Fermi'nin etkileşimi

Parçacık fiziğinde, Fermi etkileşimi (aynı zamanda beta bozunmasının Fermi teorisi veya Fermi dörtlü-fermiyon etkileşimi) beta bozunmasının 1933'te Enrico Fermi tarafından önerilmiş bir açıklamasıdır.^[1] Teori, dört fermiyonun (ilişkili Feynman diyagramının bir köşesinde) birbiriyle direkt etkileştiğini varsayar. Bu etkileşim bir nötronun bir elektron, bir nötrino (daha sonra bir antinötrino olduğu belirlendi) ve bir protonla doğrudan bağlanmasıyla bir nötronun beta bozunmasını açıklar.^[2]

Fermi bu bağlanmadan ilk olarak 1933'te beta bozunmasının tanımını yaparken bahsetti.^[3] Fermi etkileşimi, proton-nötron ve elektron-antiötrino arasındaki etkileşimin, Fermi teorisinin düşük enerjili etkili alan teorisi olduğu sanal bir W⁻ bozonunun aracılık ettiği zayıf etkileşim teorisinin habercisiydi.

Fermi ilk olarak "okuyucunun ilgisini çekemeyecek kadar gerçeklikten uzak spekülasyonlar içerdiği" için reddedilen beta bozunmasının "geçici" teorisini prestijli bir bilim dergisi olan Nature'de yayınladı.^[4] Nature daha sonra bu reddi kendi tarihindeki en büyük editör hatalarından biri olduğunu kabul etti.^[5] Daha sonra Fermi, revize edilmiş versiyonları İtalyan ve Alman yayıncılara sundu ve yayınlar bunları kabul edip 1933 ve 1934'te bu dillerde yayınladı.^[6][7][8][9] Makale, o sırada İngilizce birincil yayında yer almadı.^[5] Bu ufuk açıcı makalenin İngilizce çevirisi American Journal of Physics'te 1968 tarihinde yayınlandı.^[9]

Fermi fark etti ki makalenin asıl reddini o kadar rahatsız edici buldu ki, teorik fizikten biraz ara vermeye ve sadece deneysel fizik yapmaya karar verdi. Bu, kısa bir süre sonra, yavaş nötronlarla çekirdeklerin aktivasyonu ile ilgili ünlü çalışmasına yol açacaktır.

Teori, doğrudan etkileşim içinde olduğu varsayılan üç tür parçacıkla ilgilenir: başlangıçta (${\displaystyle \rho =+1}$) "nötron durumu"ndaki bir “ağır parçacık", daha sonra bir elektron ve bir nötrino emisyonu ile "proton durumu" (${\displaystyle \rho =-1}$)'e geçiş yapar.

${\displaystyle \psi }$'nin tekli-elektron dalga fonksiyonu olduğu ve ${\displaystyle \psi _{s}}$ durağan halleri olduğu yerde:

${\displaystyle \psi =\sum _{s}\psi _{s}a_{s},}$

${\displaystyle a_{s}}$, Fock uzayına şu şekilde etki eden <span about="#mwt86" class="mwe-math-element" data-mw="{&quot;name&quot;:&quot;math&quot;,&quot;attrs&quot;:{},&quot;body&quot;:{&quot;extsrc&quot;:&quot;s&quot;}}" id="mwWg" typeof="mw:Extension/math"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math alttext="{\displaystyle s}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation> </semantics> </math></span><img alt="s" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" data-cx="{&quot;adapted&quot;:false}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;"></span> durumundaki bir elektronu yok eden operatördür:

${\displaystyle a_{s}\Psi (N_{1},N_{2},\ldots ,N_{s},\ldots )=(-1)^{N_{1}+N_{2}+\cdots +N_{s}-1}(1-N_{s})\Psi (N_{1},N_{2},\ldots ,1-N_{s},\ldots ).}$

${\displaystyle a_{s}^{*}}$, ${\displaystyle s}$ elektron durumu için bir oluşturma operatörüdür:

${\displaystyle a_{s}^{*}\Psi (N_{1},N_{2},\ldots ,N_{s},\ldots )=(-1)^{N_{1}+N_{2}+\cdots +N_{s}-1}N_{s}\Psi (N_{1},N_{2},\ldots ,1-N_{s},\ldots ).}$

Benzer olarak,

${\displaystyle \phi =\sum _{\sigma }\phi _{\sigma }b_{\sigma },}$

${\displaystyle \phi }$'nin tekli-nötrino dalga fonksiyonu ve ${\displaystyle \phi _{\sigma }}$ durağan halleri olduğu yerde yukarıdaki gibidir.

${\displaystyle b_{\sigma }}$, Fock uzayına şu şekilde etki eden ${\displaystyle \sigma }$ durumundaki bir nötrinoyu yok eden operatördür:

${\displaystyle b_{\sigma }\Phi (M_{1},M_{2},\ldots ,M_{\sigma },\ldots )=(-1)^{M_{1}+M_{2}+\cdots +M_{\sigma }-1}(1-M_{\sigma })\Phi (M_{1},M_{2},\ldots ,1-M_{\sigma },\ldots ).}$

${\displaystyle b_{\sigma }^{*}}$, ${\displaystyle \sigma }$ elektron durumu için bir oluşturma operatörüdür.

${\displaystyle \rho }$, Heisenberg tarafından tanıtılan (daha sonra izospin olarak genelleştirildi) bir operatördür ve parçacık bir nötron olduğunda özdeğeri +1 ve parçacık bir proton ise -1 olan bir ağır parçacık durumuna etki eder. Bu nedenle, ağır parçacık durumları, iki sıralı sütun vektörleri ile temsil edilecektir; burada

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$

bir nötronu temsil eder ve

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$

bir protonu temsil eder (temsil edilişte ${\displaystyle \rho }$, olağan ${\displaystyle \sigma _{z}}$ spin matrisidir).

Ağır bir parçacığı bir protondan nötrona ve tersi yönde değiştiren operatörler sırasıyla şu şekilde temsil edilir:

${\displaystyle Q=\sigma _{x}-i\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$

ve

${\displaystyle Q^{*}=\sigma _{x}+i\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle u_{n}}$ karşılığı olan ${\displaystyle v_{n}}$, ${\displaystyle n}$ durumunda nötronun karşılığı olan proton için bir eigen fonksiyonudur.

Hamiltonyen, üç parçadan oluşur: özgür ağır parçacıkların enerjisini temsil eden ${\displaystyle H_{\text{h.p.}}}$, özgür hafif parçacıkların

enerjisini temsil eden ${\displaystyle H_{\text{l.p.}}}$ ve ${\displaystyle H_{\text{int.}}}$etkileşimini veren bir parça.

${\displaystyle H_{\text{h.p.}}={\frac {1}{2}}(1+\rho )N+{\frac {1}{2}}(1-\rho )P,}$

${\displaystyle N}$ ve ${\displaystyle P}$ sırayla nötronun ve protonun operatörleridir, Yani eğer ${\displaystyle \rho =1}$ ise, ${\displaystyle H_{\text{h.p.}}=N}$'dir ve eğer ${\displaystyle \rho =-1}$ ise, ${\displaystyle H_{\text{h.p.}}=P}$'dir.

${\displaystyle H_{\text{l.p.}}=\sum _{s}H_{s}N_{s}+\sum _{\sigma }K_{\sigma }M_{\sigma },}$

Nükleusun Coulomb alanında ${\displaystyle H_{s}}$'nin ${\displaystyle s^{\text{th}}}$ durumunda elektron enerjisi ve ${\displaystyle N_{s}}$'nin o alandaki elektron sayısı olduğu yerde; ${\displaystyle M_{\sigma }}$'nin ${\displaystyle \sigma ^{\text{th}}}$ durumundaki nötrino sayısı ve ${\displaystyle K_{\sigma }}$'nin her bir nötrinonun enerjisi olduğu yerde (serbest, düzlem dalga durumunda olduğu varsayılır), ${\displaystyle H_{\text{l.p.}}}$ yukarıdaki formül ile bulunur.

Etkileşim kısmı, bir elektronun ve bir nötrinonun (şimdi bir antinötrino olarak bilinir) emisyonu ile birlikte bir protonun bir nötrona dönüşümünü temsil eden bir terim ve ayrıca ters işlem için bir terim içermelidir; elektron ve proton arasındaki Coulomb kuvveti, ${\displaystyle \beta }$-bozunma süreciyle ilgisiz olduğu için göz ardı edilir.

Fermi, ${\displaystyle H_{\text{int.}}}$ için iki olası değer önerir: ilki, spini görmezden gelen bir göreceli olmayan sürümü:

${\displaystyle H_{\text{int.}}=g\left[Q\psi (x)\phi (x)+Q^{*}\psi ^{*}(x)\phi ^{*}(x)\right],}$

ve daha sonra, hafif parçacıkların dört bileşenli Dirac spinörleri olduğunu, ancak ağır parçacıkların hızı ${\displaystyle c}$'ye görece küçük ve elektromanyetik vektör potansiyeline benzer etkileşim terimlerinin göz ardı edilebileceğini varsayan bir sürüm:

${\displaystyle H_{\text{int.}}=g\left[Q{\tilde {\psi }}^{*}\delta \psi +Q^{*}{\tilde {\psi }}\delta \psi ^{*}\right],}$

${\displaystyle \psi }$'nin ve ${\displaystyle \phi }$'nin artık dört bileşenli Dirac spinörlerinin olduğu, ${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$'nin, ${\displaystyle \psi }$'nin Hermitgen eşleniğini temsil ettiği ve ${\displaystyle \delta }$ 'nin aşağıdaki matris olduğu yerde yukarıdaki formül ile bulunur.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\end{pmatrix}}.}$

Sistemin durumu, ${\displaystyle \rho =\pm 1}$'in ağır parçacığın nötron mu yoksa proton mu, ${\displaystyle n}$'nin ağır parçacığın kuantum durumu, ${\displaystyle N_{s}}$'nin ${\displaystyle s}$ durumundaki elektron sayısı ve ${\displaystyle M_{\sigma }}$'nin de ${\displaystyle \sigma }$ durumundaki nötrino sayısı olduğu yerde${\displaystyle \rho ,n,N_{1},N_{2},\ldots ,M_{1},M_{2},\ldots ,}$ demeti ile verilir.

rölativist versiyonunu kullanarak ${\displaystyle H_{\text{int.}}}$, Fermi, 𝑛 durumunda bir nötron bulunan durum ile elektronsuz durum arasındaki matris elemanını verir. ${\displaystyle s}$ durumunda bulunan nötrinolar .${\displaystyle \sigma }$ ve bir protonun ${\displaystyle m}$ durumunda olduğu ve bir elektronun ve bir nötrinonun ${\displaystyle s}$ ve 𝜎 durumlarında bulunduğu durum olarak

${\displaystyle H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}=\pm g\int v_{m}^{*}u_{n}{\tilde {\psi }}_{s}\delta \phi _{\sigma }^{*}d\tau ,}$

burada integral, ağır parçacıkların tüm konfigürasyon uzayını kaplar (hariç ${\displaystyle \rho }$). bu ${\displaystyle \pm }$ hafif parçacıkların toplam sayısının tek (-) veya çift (+) olmasına göre belirlenir.

Bilinen kuantum karışıklık teorisine göre ${\displaystyle n}$ durumundaki nötronun yaşam süresini hesaplamak için, yukarıdaki matris elementleri, boş elektron ve nötrino durumları üzerinden toplanmalıdır. Elektron ve nötrino ${\displaystyle \psi _{s}}$ ve ${\displaystyle \phi _{\sigma }}$özfonksiyonlarının çekirdek içinde sabit olduğu varsayılarak basitleştirilir (yani Compton dalga boyları çekirdeğin boyutundan çok daha küçüktür). Bu, şuna yol açar

${\displaystyle H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}=\pm g{\tilde {\psi }}_{s}\delta \phi _{\sigma }^{*}\int v_{m}^{*}u_{n}d\tau ,}$

${\displaystyle \psi _{s}}$ ve ${\displaystyle \phi _{\sigma }}$'in çekirdeğin konumunda değerlendirildiği yerde yukarıdaki şekilde bulunur.

Fermi'nin altın kuralına göre^[],bu değişimin olasılığı

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|a_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}\right|^{2}&=\left|H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}\times {\frac {\exp {{\frac {2\pi i}{h}}(-W+H_{s}+K_{\sigma })t}-1}{-W+H_{s}+K_{\sigma }}}\right|^{2}\\&=4\left|H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}\right|^{2}\times {\frac {\sin ^{2}\left({\frac {\pi t}{h}}(-W+H_{s}+K_{\sigma })\right)}{(-W+H_{s}+K_{\sigma })^{2}}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle W}$'nin proton ve nötron durumlarının enerji farkları olduğu yerde yukarıdaki şekille bulunur.

Bütün pozitif enerjili nötrino spin / momentum yönlerinin (burada ${\displaystyle \Omega ^{-1}}$'nötrino durumlarının yoğunluğudur, sonunda sonsuza alınır) ortalamasını alarak

${\displaystyle \left\langle \left|H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}\right|^{2}\right\rangle _{\text{avg}}={\frac {g^{2}}{4\Omega }}\left|\int v_{m}^{*}u_{n}d\tau \right|^{2}\left({\tilde {\psi }}_{s}\psi _{s}-{\frac {\mu c^{2}}{K_{\sigma }}}{\tilde {\psi }}_{s}\beta \psi _{s}\right),}$

${\displaystyle \mu }$'in nötrinonun kalan kütlesi ve ${\displaystyle \beta }$'nın Dirac matrisi olduğu yerde yukarıdaki değeri elde ederiz.

Bu değişmenin olasılığının ${\displaystyle -W+H_{s}+K_{\sigma }=0}$'ın olduğu ${\displaystyle p_{\sigma }}$ değerleri için keskin bir maksimuma sahip olduğuna dikkat edilerek, bu^[]

${\displaystyle t{\frac {8\pi ^{3}g^{2}}{h^{4}}}\times \left|\int v_{m}^{*}u_{n}d\tau \right|^{2}{\frac {p_{\sigma }^{2}}{v_{\sigma }}}\left({\tilde {\psi }}_{s}\psi _{s}-{\frac {\mu c^{2}}{K_{\sigma }}}{\tilde {\psi }}_{s}\beta \psi _{s}\right),}$

${\displaystyle p_{\sigma }}$'nın ve ${\displaystyle K_{\sigma }}$'nın ${\displaystyle -W+H_{s}+K_{\sigma }=0}$ için değerleri olduğu yerde yukarıdaki değere sadeleşir.

Fermi, bu fonksiyon hakkında üç açıklama yapmıştır:

• Nötrino durumları serbest kabul edildiğinden, ${\displaystyle K_{\sigma }>\mu c^{2}}$ ve böylece sürekli ${\displaystyle \beta }$-spektrumundaki üst limit ise ${\displaystyle H_{s}\leq W-\mu c^{2}}$değeridir.
• ${\displaystyle H_{s}>mc^{2}}$ elektronları için ${\displaystyle \beta }$-bozunumunun oluşması için proton-nötron enerji farkının ${\displaystyle W\geq (m+\mu )c^{2}}$ olması gerekir.
• Geçiş olasılığındaki

${\displaystyle Q_{mn}^{*}=\int v_{m}^{*}u_{n}d\tau }$

faktörü normalde 1 büyüklüğündedir, ancak özel durumlarda yok olur; bu, ${\displaystyle \beta }$-bozunumu için (yaklaşık) seçim kurallarına yol açar.

Yukarıda da not edildiği gibi, ne zaman ${\displaystyle u_{n}}$ ve ${\displaystyle v_{m}}$ ağır parçacık durumları arasındaki ${\displaystyle Q_{mn}^{*}}$ iç çarpımı kaybolursa, ilgili geçiş "yasak" olur (veya, daha doğrusu, 1'e yakın olduğu durumlardan çok daha az olasıdır).

Çekirdeğin, protonların ve nötronların bireysel kuantum durumları açısından tanımlanması iyiyse, ${\displaystyle u_{n}}$ nötron durumu ve ${\displaystyle v_{m}}$ proton durumu aynı değerde açısal mometuma sahip olmadıkça ${\displaystyle Q_{mn}^{*}}$ yok olur; aksi durumda, tüm çekirdeğin bozunumdan önceki ve sonraki açısal momentumu kullanılmalıdır.

Kısa bir süre sonra Fermi'nin makalesi yayımlandı, Werner Heisenberg'ün Wolfgang Pauli'ye^[10] yazdığı bir mektupta, çekirdekteki nötrinoların ve elektronların yayımlanması ve soğurulmasının, karışıklık teorisinin ikinci mertebesinde, protonlar ve nötronlar arasında, emisyonun nasıl olduğuna benzer şekilde, bir çekime yol açması gerektiğini ve fotonların absorpsiyonu elektromanyetik kuvvete yol açtığını kaydetti. Kuvvetin ${\displaystyle {\frac {\text{Const.}}{r^{5}}}}$ formunda olması gerektiğini fark etti, ancak çağdaş deneysel veriler, bir milyon kat çok küçük bir değere yol açtı.^[11]

Aynı yılda, Hideki Yukawa bu fikre kapıldı,^[12] ancak onun teorisinde nötrinolar ve elektronlar, durağan kütlesi elektrondan yaklaşık 200 kat daha ağır olan varsayımsal yeni bir parçacık ile değiştirildi.^[13]

Fermi'nin dörtlü-fermiyon teorisi, zayıf etkileşimi oldukça iyi bir şekilde açıklar. Maalesef, hesaplanan kesit veya etkileşimin olasılığı, ${\displaystyle \sigma \approx G_{\rm {F}}^{2}E^{2}}$ enerjisinin karesi olarak büyür. Bu kesit sınırsız büyüdüğü için teori, yaklaşık 100 GeV'den çok daha yüksek enerjilerde geçerli değildir. Etkileşimin gücünü belirten bir G_F Fermi sabiti vardır. Bu, sonunda dört fermiyon temas etkileşiminin daha eksiksiz bir teoriyle (UV tamamlama) değiştirilmesine yol açtı —elektrozayıf teoride açıklandığı gibi bir W veya Z bozonunun değişimi.

Etkileşim ayrıca müon bozunmasını, etkileşimin aynı temel gücüne sahip bir müon, elektron-antinötrino, müon-nötrino ve elektronun birleşmesi yoluyla da açıklayabilir. Bu hipotez Gershtein ve Zeldovich tarafından öne sürüldü ve Vektör akımının korunması hipotezi olarak da bilinir.^[14]

Orijinal teoride Fermi, etkileşimin biçiminin iki vektör akımının temas kuplajı olduğunu varsaydı. Daha sonrasında, Lee ve Yang tarafından eksenel, pariteyi ihlal eden bir akımın ortaya çıkmasını hiçbir şeyin engellemediğine dikkat çekildi ve bu, Chien-Shiung Wu tarafından yürütülen deneylerle doğrulandı.^[15][16]

Fermi sabitinin en kesin deneysel tespiti, G_F değerinin karesiyle ters orantılı olan (müon kütlesini W bozonunun kütlesine karşı ihmal ederken) müon ömrünün ölçümleri ile elde edilir.^[17] Modern terimlerle, "indirgenmiş Fermi sabiti", yani doğal birimlerdeki sabit^[3][18]

${\displaystyle G_{\rm {F}}^{0}={\frac {G_{\rm {F}}}{(\hbar c)^{3}}}={\frac {\sqrt {2}}{8}}{\frac {g^{2}}{M_{\rm {W}}^{2}c^{4}}}=1.1663787(6)\times 10^{-5}\;{\textrm {GeV}}^{-2}\approx 4.5437957\times 10^{14}\;{\textrm {J}}^{-2}\ .}$

değeridir. Burada, g, zayıf etkileşimin çiftlenim sabitidir ve M_W ise söz konusu bozunmaya aracılık eden W bozonunun kütlesidir.

Standart Modelde, Fermi sabiti Higgs vakum beklenti değeridir

${\displaystyle v=\left({\sqrt {2}}\,G_{\rm {F}}^{0}\right)^{-1/2}\simeq 246.22\;{\textrm {GeV}}}$.^[19]

Daha doğrudan, yaklaşık olarak (standart model için ağaç düzeyi),

${\displaystyle G_{\rm {F}}^{0}\simeq {\frac {\pi \alpha }{{\sqrt {2}}~M_{\rm {W}}^{2}(1-M_{\rm {W}}^{2}/M_{\rm {Z}}^{2})}}.}$

Bu, W ve Z bozonları ile ${\displaystyle M_{\text{Z}}={\frac {M_{\text{W}}}{\cos \theta _{\text{W}}}}}$ arasındaki ilişki kullanılarak Weinberg açısı açısından daha da basitleştirilebilir, böylece

${\displaystyle G_{\rm {F}}^{0}\simeq {\frac {\pi \alpha }{{\sqrt {2}}~M_{\rm {Z}}^{2}\cos ^{2}\theta _{\rm {W}}\sin ^{2}\theta _{\rm {W}}}}.}$