Finsler–Hadwiger teoremi

Finsler–Hadwiger teoremi, bir tepe noktasını paylaşan herhangi iki kareden türetilen üçüncü bir kareyi tanımlayan Öklid düzlem geometrisindeki ifadedir. Teorem adını, üçgenin kenar uzunlukları ve alanıyla ilgili Hadwiger-Finsler eşitsizliğini yayınladıkları makalenin bir parçası olarak 1937'de yayınlayan Alman ve İsviçreli matematikçi Paul Finsler ile İsviçreli matematikçi Hugo Hadwiger'den almıştır.^[1]

Teoremi ifade etmek için, ${\displaystyle \square ABCD}$ ve ${\displaystyle \square AB'C'D}$'nin ortak tepe noktasına sahip iki kare olduğunu varsayalım. ${\displaystyle E}$ ve ${\displaystyle G}$, sırasıyla ${\displaystyle B'D}$ ve ${\displaystyle D'B}$ doğrularının orta noktaları ve ${\displaystyle F}$ ve ${\displaystyle H}$, iki karenin merkezi olsun. Daha sonra teorem, ${\displaystyle \square EFGH}$ dörtgenin de bir kare olduğunu belirtir.^[2]

${\displaystyle \square EFGH}$ karesine, verilen iki karenin Finsler-Hadwiger karesi denir.^[3]

Finsler–Hadwiger teoreminin tekrarlanan uygulaması, keyfi bir dörtgenin kenarlarına inşa edilmiş dört kareden oluşan merkezler aracılığıyla parçaların uygunluğu ve dikliği üzerinde Van Aubel teoremini kanıtlamak için kullanılabilir. Her bir ardışık kare çifti, teoremin bir örneğini oluşturur ve bu örneklerin iki karşıt Finsler-Hadwiger karesi çifti, aynı türetilmiş kareye sahip teoremin diğer iki örneğini oluşturur.^[4]

1. ${\displaystyle \square ABCD}$ ve ${\displaystyle \square A'B'C'D'}$ kareleri, şekil (a)'da gösterildiği gibi ortak bir ${\displaystyle A}$ tepe noktasını paylaşsın. Daha sonra, orijinal karelerin ${\displaystyle S}$ ve ${\displaystyle Q}$ merkezleri ile birlikte ${\displaystyle B'D}$ ve ${\displaystyle BD'}$ segmentlerinin orta noktaları ${\displaystyle P}$ ve ${\displaystyle R}$, başka bir ${\displaystyle \square PQRS}$ karesinin köşeleridir.

2. ${\displaystyle \square ABCD}$ ve ${\displaystyle \square AB'C'D'}$ karelerinin ${\displaystyle BD}$ ve ${\displaystyle B'D'}$ köşegenlerini şekil (b)'de gösterildiği gibi çizin. O halde ${\displaystyle PQRS}$, gölgeli dörtgen ${\displaystyle BDB'D'}$ ile ilişkili Varignon paralelkenarıdır.

3. ${\displaystyle PQRS}$'nin bir kare olduğunu göstermek için, ${\displaystyle BDB'D'}$'nün ${\displaystyle BB'}$ ve ${\displaystyle DD'}$ çizgili köşegenlerinin dikey ve eşit uzunlukta olduğunu göstermemiz gerekir. Şekil (c), ${\displaystyle BA=DA}$, ${\displaystyle B'A=D'A}$, ${\displaystyle \angle BAB'=\angle DAD'}$ olduğunu ve böylece ${\displaystyle \triangle BAB'\cong \triangle DAD'}$ olduğunu göstermektedir. Böylece ${\displaystyle BB'=DD'}$. Ancak ${\displaystyle BA\perp DA}$ ve ${\displaystyle B'A\perp D'A}$; dolayısıyla ${\displaystyle BB'\perp DD'}$'dir.^[5]

• Fisher, J. C., Ruoff, D., & Shilleto, J. (1981). Polygons and polynomials. In The Geometric Vein (ss. 321-333). Springer, New York, NY.
• Detemple, D., & Harold, S. (1996). A round-up of square problems. Mathematics Magazine, 69(1), ss. 15-27.
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA 2010, ISBN 978-0-88385-348-1, s. 125 (books.google.de 7 Mart 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.).
• Frizta Edius & Vina Setiawaty, (2019), Expansion of Finsler-Hadwiger Theorem, Paya Lebar Methodist Girls’ School (Secondary), A project presented to the Singapore Mathematical Project Festival, Proje Raporu^[]

• Eric W. Weisstein, Finsler-Hadwiger teoremi (MathWorld)
• finsler-hadwiger theorem (Video, 3:55 dk)
• A Problem of Hinged Squares, What is it? A Mathematical Droodle 5 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @cut-the-knot.org
• Triangle with Squares 4: Finsler Hadwiger Theorem 8 Haziran 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @gogeometry.com
• A problem based on the Finsler-Hadwiger theorem @geogebra