Matematiğin temelleri olarak bilinen matematik dalı matematiğin tümü için geçerli olan en temel kavramları ve mantıksal yapıları inceler. Sayı, küme, fonksiyon, matematiksel tanıt, matematiksel tanım, matematiksel aksiyom, algoritma gibi kavramlar Matematiksel mantık, Aksiyomatik Küme Teorisi, Tanıtlama Teorisi, Model Teorisi, Hesaplama teorisi, Kategori Teorisi gibi yine matematiğim temelleri olarak anılan alanlarda incelenir. Bununla birlikte matematiğin temellerinin araştırılması matematik felsefesinin ana konularından biridir. Bu daldaki can alıcı soru matematiksel önermelerin hangi nihai esaslara göre "doğru" ya da "gerçek" kabul edilebileceğidir.
Matematiksel ispat, matematiksel bir ifade için türetilmiş varsayımların mantıksal olarak doğru olduğu sonucunu garantileyen, çıkarımsal bir argümandır. Argüman, teoremler gibi önceden oluşturulmuş diğer ifadeleri kullanabilir; lakin prensipte her delil, kabul edilen çıkarım kurallarıyla birlikte yalnızca aksiyom olarak bilinen belirli temel veya orijinal varsayımlar kullanılarak oluşturulabilir.
Eksiklik Teoremi, Kurt Gödel'in 1931 yılında doktorasında yer verdiği "Principia Mathematica Gibi Dizgelerin Biçimsel Olarak Karar Verilemeyen Önermeleri Üzerine" başlıklı makalesinde 4. önerme olarak geçer. Sezgisel olarak matematikte belitlere (aksiyom) dayanan her sistemin tutarlı olması dahilinde eksik olması gerektiğini bildirir.
Kurt Gödel, Avusturyalı-Amerikalı mantıkçı, matematikçi ve matematik felsefecisidir. Kendi ismiyle anılan Gödel'in Eksiklik Teoremi ile tanınır. Aristoteles'ten bu yana en büyük mantıkçılardan biri olarak kabul edilir.
Matematiksel mantık, biçimsel mantığın matematiğe uygulanmasıyla ilgilenen bir matematik dalıdır. Metamatematik, matematiğin temelleri ve kuramsal bilgisayar bilimi alanlarıyla yakınlık gösterir. Matematiksel mantığın temel konuları biçimsel sistemlerin ifade gücünün ve biçimsel ispat sistemlerinin tümdengelim gücünün belirlenmesidir.
Mantık ya da eseme, bilginin yapısını inceleyen, doğru ile yanlış arasındaki akıl yürütmenin ayrımını yapan disiplindir, doğru düşüncenin aletidir. Önceleri bir felsefe dalıyken daha sonra kendi başına bir ihtisas alanı olmuştur. Matematik ve bilgisayar biliminin de parçası haline gelmiştir. Bir disiplin olarak Aristoteles tarafından kurulmuştur. Aristoteles'den etkilenen Farabi tarafından iki kısımda kategorize edilmiştir. İbn-i Sina geçicilik ve içerme arasındaki ilişkiyi geliştirmiştir. Çağdaş zamanlarda Frege, Russell ve Wittgenstein önemli katkılar yapmıştır.
Aksiyom, belit veya postulat, diğer önermelerin temeli ve ön dayanağı niteliğindeki önermelerdir. Belitlerin başka bir önermeye götürülmeye ve kanıtlanmaya gereksinimi yoktur. Bu yüzden de kendiliğinden apaçıktırlar. Ne türlü bir belitten yola çıkılırsa o türlü bir sonuca varılır. Belitlere dayanan bir felsefe, belitlerin yanlışlığı meydana çıkınca çöker.
Çatışkı ya da Antinomi sözcük anlamı olarak iki yasanın gerçekte ya da görünüşte birbirleriyle uyuşmazlığıdır. Mantık ve epistemoloji’de geçen ve genel olarak bir paradoksu ya da çözümsüz bir çelişkiyi tanımlamak için kullanılan bir terimdir. Aynı anda ve ölçüde geçerli iki önermenin birbirinin yerine konulamazlığı durumunu ifade eder.
Tümevarımcılık, bilimsel teoriler geliştirmek için bilimsel yöntemin geleneksel ve hala yaygın felsefesidir. Tümevarımcılık, bir alanı tarafsız bir şekilde gözlemlemeyi, incelenen durumlardan yasalar çıkarmayı - dolayısıyla tümevarımsal akıl yürütmeyi - ve böylece nesnel olarak gözlemlenenin tek doğal doğru teorisini keşfetmeyi amaçlar.
Zorunluluk. Başka türlü olamayan, olumsal olmayan ya da olmaması olanaklı olmayan durum; olduğundan başka türlü olamayacak olma durumunu dillendiren, olduğundan başka türlü olmanın mantıksal bakımdan olanaksızlığını dile getiren felsefi ulam. Öte yandan, mantık diliyle söylendiğinde, bir önerme yanlışlanamıyor ise zorunlu demektir. Bu tür önermeler yanlışlığı düşünülemez, değillemesi de çelişik olan, bu nedenle de doğrulukları zorunlu olan önermelerdir. Şeylerin gerçekte olmadığı ama olabileceği birçok olanaklı durum tasarlanabilir. Eğer bir önerme tasarlanan olanaklı durumların hepsi için doğru ise o önermeye bütün olanaklı dünyalarda doğru ya da zorunlu önerme denir.
Mantık ve felsefede argüman; sonuç ve onun doğruluk derecesini belirlemeye yönelik verilen öncüllerden kurulmuş bir dizi ifadedir. Bir argüman ifadelerden oluşur. Bunlardan biri sonuç, diğerleri sonucun doğruluğuna dayanak olarak verilen öncüllerdir. Herhangi bir düşünceyle karşılaştığımızda, o düşüncenin içerdiği esas iddiayı ileten ifade argümanın sonucu; onu destekleyen diğer tüm ifadeler argümanın öncülleridir. Bir argümanın doğal dildeki mantıksal formu, sembolik biçimsel dilde temsil edilebilir ve doğal dilden bağımsız şekilde, matematik ve bilgisayar bilimlerinde biçimsel olarak tanımlanmış argümanlar yapılabilir.
Organon Aristoteles'in 6 ciltlik klasik mantık üzerine olan kitap serisi. Organon ismi daha sonraları Aristo'nun izleyicileri olan Peripatetikler tarafından verilmiştir. Şu 6 adet kitaptan oluşur:
- Kategoriler
- Önermeler
- Birinci Analitikler
- İkinci Analitikler
- Topikler
- Sofistik Deliller
Tanıtlama teorisi matematiksel mantığın bir alt dalıdır ve tanıtları formel matematiksel nesneler olarak ele alarak matematiksel tekniklerle analiz edilmelerine olanak sağlar. Tanıtlar genelde tümevarımsal olarak tanımlanmış veri yapıları, örneğin listeler ve ağaçlar şeklinde gösterilir. Bu veri yapıları, esas alınan mantık sisteminin aksiyomlarına ve çıkarım kurallarına göre oluşturulur. Tanıtlama teorisinin doğası sözdizimseldir. Buna karşın model teorisinin doğası anlambilimseldir.
Bilgisayar bilimlerinde, özellikle yazılım mühendisliği ve donanım mühendisliğinde biçimsel yöntemler; yazılım ve donanım sistemlerinin spesifikasyonu, geliştirilmesi ve doğrulanması için matematiksel olarak belirli teknikler bütünüdür. Yazılım ve donanım tasarımı için biçimsel yöntemlerin kullanılması, diğer mühendislik disiplinlerinde olduğu gibi, uygun matematiksel analizin yapıldığı bir tasarımın güvenilirliğine ve sağlamlığına katkıda bulunabileceği beklentisiyle geliştirilir.
Mantıkta ve matematikte, bir doğruluk değeri ya da mantıksal değer, bir önermenin doğruluk ile ilişkisini belirleyen bir değerdir.
Mantıkta, niceleme, bir açık önermeyi sağlayan örneklerin niceliğini belirten bir yapıdır.
Bir önerme, hipotez ya da teori; özünde yanlış olduğunun kanıtlanabilme ihtimali varsa; yanlışlanabilirdir. Bir yargıyı geçersiz kılacak herhangi bir gözlem yapmak ya da argüman sunmak mümkünse bu yargı yanlışlanabilirdir. Bu anlamda, yanlışlamak ile geçersiz kılmak eş anlamlıdır. Bilimsel bir önerme yanlışlanabilme özelliği barındırır. Yanlışlanabilirlik ilkesi, bilim ile bilim dışı olanı, bilgi ile inancı ayırmak için kullanılır.
Önermeler mantığı, mantığın önermelerle ilgilenen dalıdır. Birden fazla önermenin mantık bağlaçları kullanılarak bir araya getirilmesiyle oluşturulan yeni önermelerin doğruluğunun belirlenmesi için kullanılır. Önermeler mantığının niceleyiciler, eşitlik ve ait olma ilişkileriyle genişletilmesi birinci-derece mantığın konusudur.
Felsefi çalışmaların gelişmesi sürecinde on dokuzuncu yüzyılda sembolik mantık ile yürüyen mantık, yirminci yüzyılda matematiksel mantıkla devam ederken, geleneksel olarak basit mantığın ötesine geçiyorsa, mantığın bir parçası olarak değil de felsefi mantık veya mantık felsefesi olarak değerlendirildi.
Mantık ve felsefe alanlarında biçimsel safsata, formel safsata ya da Latincedeki kullanımıyla non-sequitur, formel mantık kurallarının yanlış kullanımı ya da ihlali sonucu oluşturulmuş mantık hatalarına verilen addır.