İçeriğe atla

Fourier dönüşümü

Fourier dönüşümü, fizik, mühendislik ve matematikte, bir fonksiyonu, içerdiği frekansların belirtildiği bir biçime dönüştüren bir integral dönüşümüdür. Dönüşümün çıktısı, frekansa bağlı karmaşık değerli bir fonksiyondur. "Fourier dönüşümü" terimi, hem bu karmaşık değerli fonksiyon için hem de buna karşılık gelen matematiksel operasyon için kullanılmaktadır. Bu ayrımın netleştirilmesi gerektiğinde, Fourier dönüşümü bazen orijinal fonksiyonun frekans uzayında temsili olarak adlandırılır. Fourier dönüşümü, bir müzik akorunun sesini, onu oluşturan tonlara ayrıştırmaya benzer.[1]

Fourier dönüşümü, sürekli ve ayrık olarak ikiye ayrılabilir. İki dönüşüm de bir nesneyi ortogonal iki uzay arasında eşler. Sürekli nesneler için dönüşüm:

ve

şeklinde verilir. Yukarıdaki dönüşümde görüleceği üzere x uzayındaki bir nesne k uzayında tanımlanmıştır. Bu dönüşüm diferansiyel denklemlerin çözümünde çok büyük rahatlık sağlar zira bu dönüşüm sayesinde x uzayındaki diferansiyel denklemler k uzayında lineer denklemler olarak ifade edilirler. K uzayında bu denklemin çözümü bulunduktan sonra ters dönüşümle x uzayındaki karşılığı elde edilir ki bu diferansiyel denklemin çözümüdür. Birinci dönüşümdeki ifade ikinci dönüşümde yerine oturtularak,

,

ifadesine ulaşılır. Parantez içindeki ifadenin olduğu görülebilir. Anlaşıldığı üzere eşlemesine Fourier Dönüşümü, eşlemesine de Ters Fourier Dönüşümü denir ve bu eşlemeler (mapping) yapılırken baş harfleri büyük yazılarak gösterilir (FD ve TFD). Parantez içindeki ifadenin Delta fonksiyonunun temsili olması ise açıkça bir düz ve bir ters Fourier dönüşümü yapılan bir ifadenin kendine eşit olmasından kaynaklanır. Dönüşüm uzayları keyfi seçilebilir ancak fizikte, konum uzayından momentum uzayına ve zaman uzayından enerji uzayına De Broglie-Einstein denklemleriyle geçişler tanımlanmıştır.

Giriş

Örnek

Aşağıdaki görüntülerde Fourier dönüşümünün veren bir görsel ilüstrasyon sağlama ölçümü olan bir frekans bir özel fonksiyon içinde mevcuttur. Fonksiyon f(t) = cos(6πt) e−πt2 3 hertz'te salınım göstermektedir (eğer t ölçüsü saniyeler ise) ve 0 a doğru hızla gitme eğilimdedir. (bu denklem içinde saniye faktörü bir zarf fonksiyonu ve bir kısa vuruş içinde sürekli sinüzoidal şekillerdir. Bunun genel formu bir Gauss fonksiyonudur). Bu fonksiyon özel seçilmiş idi var olan bir gerçek Fourier dönüşümü için kolayca çizilebilir. İlk görüntü bu grafı içerir. hesaplamak için sırayla e−2πi(3t)f(t) integrali olmalıdır. İkinci görüntü bu fonksiyonun gerçel ve sanal kısımlarını gösterir. İntegrand'ın gerçel kısmı hemen hemen her zaman pozitif, çünkü eğer f(t) negatif ise, e−2πi(3t)'nin gerçek kısmı da negatiftir. Çünkü bu aynı kesirde salınıyorsa eğer f(t) pozitif ise, böylece e−2πi(3t)'nin gerçel kısmıdır. Sonuç olarak eğer integrandın gerçek kısım integrali ise bir göreceli büyük sayı alıyorsunuz (0.5 durumu içinde). Diğer taraftan, eğer bir frekans ölçüsü için deniyorsanız bu mevcut değildir, da gördüğümüz durumu içindeki gibi yeterince salınan integrand gibi integral çok küçüktür. Genel durum bundan bir parça daha karışık olabilir, ama bu ruh içinde bir tek frekansın o kadar çok ölçüsü Fourier dönüşümü ve bir fonksiyon f(t) içinde mevcuttur.

Temel özellikler

Fourier dönüşümünün temel özellikleri aşağıdadır: Pinsky 2002.

Doğrusallık
Herhangi karmaşık sayılar a ve b için, eğer , ise  
Öteleme
Herhangi gerçek sayı x0 için, eğer    ise  
Modülasyon
Herhangi gerçek sayı ξ0 için eğer ise  
Ölçekleme
bir sıfır-dışı gerçek sayılar a için, eğer h(x) = f(ax), ise       Durum a = −1 zaman-ters özellik için yer alır, bu durum: eğer h(x) = f(−x), ise
Birleşim
Eğer    then  
Özel olarak, eğer f gerçek ve tek gerçeklik durumu var ise  , şöyle ki, bir Hermisyen fonksiyondur.
Ve eğer f saf sanal, ise  
İntegrasyon
Yerine koyma tanımı içinde, elde edilen

İşte böyle, başlangıç noktası içinde Fourier dönüşümünün evrimi () tüm domenin üzerinde tüm f in integralinin eşitidir.

Önemli Fourier dönüşümlerinin tabloları

Aşağıdaki tablolar, bir kapalı bir şekilde Fourier dönüşümleri kaydedebilir.f(x), g(x) ve h(x) fonksiyonlar için burada ile Fourier dönüşümü, sırasıyla ve ile ifade edilir. Sadece en yaygın üç kural dahildir. Bu, bu giriş 105 Fourier Fourier dönüşümü ile ve ters olarak düşünülebilir bir fonksiyonun ve orijinal fonksiyonunun dönüşümü arasında bir ilişki veren fark için yararlı olabilir.

Fonksiyonel ilişkiler

Bu tabloda Fourier dönüşümleri bulunabilir Erdélyi 1954 veya Kammler 2000, appendix.

FonksiyonFourier dönüşümü
birim, sıradan frekans
Fourier dönüşümü
birim, açısal frekans
Fourier dönüşümü
birim-olmayan, açısal frekans
Açıklamalar



Tanım
101 Doğrusallık
102 Zaman domeni içinde kayma
103 Frekans domeni içinde kayma, 102'nin çifti
104 zaman domeninde ölçekleme. Eğer is büyük ise 0 çevresinde yoğunlaşmıştır ve yayılır ve düzleşir.
105 ikilik.Burada Fourier dönüşümü sütunu olarak aynı yöntem kullanılarak hesaplanması gerekmektedir.

ve veya veya 'ın "yapay" değişkenleri değiştirme sonuçları.

106
107 Bu 106'nın çiftidir
108 gösterimi ve 'in evrişimidir- bu kural evrişim teoremidir
109 Bu 108'in çiftidir
110 için saf gerçek Hermisyen simetridir. karmaşık eşleniklerine ayrılır.
111 için bir saf gerçek çift fonksiyon , ve saf gerçek çift fonksiyondur.
112 için bir saf gerçek tek fonksiyon , ve saf sanal tek fonksiyonlar.
113 Karmaşık eşlenik, 110'un genellemesi

Kare-integrallenebilir fonksiyonlar

bu tablo içinde Fourier dönüşümleri Campbell & Foster 1948 içinde bulunabilir, Erdélyi 1954 veya Kammler 2000 in eki.

FonksiyonFourier dönüşümü
birim, sıradan frekans
Fourier dönüşümü
birim, açısal frekans
Fourier dönüşümü
birim-olmayan, açısal frekans
Açıklamalar



201 dörtgen uyarı ve normalleştirilmiş sinc fonksiyon, burada sinc(x) = sin(πx)/(πx) olarak tanımlanır
202 kural 201'in çifti dörtgen fonksiyon bir ideal alçak-geçiren filtredir ve sinc fonksiyon gibi bir filtrenin nedensel-olmayan uyarı yanıtıdır.sinc fonksiyon burada sinc(x) = sin(πx)/(πx) olarak tanımlanır
203 tri(x) fonksiyon üçgen fonksiyondur
204 kural 203'ün ikilisi.
205 u(x) fonksiyonu Heaviside birim basamak fonksiyon ve a>0.
206 Bu üniter Fourier dönüşümleri için, Gauss fonksiyonu exp(−αx2), kendi Fourier αnın bazı seçimleri için dönüşüm olduğunu gösterir. Bu İntegrallenebilir olması için biz Re(α)>0 olmalıdır.
207 a>0 için. Bu, bir bozunmuş üstel fonksiyonun Fourier dönüşümü bir Lorentzyen fonksiyondur.
208 Hiperbolik sekant Fourier dönüşümünün kendisidir
209

 


 


 

Hermit polinomudur. Eğer a = 1 ise Gauss-Hermit fonksiyonları Fourier dönüşüm işlemcisinin özfonksiyonudur.Bir türev için, bakınız Hermit polinomu. Formül n = 0 için 206'ya indirgenir.

Dağılımlar

Fourier dönüşümleri bu tablo (Erdélyi 1954) içinde bulunabilir veya Kammler 2000 in eki.

FonksiyonFourier dönüşümü
birim, sıradan frekans
Fourier dönüşümü
birim, açısal frekans
Fourier dönüşümü
birim-olmayan, açısal frekans
Açıklamalar



301 δ(ξ) dağılımı Dirac delta fonksiyonu'nu ifade eder.
302 301'in kural ikizi.
303 Bunu 103 ve 301'den izleyin
304 101 ve 303 kuralından aşağıda Euler formülü kullanılıyor:

305 101 ve 303 kuralından aşağıda

kullanılıyor

306
307
308 Burada, n bir doğal sayılar sicimi Dirac delta fonksiyonunun türevinin n-inci dağılımıdır. Bu kural 107 ve 301 kuralından izlenir.Bu 101 ile kombine ediliyor,tüm polinomlar dönüştürülbilir.
309 Burada sgn(ξ) işaret fonksiyonudur. Unutmadan 1/x bir dağılım değildir.Bu fonksiyonların üyelerini test ediyor ise Cauchy temel değeri kullanmak için gereklidir.Bu kural Hilbert dönüşümüçalışmalarında kullanılıyor
310

1/xn homojen dağılım ve dağılımsal türev ile tanımlanır
311 Bu formül 0 > α > −1 için değerlidir.α > 0 için başlangıçtan ortaya çıkan bazı tekil terimler bu 318 türevi ile bulunabilir. Eğer Re α > −1,ise bir yerel integrallenebilir fonksiyondur ve gibi bir katkılı dağılım.Fonksiyon katkılı dağılımın uzayına sağ yarı düzlemden bir holomorf fonksiyondur. Bu bir katkılı dağılıma bir benzersiz meromorfik uzantı kabul ediliyor, ayrıca için α ≠ −2, −4, ... ile ifade edilir (bakınız homojen dağılım.)
312 309 kuralının ikizidir. Ve yine Cauchy temel değeri olarak düşünüldüğünde gerekli olan Fourier dönüşümüdür,.
313 u(x) fonksiyonu Heaviside birim basamak fonksiyonudur; 101, 301 ve 312 kurallarından bunu izleyin .
314 Bu fonksiyon Dirac comb fonksiyonu olanarak bilinir. Bu, dağılımlar ile birlikte olarak aslında 302 ve 102 den elde edilebilir sonuçtur
315 J0(x) fonksiyonu sıfırıncı dereceden birinci türün Bessel fonksiyonudur
316 Bu 315'in genellemesidir.Fonksiyon Jn(x) n-inci dereceden Besselbirinci türün Bessel fonksiyonudur.Fonksiyon Tn(x) birinci türün Chebyshev polinomudur
317 Euler–Mascheroni sabitidir.
318 Bu formül 1 > α > 0 için değerdir. Yüksek üsteller için türev formülüne kullanılan diferansiyasyondur.u Heaviside fonksiyonudur.

İki-boyutlu fonksiyonlar

FonksiyonFourier dönüşümü
birim, sıradan frekans
Fourier dönüşümü
birim, açısal frekans
Fourier dönüşümü
birim-olmayan, açısal frekans
400



401
402
Açıklamalar

400 için: Değişkenler ξx, ξy, ωx, ωy, νx ve νy gerçek sayılardır. Integraller tüm düzlem üzerinde alınır.

401 için: Her iki fonksiyon birim hacmine sahip olmayabilen Gauss vardır.

402 için: Fonksiyon circ(r)=1 0≤r≤1 ile tanımlanır ve 0 diğerleridir. Bu Airy dağılımıdır ve J1 bağıntısı kullanılır (ilk tür'ün derece 1 Bessel fonksiyonu). Stein & Weiss 1971, Thm. IV.3.3

Genel n-boyutlu fonksiyonlar için formüller

FonksiyonFourier dönüşümü
birim, sıradan frekans
Fourier dönüşümü
birim, açısal frekans
Fourier dönüşümü
birim olmayan,açısal frekans
500



501


502
503
504
Açıklamalar

501 için: Fonksiyon χ[0, 1] aralığının gösterge işlevi [0, 1]. Fonksiyonu Γ(x) gama fonksiyonudur. Jn/2 + δ fonksiyonu için n/2 + δ ile, birinci tür bir Bessel işlevidir.n = 2 alınması ve δ = 0 402 üretir. Stein & Weiss 1971, Thm. 4.15

502 için: Riesz potansiyeline bakınız. Formül Analitik devamlılığı ile tüm α ≠ −n, −n − 1, … için tutar, ama sonra fonksiyonu ve onun Fourier dönüşümlerinin uygun düzenlilestirmeye katkılı dağılımları olarak anlaşılması gerekir - formül aynı zamanda tüm α ≠-n,-n için de geçerlidir. Homojen dağılıma bakın.

503 için: Bu, 0 ortalama ile 1 normalize bir çok değişkenli normal dağılım için formül Bold değişkenler vektörler ve matrislerdir. Anılan sayfa ifadenin ardından, and

504 için: Burada .BakınızStein & Weiss 1971, s. 6

Ayrıca bakınız

Kaynakça

  1. ^ İngilizce Vikipedi'den çevrilmiştir. 18 Aralık 2023.

Dış bağlantılar

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Dalga fonksiyonu</span>

Kuantum fiziğinde dalga fonksiyonu izole bir kuantum sistemindeki kuantum durumunu betimler. Dalga fonksiyonu karmaşık değerli bir olasılık genliğidir ve sistem üzerindeki olası ölçümlerin olasılıklarının bulunmasını sağlar. Dalga fonksiyonu için en sık kullanılan sembol Yunan psi harfidir ψ ve Ψ.

<span class="mw-page-title-main">Küresel koordinat sistemi</span>

Küresel koordinat sistemi, üç boyutlu uzayda nokta belirtmenin bir yoludur.

<span class="mw-page-title-main">Dalga denklemi</span> kısmi diferansiyel bir denklem

Dalga denklemi fizikte çok önemli yere sahip bir kısmi diferansiyel denklemdir. Bu denklemin çözümlerinden, ses, ışık ve su dalgalarının hareketlerini betimleyen fiziksel nicelikler çıkar. Kullanım alanı, akustik, akışkanlar mekaniği ve elektromanyetikte oldukça fazladır. Genellikle elektromanyetik dalgalar gibi dalgalar için dalga denkleminin vektörel formülasyonu kullanılır. Bu formülasyonda elektrik alanları şeklindeki vektörlerle gösterebilir ve vektörün her bi bileşeni skaler dalga denklemine uymak zorundadır. Yani vektörel dalga denklemleri çözülürken her bir bileşen ayrı ayrı çözülür. Denklemin en basit hali aşağıdaki şekliyle gösterilir,

<span class="mw-page-title-main">İntegral tablosu</span> Vikimedya liste maddesi

İntegral, Matematikteki temel işlemlerden biridir. Bu maddede yaygın integrallerin hesaplanışını bulacaksınız.

<span class="mw-page-title-main">Cauchy dağılımı</span>

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında Cauchy-Lorentz dağılımı bir sürekli olasılık dağılımı olup, bu dağılımı ilk ortaya atan Augustin Cauchy ve Hendrik Lorentz anısına adlandırılmıştır. Matematik istatistikçiler genel olarak Cauchy dağılımı adını tercih edip kullanmaktadırlar ama fizikçiler arasında Lorentz dağılımı veya Lorentz(yen) fonksiyon veya Breit-Wigner dağılımı olarak bilinip kullanılmaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Kalıntı teoremi</span>

Karmaşık analizdeki kalıntı teoremi veya bilinen bir diğer adıyla rezidü teoremi, analitik fonksiyonların kapalı eğriler üzerindeki çizgi integrallerini bulmak için kullanılan önemli bir araçtır ve ayrıca sık bir şekilde gerçel integralleri bulmak için de kullanılır. Cauchy integral teoremini ve Cauchy integral formülünü genelleştirir.

<span class="mw-page-title-main">Fourier serisi</span>

Matematikte, Fourier serileri bir periyodik fonksiyonu basit dalgalı fonksiyonların toplamına çevirir.

Gauss integrali, Euler–Poisson integrali olarak da bilinir, tüm reel sayılardaki ex2 Gauss fonksiyonunun integralidir. Alman matematik ve fizikçi Carl Friedrich Gauss'dan sonra adlandırlıdı. İntegrali şöyledir:

<span class="mw-page-title-main">Riemann zeta işlevi</span>

Matematikte Riemann zeta işlevi , Alman matematikçi Bernhard Riemann tarafından 1859'da bulunmuş olan ve asal sayıların dağılımıyla olan ilişkisinden ötürü sayı kuramında önemli yeri bulunan seçkin bir işlevdir. İşlev; fizik, olasılık kuramı ve uygulamalı istatistikte de kullanılmaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Beta fonksiyonu</span>

Matematik'te, beta fonksiyonu, Euler integrali'nin ilk türüdür,

Fizikte, Sönümlü Poisson Denklemi :

Matematikte, harmonik analiz alanında, kesirli Fourier dönüşümü (FRFT) Fourier dönüşümüne genelleştirilecek doğrusal dönüşümlerin bir ailesidir. Bu nedenle, -zaman ve frekans- arasında bir ara etki alanı için bir işlev dönüştürebilir - Fourier dönüşünde n'in bir tam sayı olması gerekmez n'inci kuvvet dönüşümü olarak da düşünülebilir. Onun uygulamaları faz geri alma ve örüntü tanıma için,filtre tasarımı ve sinyal analizi arasında değişir.

<span class="mw-page-title-main">Gauss fonksiyonu</span>

Matematikte Gauss fonksiyonu, bir fonksiyon biçimidir ve şöyle ifade edilir:

Normalleştirme sabiti, olasılık kuramı ve matematiğin diğer çeşitli alanlarında ortaya çıkar. Örneğin normal dağılımın normalleştirme sabitini hesaplamak için Gauss integrali kullanılabilir.

Trigonometrik seri, formundaki seri.

<span class="mw-page-title-main">Van Stockum tozu</span>

Genel görelilikte, Van Stockum tozu Einstein alan denklemlerinin silindirik simetri ekseni etrafında dönen tozun oluşturduğu yer çekimi alanı için kesin sonucudur. Tozun yoğunluğu eksenin uzaklığıyla beraber arttığı için çözüm oldukça yapay olmakla kalmaz, aynı zamanda genel görelilikteki bilinen en basit çözümlerden olmakla beraber aynı zamanda Pedagojik olarak önemli örneklerden biri olarak gösterilir.

<span class="mw-page-title-main">Spektral yoğunluk</span>

Güç spektrumunun zaman serileri bu sinyale sebep olan frekans bileşenlerinin dağılımını tanımlar. Fourier analizine göre herhangi bir fiziksel sinyal, farklı frekanslara ayrışabilir ya da devamlı bir sıra boyunca frekans spektrumlarına dönüşebilir. Belirli bir sinyal veya herhangi bir sinyal çeşitlerinin istatistiksel ortalaması içerdiği frekans bileşenlerine göre analiz edilir.Buna da spektrum denir.

Fourier optiği dalgaların yayılma ortamını kendisinin doğal modu olduğunu kabul etmek yerine, belirli bir kaynağa sahip olmayan düzlemsel dalgaların üstdüşümlerin olarak addeden Fourier dönüşümlerini kullanan klasik optiğin bir çalışma alanıdır. Fourier optiği, dalgayı patlayan bir küresel ve fiziksel olarak Green's fonksiyon denklemleriyle tanımlanabilen tanımlanabilen ve bu kaynağından dışarıya ışıma yapan dalganın üstdüşümü olarak adddeden Huygens-Fresnel prensibinin ikizi olarak da görülebilir.

Matematikte Hankel dönüşümü, diğer adıyla Fourier–Bessel dönüşümü, herhangi bir f(r) fonksiyonunu sonsuz sayıda birinci tip Bessel fonksiyonlarının Jν(kr) oranlı toplamı olarak gösterir. Bu dönüşümde ortogonal temeli oluşturan Bessel fonksiyonlarının hepsi aynı ν mertebesindedir. Bu integral dönüşümü ilk kez matematikçi Hermann Hankel tarafından tasvir edilmiştir. Formülü ve ters dönüşümü sırasıyla şu şekilde verilebilir:

Matematik dünyasında, Parseval teoremi Fourier dönüşümünün bir üniter ifade olduğu sonucunu bize açıklar. Basit bir şekilde açıklarsak, bir fonksiyonun karesinin toplamı ile Fourier dönüşümün fonksiyonunun karesinin toplamının birbirine eşit olduğunu söyler. Teorem, Marc-Antoine Parseval'in 1799 yılındaki seriler hakkındaki bir teoreminin Fourier serilerine uygulanması sonucu ortaya çıkmıştır. Lord Rayleigh ile John William Strutt'tan sonra Rayleigh Enerji Teoremi veya Rayleigh Özdeşliği olarak da bilinir.