Fraunhofer kırınımı

Fraunhofer kırınımı ya da uzak-alan kırınımı dalganın uzak bölgelerde yayıldığı durumlarda uygulanan bir Kirchhoff-Fresnel kırınımı yaklaşımıdır.^[1]^[2]

Fresnel sayısının 1'den çok küçük olduğu F << 1 durumlar uzak-alan belirtir. Fraunhofer kırınımı bu uzak-alanın formunun belirlenmesinde kullanılır.

Fraunhofer kırınım denklemi

Yarık S orijinin ortasına denk geleceği şekilde xy düzlemine yerleştirilir. Yarığa tek renkli dalga boyu λ olan bir dalga gönderilir. Yarıktaki düzensizliğin karmaşık genliği A(x',y'), herhangi bir (x,y,z) noktasındaki düzensizliğin genliği ise U(x,y,z) ile ifade edilirse, Fraunhofer kırınım denklemi:

$U(x,y,z)\propto \iint _{\mathbf {S} }\,A(x',y')e^{-i{\frac {2\pi }{\lambda z}}(x'x+y'y)}dx'\,dy'.$ ^[3]

yarık üzerinden alınan bu integralle ifade edilir.

Denkleme matematiksel olarak denk gelen çeşitli ifadeler vardır. Örneğin:

U(x,y,z)\propto \iint _{\mathbf {S} }\,A(x',y')e^{-i{\frac {2\pi }{\lambda }}(lx'+my')}dx'\,dy'

l=x/z, m=y/z.

Diğer bir ifadeyse:

U(\mathbf {r} )\propto {\int _{S}A(\mathbf {r'} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r'} }dr'}={\int _{S}a_{0}(\mathbf {r'} )e^{i\mathbf {(k_{0}-k)} \cdot \mathbf {r'} }dr'}

r ve r' sırasıyla gözlemlenilen noktayı ve yarık üzerindeki bir noktayı, k₀ and k ise yarıktaki düzensizliğin dalga vektörlerini ve kırılan dalgaları, a(r' ) da yarıktaki düzensizliğin büyüklüğünü ifade eder.

Yarıktaki değişen genlik iletimi

Karmaşık bir değere de sahip olabilen iletim T(r) yarık boyunca farklı değer alırsa, kırınım integrali:

U(\mathbf {r} )\propto {\int _{S}T(\mathbf {r'} )A(\mathbf {r'} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r'} }dr'}

bu şekildedir. Bu ifade : $e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r'} }$ 'nin Fourier sıfır uzayı olduğu bir Fourir dönüşüm fonksiyonudur.

Fraunhofer kırınımı örnekleri

Sonsuz uzunluktaki yarıktan geçen dalganın oluşturduğu kırınım

Fraunhofer kırınımının basit bir örneği tek renkli düzlemsel bir dalganın y ekseni boyunca konumlanmış a genişliğindeki bir yarıktan geçmesiyle elde edilir. Bu dalga aşağıdaki şekildeki gibi ifade edilirse:

\ A(x')=1:-a/2<x'<a/2

\ A(x')=0

: diğerler yerler için

U(x)\propto \int _{-a/2}^{a/2}e^{{-2\pi ixx'}/(\lambda z)}dx'=a~\mathrm {sinc} {\frac {\pi xa}{\lambda z}}=a~\mathrm {sinc} \left[{\frac {\pi a\sin \theta }{\lambda }}\right]

denklemi elde edilir. θ z ekseniyle x noktası ve orijini birleştiren çizginin arasında kalan açıdır, θ çok küçük bir değere sahip olduğu için de sin θ ≈x/z.

Yoğunluk genliğin karesiyle ters orantılıdır:

I(x)\propto \mathrm {sinc} ^{2}\left[{\frac {\pi a\sin \theta }{\lambda }}\right]

Sinc fonksiyonun karesi yandaki şekildeki gibidir, bu şekilden de göründüğü gibi θ=0 iken yoğunluk en büyük değerini alır, yoğunluk azalmaya başladıkça da tepeler ve çukurlar oluşur. En fazla ışık yoğunluğu grafikte ilk minimum değerlerinin alındığı aralıklardadır. Bu minimum değerlerine tekamül eden α açısı:

\sin {\frac {\alpha }{2}}={\frac {\lambda }{a}}

\alpha \approx {\frac {2\lambda }{a}}

şeklinde de ifade edilebilir.

α << 1 olması olayın uzak-alanda gerçeklişiyor olması anlamına gelir, bu yüzden daha küçük yarıktan oluşan kırınım şeritlerinin yapacağı açı α daha geniş olur. Yarık ve aydınlanma sonsuza varacağından dolayı saçaklar y ekseni boyunca sonsuza dek yayılır.

Sonlu yarıktan geçen dalganın oluşturduğu kırınım

a genişliği ve b derinliğine sahip bir yarıktan geçen tek renkli düzlemsel bir dalganın karmaşık (sanal) genliği önceki bölümlerde kullanılana benzer bir yöntemle hesaplanabilir.^[4]

U(\theta ,\phi )\propto \mathrm {sinc} \left({\frac {\pi a\sin \theta }{\lambda }}\right)\mathrm {sinc} \left({\frac {\pi b\sin \phi }{\lambda }}\right)

Yoğunluk ise:

I(\theta ,\phi )\propto \mathrm {sinc} ^{2}\left({\frac {\pi a\sin \theta }{\lambda }}\right)\mathrm {sinc} ^{2}\left({\frac {\pi b\sin \phi }{\lambda }}\right)

şeklinde bulunur.

θ x ve z eksenleri arasındaki, φ ise y ve z eksenleri arasındaki açıdır.

Dairesel bir yarıktan geçen dalganın oluşturduğu kırınım

Tek renkli düzlemsel dalga dairesel yarıktan geçtiğinde oluşan kırınım deseni normal eksenine göre simetrik olacaktır, yarığın normal ekseniyle gözlemlenen nokta ile yarık merkezini birbirine bağlayan doğru arasındaki α açısına bağlı olarak sanal genlik şu şekilde ifade edilir:^[4]

U(\alpha )\propto {\frac {J_{1}(ka\sin \alpha )}{ka\sin \alpha }}

J₁ 1. dereceden 1. tür Bessel fonksiyonudur.

Işık yoğunluğuysa:

I(\alpha )\propto \left[{\frac {J_{1}(ka\sin \alpha )}{ka\sin \alpha }}\right]^{2}

ile ifade edilir. Bu kırınım türü Airy Kırınım Deseni olarak bilinir.

Modeller

Açıklama

Dalga herhangi bir yarık ya da delikten geçip dağılırken birçok başka dalgaya ayrılırsa Fraunhofer kırınımı Huygens–Fresnel prensipine uygun bir şekilde davranır. Dalga yarıktan geçerken birbirlerine paralel olarak hareket eden iki kırınmış dalgaya ayrılır ve görüntü desenini gözlemlemek için dalgaların ilerleyiş doğrultusu üzerine bir ekran yerleştirilmelidir.^[5]

Delik modeli

Fresnel kırınımı sırasında gözlemlenen deliğin görüntüsü deliğin hem şekline hem de büyüklüğüne göre değişirken; örneğin kenarlarının daha fazla ya da daha az "sivri" olması gibi, Fraunhofer kırınımı esnasında gözlemlenen delik görüntüsünü yalnızca dalgaların daha paralel ya da daha düzlemsel oluşu etkileyeceği için deliğin büyüklüğüne göre değişkenlik gösterecektir.

Kaynağın uzak-alan kırınım deseni ayarları doğru yapılmış bir lensin odak düzleminde gözlemlenebilir. Noktasal bir kaynağın aydınlattığı ekrandaki uzak-alan kırınım deseni ise kaynağın görüntü düzleminde gözlemlenir.

Işık kaynağı ve ekran delikten yeterli etkiyi sağlayacak kadar uzaktalarsa, deliğe ulaşan dalga yüzleri ve ekran birbirine paraleldir ya da bir düzlem oluştururlar. İki durumdunda geçersiz olduğu zamanlarda Fresnel kırınımı ya da yakın-alan kırınımı meydana gelir ve dalga yüzlerinin eğimleri de hesaba katılır.

Uzak-alan kırınımında ekran deliğe göre hareket ettirilirse, oluşan kırınım deseni deliğin büyüklüğüne bağlı olarak değişim gösterir. Kırınım deseninin hem büyüklüğe hem de şekle bağlı olduğu yakın-alan kırınımında bu özellik geçerli değildir.

Yarık modeli

Yarık kullanılarak oluşturulan Fraunhofer kırınımı iki adet lens ve bir ekran kullanılarak elde edilir. Noktasal ışık kaynağı ve birbirine paralel olacak bu iki lens sayesinde yarıktan geçecek paralel ışınlar elde etmem mümkündür. Yarıktan sonra konulan başka bir lens ise paralel ışınları ekran üzerinde toplayarak gözlemlenebilmelerini sağlar.Birden fazla yarıkla aynı düzenek kurulduğunda farklı bir kırınım deseni oluşur. Bu kırınım şeklinin matematiksel olarak daha basit ifade ediliyor olmasından dolayı, bu düzenek tek renkli ışıkların dalga boylarının yüksek hassasiyetle bulunmasını sağlar.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

Notlar

^ Hecht, E. (1987), p396 -- Definition of Fraunhofer diffraction and explanation of forms.
^ Hecht, E. (1987), p397 -- diagram and explanation of Fraunhofer diffraction with reference to an opaque shield w/ aperture.
^ Goodman, Joseph (2005). Introduction to Fourier Optics. Englewood, Co: Roberts & Company. ISBN 978-0974707723.
^ ^a ^b RS Longhurst, Geometrical and Physical Optics, 1967, Longmans, London
^ Hecht, E. (1987), p396 - description of the Fraunhofer diffraction through an aperture; details the main equations for the identification of Fresnel and Fraunhofer diffraction.