta siyah cisim ışıması yaptıklarına inanılır . Siyah Cisim terimi, ilk olarak Gustav Kirchhoff tarafından 1860 yılında kullanılmıştır.

<span class="mw-page-title-main">Sürekli ortamlar mekaniği</span>

Sürekli ortamlar mekaniği, ayrı parçacıklar yerine tam bir kütle olarak modellenen maddelerin mekanik davranışları ve kinematiğin analizi ile ilgilenen mekaniğin bir dalıdır. Fransız matematikçi Augustin-Louis Cauchy, 19. yüzyılda bu modelleri formüle dökmüştür, fakat bu alandaki araştırmalar günümüzde devam etmektedir. 

<span class="mw-page-title-main">Yörünge mekaniği</span>

Yörünge mekaniği veya astrodinamik, roketler ve diğer uzay araçlarının hareketini ilgilendiren pratik problemlere, balistik ve gök mekaniğinin uygulamasıdır. Bu nesnelerin hareketi genellikle Newton'un hareket kanunları ve Newton'un evrensel çekim yasası ile hesaplanır. Bu, uzay görevi tasarımı ve denetimi altında olan bir çekirdek disiplindir. Gök mekaniği; daha genel olarak yıldız sistemleri, gezegenler, uydular ve kuyruklu yıldızlar gibi kütle çekimi etkisinde bulunan yörünge sistemleri için geçerlidir. Yörünge mekaniği; uzay araçlarının yörüngelerine ait yörünge manevraları, yörünge düzlemi değişiklikleri ve gezegenler arası transferler gibi kavramlara odaklanır ve itici manevralar sonuçlarını tahmin etmek için görev planlamacıları tarafından kullanılır. Genel görelilik teorisi, yörüngeleri hesaplamak için Newton yasalarından daha kesin bir teoridir ve doğru hesaplar yapmak ya da yüksek yerçekimini ihtiva eden durumlar söz konusu olduğunda bazen gereklidir.

<span class="mw-page-title-main">Matematikte simetri</span> matematikte simetri kavramı

Simetri yalnızca geometride değil, matematiğin diğer dallarında da ortaya çıkar. Simetri bir tür değişmezliktir: matematiksel bir nesnenin bir dizi işlem veya dönüşüm altında değişmeden kaldığı özelliktir.

<span class="mw-page-title-main">Rolle teoremi</span> reel türevlenebilir bir fonksiyonun iki eşit değeri arasındaki durağan noktalar üzerine bir reel analiz teoremi

Kalkülüste, Rolle teoremi veya Rolle lemması temel olarak, iki farklı noktada eşit değerlere sahip herhangi bir gerçel değerli türevlenebilir fonksiyonun, aralarında bir yerde, teğet doğrusunun eğiminin sıfır olduğu en az bir noktaya sahip olması gerektiğini belirtir. Böyle bir nokta, durağan nokta olarak bilinir. Bu nokta, fonksiyonun birinci türevinin sıfır olduğu noktadır. Teorem adını Michel Rolle'den almıştır.


Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.