Fanning sürtünme faktörü

Fanning sürtünme faktörü veya Fanning sürtünme katsayısı, John Thomas Fanning'in adını taşıyan ve sürekli ortamlar mekaniği hesaplamalarında kullanılan boyutsuz bir sayıdır. Bu faktör, yerel kayma gerilmesi ile yerel akış kinetik enerji yoğunluğu arasındaki oranı ifade eder:

f={\frac {\tau }{q}}

^[1]^[2] burada:

$f$ , yerel Fanning sürtünme faktörüdür (boyutsuz)
$\tau$ , yerel kayma gerilmesidir (birim: ${\frac {lb_{m}}{ft\cdot s^{2}}}$ veya ${\frac {kg}{m\cdot s^{2}}}$ veya Pa)
$q$ , genel dinamik basınçtır (birim: ${\frac {lb_{m}}{ft\cdot s^{2}}}$ veya $Pa$ )

Dinamik basınç şu şekilde tanımlanır: $q={\frac {1}{2}}\rho u^{2}$

burada:

$\rho$ , akışkanın yoğunluğudur (birim: ${\frac {lb_{m}}{ft^{3}}}$ veya ${\frac {kg}{m^{3}}}$ )
$u$ , genel akış hızıdır (birim: ${\frac {ft}{s}}$ veya ${\frac {m}{s}}$ )

Özellikle, duvardaki kayma gerilmesi, duvar kayma gerilmesini duvar alanı (dairesel kesitli bir boru için $2\pi RL$ ) ile çarparak ve kesit akış alanına (dairesel kesitli bir boru için $\pi R^{2}$ ) bölerek basınç kaybı ile ilişkilendirilebilir. Böylece $\Delta P=f{\frac {2L}{R}}q=f{\frac {L}{R}}\rho u^{2}$ olur.

Fanning sürtünme faktörü formülü

Bu sürtünme faktörü, Darcy sürtünme faktörünün dörtte biridir, bu yüzden "sürtünme faktörü" tablosu veya denklemi incelenirken hangisinin kastedildiğine dikkat edilmelidir. Bu iki faktörden, Fanning sürtünme faktörü, kimya mühendisleri ve İngiliz sistemini takip edenler tarafından daha yaygın olarak kullanılır.

Aşağıdaki formüller, yaygın uygulamalar için Fanning sürtünme faktörünü elde etmek amacıyla kullanılabilir.

Darcy sürtünme faktörü şu şekilde de ifade edilebilir:^[3]

$f_{D}={\frac {8{\bar {\tau }}}{\rho {\bar {u}}^{2}}}$

burada:

$\tau$ , duvardaki kayma gerilmesidir
$\rho$ , akışkanın yoğunluğudur
${\bar {u}}$ , akış kesitinde ortalama akış hızıdır

Yuvarlak borularda laminer akış

Grafikten, sürtünme faktörünün, mikroskobik düzeydeki bazı pürüzlülükler nedeniyle, pürüzsüz borular için bile hiçbir zaman sıfır olmadığı açıktır.

Yuvarlak borularda Newton akışkanıların laminer akışı için sürtünme faktörü genellikle şu şekilde alınır:^[4]

$f={\frac {16}{Re}}$ ^[2]^[5]

burada Re, akışın Reynolds sayısıdır.

Kare bir kanal için kullanılan eşitlik ise şudur:

$f={\frac {14.227}{Re}}$

Yuvarlak borularda türbülanslı akış

Hidrolik olarak pürüzsüz borular

Blasius, 1913 yılında $2100<Re<10^{5}$ rejimindeki akış için bir sürtünme faktörü ifadesi geliştirdi.

$f={\frac {0.0791}{Re^{0.25}}}$ ^[2]^[6]

Koo, 1933 yılında $10^{4}<Re<10^{7}$ bölgesindeki türbülanslı akış için başka bir açık formül türetti:

$f=0.0014+{\frac {0.125}{Re^{0.32}}}$ ^[7]^[8]

Genel pürüzlülüğe sahip borular

Boru belirli bir pürüzlülüğe sahipse ( ${\frac {\epsilon }{D}}<0.05$ ), Fanning sürtünme faktörü hesaplanırken bu faktör dikkate alınmalıdır. Boru pürüzlülüğü ile Fanning sürtünme faktörü arasındaki ilişki, Haaland (1983) tarafından $4\centerdot 10^{4}<Re<10^{7}$ akış koşulları altında aşağıdaki gibi geliştirilmiştir.

${\frac {1}{\sqrt {f}}}=-3.6\log _{10}\left[{\frac {6.9}{Re}}+\left({\frac {\epsilon /D}{3.7}}\right)^{10/9}\right]$ ^[2]^[8]^[9]

burada,

$\epsilon$ borunun iç yüzeyinin pürüzlülüğüdür (uzunluk birimi)
D borunun iç çapıdır.

Swamee–Jain denklemi, tam dolu dairesel bir boru için Darcy–Weisbach sürtünme faktörü f'yi doğrudan çözmek için kullanılır. Bu denklem, örtük Colebrook–White denkleminin bir yaklaşığıdır.^[10]

f={\frac {0.0625}{\left[\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{\frac {5.74}{\mathrm {Re} ^{0.9}}}\right)\right]^{2}}}

Tam pürüzlü borular

Pürüzlülük türbülanslı çekirdeğe kadar uzandığında, Fanning sürtünme faktörü büyük Reynolds sayılarında akışkanın viskozitesinden bağımsız hale gelir. Nikuradse ve Reichert (1943), $Re>10^{4};{\frac {k}{D}}>0.01$ bölgesindeki akış için bunu göstermiştir. Aşağıdaki denklem, Darcy sürtünme faktörü için geliştirilen orijinal formattan ${\frac {1}{4}}$ faktörüyle değiştirilmiştir.

${\frac {1}{\sqrt {f}}}=2.28-4.0\log _{10}\left({\frac {k}{D}}\right)$ ^[11]^[12]

Genel ifade

Türbülanslı akış rejiminde, Fanning sürtünme faktörü ile Reynolds sayısı arasındaki ilişki daha karmaşıktır ve Colebrook denklemi ile yönetilir^[6] ve bu denklem $f$ cinsinden örtüktür:

{1 \over {\sqrt {\mathit {f}}}}=-4.0\log _{10}\left({\frac {\frac {\varepsilon }{d}}{3.7}}+{\frac {1.255}{Re{\sqrt {\mathit {f}}}}}\right),{\text{türbülanslı akış}}

Türbülanslı akış için ilgili Darcy sürtünme faktörünün çeşitli açık yaklaşımları (İng. explicit) geliştirilmiştir.

Stuart W. Churchill^[5] hem laminer hem de türbülanslı akış için sürtünme faktörünü kapsayan bir formül geliştirdi. Bu formül başlangıçta Reynolds sayısına karşı Darcy-Weisbach Sürtünme faktörünü çizen Moody diyagramını tanımlamak için oluşturulmuştur. Darcy Weisbach Formülü $f_{D}$ , aynı zamanda Moody sürtünme faktörü olarak da bilinir ve Fanning sürtünme faktörünün $f$ dört katıdır, bu yüzden aşağıdaki formülü oluşturmak için ${\frac {1}{4}}$ faktörü uygulanmıştır.

Re, Reynolds sayısı (boyutsuz);
ε, borunun iç yüzeyinin pürüzlülüğü (uzunluk birimi);
D, borunun iç çapı;
ln, doğal logaritma;
Burada, $f$ , Darcy-Weisbach Sürtünme faktörü $f_{D}$ değildir, $f$ $f_{D}$ 'nin dört katı daha düşüktür;

f=2\left(\left({\frac {8}{Re}}\right)^{12}+\left(A+B\right)^{-1.5}\right)^{\frac {1}{12}}

A=\left(2.457\ln \left(\left(\left({\frac {7}{Re}}\right)^{0.9}+0.27{\frac {\varepsilon }{D}}\right)^{-1}\right)\right)^{16}

B=\left({\frac {37530}{Re}}\right)^{16}

Dairesel olmayan kanallardaki akışlar

Dairesel olmayan kanalların geometrisi nedeniyle, Fanning sürtünme faktörü, hidrolik yarıçap $R_{H}$ kullanılarak ve Reynolds sayısı $Re_{H}$ hesaplanarak yukarıdaki cebirsel ifadelerden tahmin edilebilir.

Uygulama

Sürtünme kaybı (İng. hydraulic head) sürtünme nedeniyle meydana gelen basınç kaybı, basınç kaybının yerçekimi ivmesi ve akışkanın yoğunluğu çarpımına bölünmesiyle ilişkilendirilebilir. Buna göre, sürtünme kaybı ile Fanning sürtünme faktörü arasındaki ilişki şu şekildedir:

\Delta h=f{\frac {u^{2}L}{gR}}=2f{\frac {u^{2}L}{gD}}

burada:

$\Delta h$ , borunun sürtünme kaybıdır (yük kaybı).
$f$ , borunun Fanning sürtünme faktörüdür.
$u$ , borudaki akış hızıdır.
$L$ , borunun uzunluğudur.
$g$ , yerel yerçekimi ivmesidir.
$D$ , borunun çapıdır.

Kaynakça

^ Khan, Kaleem (2015). Fluid Mechanics and Machinery. Oxford University Press India. ISBN 9780199456772. OCLC 961849291.
^ ^a ^b ^c ^d Lightfoot, Edwin N.; Stewart, Warren E. (2007). Transport phenomena. Wiley. ISBN 9780470115398. OCLC 288965242.
^ Cengel, Yunus; Ghajar, Afshin (2014). Heat and Mass Transfer: Fundamentals and Applications. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-339818-1.
^ McCabe, Warren; Smith, Julian; Harriott, Peter (2004). Unit Operations of Chemical Engineering. 7th. New York, NY: McGraw-Hill. ss. 98-119. ISBN 978-0072848236.
^ ^a ^b Churchill, S.W. (1977). "Friction factor equation spans all fluid-flow regimes". Chemical Engineering. 84 (24). ss. 91-92.
^ ^a ^b Colebrook, C. F.; White, C. M. (3 Ağustos 1937). "Experiments with Fluid Friction in Roughened Pipes". Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 161 (906). ss. 367-381. Bibcode:1937RSPSA.161..367C. doi:10.1098/rspa.1937.0150. JSTOR 96790.
^ Klinzing, E. G. (2010). Pneumatic conveying of solids : a theoretical and practical approach. Springer. ISBN 9789048136094. OCLC 667991206.
^ ^a ^b Bragg, R (1995). Fluid Flow for Chemical and Process Engineers. Butterworth-Heinemann [Imprint]. ISBN 9780340610589. OCLC 697596706.
^ Heldman, Dennis R. (2009). Introduction to food engineering. Academic. ISBN 9780123709004. OCLC 796034676.
^ Swamee, P.K.; Jain, A.K. (1976). "Explicit equations for pipe-flow problems". Journal of the Hydraulics Division. 102 (5). ss. 657-664. doi:10.1061/JYCEAJ.0004542.
^ Rehm, Bill (2012). Underbalanced drilling limits and extremes. Gulf Publishing Company. ISBN 9781933762050. OCLC 842343889.
^ Pavlou, Dimitrios G. (2013). Composite materials in piping applications : design, analysis and optimization of subsea and onshore pipelines from FRP materials. DEStech Publications. ISBN 9781605950297. OCLC 942612658.