Genelleştirilmiş ortalama

Bir genelleştirilmiş ortalama; Pisagorik ortalamalarını, yani aritmetik ortalama, geometrik ortalama ve harmonik ortalamayı, aynı tanım formülünde birleştirip kapsayan bir soyut genelleştirmedir. Güç ortalaması veya Holder ortalaması adları da verilmektedir.

Eğer ${\displaystyle p}$ sıfır olmayan bir pozitif reel sayı ise, ${\displaystyle p}$ üslü genelleştirilmiş ortalama

${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}.}$

ifadesine uyan ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ pozitif reel sayılardır.

${\displaystyle t}$ = 1 hali aritmetik ortalama, ${\displaystyle t}$ = - 1 harmonik ortalamasını ve t = 2 ise ortalama kare kökünü ortaya çıkartır. t limitte 0a yaklaşırsa, M(t') için verilen sayılar için limit o sayıların geometrik ortalamasını verir ve bu nedenle M(0) terimini geometrik ortalama olarak tanımlamak uygun olur. Bunun yanında t ∞ değerine limitte yaklaşmakta ise, M(t) verilen sayıların minimum değerine yaklaşım gösterir.

• Birçok değişik ortalamalar gibi, genelleştirilmiş ortalama, ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ argümanlarının bir homojen fonksiyonudur. Yani ${\displaystyle b}$ pozitif bir reel sayı ise, ${\displaystyle b\cdot x_{1},\dots ,b\cdot x_{n}}$ reel sayılarının ${\displaystyle p}$ üslü genelleştirilmiş ortalaması ${\displaystyle b}$ teriminin ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ sayılarının genelleştirilmiş ortalamasına eşittir.
• Yarı-aritmetik ortalamalar için uygulandığı gibi, ortalamanın hesaplanması birbirine eşit büyüklükte alt-blokların hesaplanması ile elde edilebilir.

${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}(M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k}))}$

Genellikle, eğer ${\displaystyle p<q}$ olursa, o halde ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ olur ve iki ortalama ancak ve ancak ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$ ise birbirine eşittir. Bundan şu sonuç ortaya çıkartılır:

${\displaystyle \forall p\in \mathbb {R} \ {\frac {\partial M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial p}}\geq 0,}$

ve bu Jensen'in eşitsizliğini kullanılarak ispat edilebilir.

Özellikle, ${\displaystyle p\in \{-1,0,1\}}$ ise genelleştirilmiş ortalama eşitsizliği hem Pisagorik ortalamaların eşitsizliğini hem de aritmetik ve geometrik ortalamaların eşitsizliğini içermektedir.

• ${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$ - minimum,
• ${\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$ - harmonik ortalama,
• ${\displaystyle \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}$ - geometrik ortalama,
• ${\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$ - aritmetik ortalama,
• ${\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}}$ - kuadratik ortalama,
• ${\displaystyle \lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$ - maksimum.

p ve q endeksli güç ortalamaları arasında bir ortalama bulunsun:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

O halde:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}}}}$

(Bu pozitif reel sayılı kesinlikle azalan bir fonksiyon olduğu için) iki tarafın da -1 üssü alınabilir:

${\displaystyle {\sqrt[{-p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}}}={\sqrt[{p}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}}\geq {\sqrt[{q}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}}={\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}}$

Böylece -p ve -q üsleri olan ortalamalar için bir eşitsizlik elde etmiş oluruz. Aynı mantığı tersten de kullana bilip eşitsizliklerin birbirine aynı olduğu ispat edilebilir. (Bu sonuç ileri de kullanılacaktır.)

Herhangi bir q değeri için, q üslü bir ortalama ile geometrik ortalama arasındaki eşitsizliğin şu yolla dönüşümü yapılabilir:

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}}$

(Birinci eşitsizlik bir pozitif q için ispat edilmiş olması gerekir.)

Her iki tarafından q üssü alınırsa

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}\cdot q}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}$

olur. Her iki halde de ${\displaystyle x_{i}^{q}}$ silsilesi için ağırlıklı aritmetik ve geometrik ortalamalar arasındaki eşitsizlik ele geçirilir. Bu Jensen'in eşitsizliği ve logaritmik fonksiyonun konkav olduğu gerçeklerinden faydalanarak ispat edilebilir.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})\leq \log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\right)}$

${\displaystyle \log(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}})\leq \log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\right)}$

(Kesinlikle azalan) exp fonksiyonu her iki tarafa tatbik edilirse, şu eşitsizlik ortaya çıkar:

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}$

Böylece, herhangi bir pozitif q değeri için şu ifade önerilir:

${\displaystyle {\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

Bu eşitsizlik herhangi bir q ne kadar küçük olursa olsun hep gerçek olacağı için, q limitte 0a yaklaştıkça, bu eşitsizliğin sol ve sağ tarafları geometrik ortalamaya yaklaşıklık gösterir. q 0a yaklaşım gösterdikçe, güç ortalaması limitte geometrik ortalamaya yaklaşır:

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 0}{\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}}$

Burada herhangi bir p<q için şu eşitsizliğin geçerli olduğu ispat edilecektir:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

• Eğer p negatif ise ve q pozitif ise, eşitsizlik yukarıda ispatı verilenin aynıdır:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

• Hem p pozitif hem de q pozitif ise ispat şöyle yapılır:

Önce şu fonksiyon tanımlanır:

${\displaystyle f:{\mathbb {R} _{+}}\rightarrow {\mathbb {R} _{+}},}$ ${\displaystyle f(x)=x^{\frac {q}{p}}}$.

Burada f bir güç fonksiyonudur; bu nedenle ikinci türevi bulunup şöyle ifade edilir:

${\displaystyle f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2},}$

Bu f sahası içinde kesinlikle pozitif olur; çünkü q > p olduğu için f konvekstir.

Bu sonucu ve Jensen'in eşitsizliğini kullanarak, şu ifadeler elde edilir:

${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})}$

${\displaystyle {\sqrt[{\frac {p}{q}}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}$

Bunun her iki tarafının 1/q üssü alınırsa (1/q)'nin pozitif olması nedeniyle bunun bir artan fonskiyon görülür ve elde edilen eşitsizlik şu olur:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

Bu eşitsizlik ise ispat gereken sonucudur.

• Hem p negatif ve hem q negatif ise, daha önce gösterilenlere aynı olan ifadeler geçerlidir ve bunlara -p ve -q konulursa, ispatı istenilen eşitsizlik yine elde edilir.

Minimum ve maksimum değerlerin üssel endeksleri

${\displaystyle -\infty }$ ve ${\displaystyle +\infty }$.

olan güç ortalamaları olduğu kabul edilsin. Böylece herhangi bir q değeri için

${\displaystyle \min(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}\leq \max(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

Maksimum için ispat şöyle yapılır: Genelliği kaybetmeden x_i dizisinin artan olmadığını ve ağırlığının sıfır olduğu kabul edilsin. Bu halde eşitsizlik şu ifadeyle aynıdır:

${\displaystyle {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}\leq x_{1}}$

Bu ifadenin iki tarafının da q üssü alınırsa, (qnun işaretine bağlı olarak) şu iki ifadeden birisi elde edilir:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\leq {\color {red}\geq }x_{1}^{q}}$

≤ eğer q>0, ≥ eğer q<0.

Her iki taraftan ${\displaystyle w_{1}x_{1}}$ çıkartılırsa, elde edilen ifade

${\displaystyle \sum _{i=2}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\leq {\color {red}\geq }(1-w_{1})x_{1}^{q}}$

olur. Bu ${\displaystyle (1-w_{1})}$ ile bölünürse, ortaya çıkan ifade şudur:

${\displaystyle \sum _{i=2}^{n}{\frac {w_{i}}{(1-w_{1})}}x_{i}^{q}\leq {\color {red}\geq }x_{1}^{q}}$

1 - w₁ sıfır değildir, böylece

${\displaystyle \sum _{i=2}^{n}{\frac {w_{i}}{(1-w_{1})}}=1}$

İki taraftan x₁^q çıkartırsak ortaya çıkan ifade

${\displaystyle \sum _{i=2}^{n}{\frac {w_{i}}{(1-w_{1})}}(x_{i}^{q}-x_{1}^{q})\leq {\color {red}\geq }0}$

olur. Bu epeyce açıkça anlaşılır; çünkü x₁ herhangi bir x_i değerine eşit veya o değerden daha fazladır ve böylece

${\displaystyle x_{i}^{q}-x_{1}^{q}\leq {\color {red}\geq }0}$

Minimum için de ispat nerede ise aynı şekilde yapılır; ancak x₁, w₁ yerine x_n, w_n kullanılır.

Genelleştirilmiş ortalama (veya güç ortalaması) daha da genelleştirilip genelleştirilmiş f-ortalaması formülü ortaya çıkarılmıştır. Bu formül şöyledir:

${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)}$

Bu formüle göre güç ortalaması ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{p}}$ olarak elde edilir.

Bir güç ortalaması bir doğrusal olmayan hareketli ortalama hizmeti görür. Bu küçük ${\displaystyle p}$ için düşük sinyal değerlerine doğru kaydırma yapar ve büyük ${\displaystyle p}$ için yüksek sinyal değerlerine önem sağlar. Hareketli aritmetik ortalamanın etkin uygulaması (yani smooth uygulaması) gerçekse verilen şu Haskell koduna göre

 powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
 powerSmooth smooth p =
    map (** recip p) . smooth . map (**p)

• Bu büyük değerde ${\displaystyle p}$ için rektifiye edilmiş sinyal üzerinde bir zarf detektörü olarak hizmet görebilir.
• Bu küçük değerde ${\displaystyle p}$ için kütle spektrumu üzerinde anahat detektörü olarak hizmet görebilir.

• Aritmetik ortalama
• Geometrik ortalama
• Harmonik ortalama
• Heronian ortalama
• Pisagorik ortalama
• Ortalama
• Ortalama kare kökü

• MathWorld'de güç ortalaması 20 Ekim 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Genelleştirilmiş ortalama için örnekler 8 Temmuz 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• [1]
• Rasyonel ortalama^[]