Matematik'te aritmetiğin temel teoremi, aynı zamanda benzersiz çarpanlara ayırma teoremi ve asal çarpanlara ayırma teoremi olarak da adlandırılır, şunu belirtir: 1'den büyük her tamsayı, benzersiz bir şekilde asal sayıların üslerinin çarpımı olarak gösterilebilir.
Bir asal sayı, yalnızca 1'den büyük olup kendisinden küçük iki doğal sayının çarpımı olarak ifade edilemeyen bir doğal sayıdır. 1'den büyük ve asal olmayan doğal sayılara bileşik sayı adı verilir. Örneğin, 5 bir asal sayıdır çünkü onu bir çarpım olarak ifade etmenin mümkün olan yolları, 1 × 5 veya 5 × 1, yalnızca 5 sayısını içermektedir. Ancak, 4 bir bileşik sayıdır çünkü bu, her iki sayının da 4'ten küçük olduğu bir çarpım şeklindedir. Asal sayılar, aritmetiğin temel teoreminden ötürü sayı teorisi alanında merkezi öneme sahiptir: 1'den büyük her doğal sayı, ya bir asal sayıdır ya da asal sayıların çarpımı olarak, sıralamalarından bağımsız bir şekilde, benzersiz olarak çarpanlarına ayrılabilir.
İkiz asallar, aralarındaki fark 2 olan asal sayılar. Örneğin 3-5, 5-7, 11-13 ikiz asallardır. 2-3 çifti hariç iki asal sayı arasındaki fark da zaten en az 2 olabilir.
Pierre de Fermat, neredeyse eşitlik (“adequality”) tekniği de dahil olmak üzere sonsuz küçük hesaplara yol açan erken gelişmeler için yaptığı katkılarla bilinen bir Fransız matematikçiydi. Özellikle, eğri çizgilerin en büyük ve en küçük koordinatlarını bulmanın özgün bir yöntemini keşfetmesiyle tanınır; bu, o zamanlar bilinmeyen diferansiyel kalkülüsünkine benzer ve sayı teorisi üzerine yaptığı araştırmadır. Analitik geometri, olasılık ve optiğe kayda değer katkılarda bulundu. En çok ışık yayılımı hakkındaki Fermat ilkesi ve Diophantus'un Aritmeticasının bir kopyasının kenarındaki bir notta açıkladığı sayı teorisindeki Fermat'nın Son Teoremi ile tanınır. Aynı zamanda Fransa'nın Toulouse Parlamentosu'nda avukattı.
RSA, güvenliği tam sayıları çarpanlarına ayırmanın algoritmik zorluğuna dayanan bir tür açık anahtarlı şifreleme yöntemidir. 1978’de Ron Rivest, Adi Shamir ve Leonard Adleman tarafından bulunmuştur. Bir RSA kullanıcısı iki büyük asal sayının çarpımını üretir ve seçtiği diğer bir değerle birlikte ortak anahtar olarak ilan eder. Seçilen asal çarpanları ise saklar. Ortak anahtarı kullanan biri herhangi bir mesajı şifreleyebilir, ancak şu anki yöntemlerle eğer ortak anahtar yeterince büyükse sadece asal çarpanları bilen kişi bu mesajı çözebilir. RSA şifrelemeyi kırmanın çarpanlara ayırma problemini kırmak kadar zor olup olmadığı hala kesinleşmemiş bir problemdir.
Matematikte, sıfır olmayan iki veya daha fazla pozitif tam sayının en büyük ortak böleni, tam sayıların hepsini de bölen en büyük pozitif tam sayıdır. Örneğin; 8 ve 12’nin ebob’u 4’tür.
Asal çarpan, bir sayının asal olan çarpanlarına denir. Örnek olarak 72 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'ken (23∙32), 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 asal çarpan değildir. Aritmetiğin temel teoremine göre bütün bileşik sayılar, asal çarpanların çarpımı olarak yazılabilmektedir. Asal çarpanlardan her biri birden fazla kullanılabilir. Mesela
abc sanısı veya abc konjektürü sayılar teorisindeki bir sanı yani konjektürdür. 1985'te Joseph Oesterlé ve David Masser tarafından ortaya atılmıştır. Biri diğer ikisinin toplamı şeklinde ifade edilen üç tam sayının özellikleri üzerine kurulmuştur. Problemi çözmek için açık bir strateji bulunmadığı halde, sanı bazı ilginç sonuçları sayesinde tanınmıştır.
Matematiğin kombinatorik dalında, the ninci Bell sayısı, n eleman'lı bir küme'nin parçalanış sayısını verir veya eşdeğeri, benzerlik ilişkisi'dir. B0 = B1 = 1 ile başlar, ilk birkaç Bell sayısı şunlardır:
- 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, ….
Rabin şifreleme sistemi, Rabin kriptoloji veya Rabin kriptosistemi, güvenliği RSA'daki gibi tam sayı çarpanlarına ayırmanın zorluğu üzerine kurgulanmış olan asimetrik bir kriptografik tekniktir. Bununla birlikte, Rabin kriptosisteminin avantajı, saldırgan tam sayıları verimli bir şekilde çarpanlarına ayıramadığı sürece, seçilmiş bir düz metin saldırısına karşı hesaplama açısından güvenli olduğu matematiksel olarak kanıtlanmıştır, oysa RSA için bilinen böyle bir kanıt yoktur. Rabin fonksiyonunun her çıktısının dört olası girdiden herhangi biri tarafından üretilebilmesi dezavantajı; her çıktı bir şifreli metinse, olası dört girdiden hangisinin gerçek düz metin olduğunu belirlemek için şifre çözmede ekstra karmaşıklık gerekir.
Sayı teorisinde, asal çarpanlara ayırma bir bileşik sayının, çarpıldıklarında yine aynı sayıyı verecek şekilde, bir ve kendisi dışındaki bölenlerine ayrılmasıdır.
Çarpanlara ayırma, bir polinomun, tam sayının ya da matrisin kendisini oluşturan bileşenlerin çarpımı şeklinde yazılmasıdır. Örneğin 15 sayısı 3 ve 5 asal sayılarının çarpımı şeklinde yazılabilir: 3 × 5 ya da x2 − 4 polinomu (x − 2)(x + 2) şeklinde yazılabilir.
Matematikte, asal kuvvet, bir asal sayının pozitif tam sayı kuvvetidir. Örneğin: 5 = 51, 9 = 32 ve 16 = 24, asal kuvvetlerdir. 6 = 2 × 3, 15 = 3 × 5 ve 36 = 62 = 22 × 32 olduğundan dolayı asal kuvvet değildir.
Sayı kuramında, bir doğal sayının k tam asal çarpanları sayılabiliyorsa, buna k asalımsı veya "k hemen hemen asal" denir. Daha genel bir ifade ile, ancak ve ancak Ω(n) = k ise n sayısı, k asalımsıdır. Burada, Ω(n), n asal çarpanlarının toplamıdır:
'dir.
Öklid'in teoremi, sayılar teorisinde temel bir ifade olup sonsuz sayıda asal sayı olduğunu ileri sürer. Teoremin iyi bilinen farklı ispatları bulunmaktadır.
Schmidt-Samoa şifreleme, Alman araştırmacı Katja Schmidt-Samoa tarafından 2005’te oluşturulan asimetrik kriptografi yöntemidir. Bu şifrelemenin güvenilirliği Rabin'deki gibi çarpanlara ayırma probleminin zorluğuna dayanmaktadır. Bu algoritma, Rabin'in aksine şifreleme hızı pahasına, şifre çözmede belirsizlik oluşturmamaktadır.
Matematikte ikinin kuvveti, n bir tam sayı iken 2n şeklinde gösterilebilen sayıdır. Bu üslü sayıda 2 taban, n ise üstür.
Bu, Wikipedia'da yer alan sayı teorisi konularıyla ilgili sayfaların bir listesidir.
Doğal sayı olan 1729, 1728'den sonra gelir ve 1730'un önünde yer almaktadır. Bu bir taksi sayıdır ve İngiliz matematikçi G. H. Hardy'nin hastanede Hint matematikçi Srinivasa Ramanujan'ı ziyaret ettiği anekdotundan sonra çeşitli şekillerde Ramanujan sayısı ve Ramanujan-Hardy sayısı olarak da bilinir.
