Evrensel cebir

Evrensel cebir, matematiğin bir dalı olup bütün cebirsel yapılara ortak olan özellikleri inceleyen bilimin adıdır.

Evrensel cebirde, bir (soyut) cebir bir birim ${\displaystyle A}$ ve onun tanımlı olan operasyonlardan oluşur. (Operasyon sembolları sadece "fonksiyonların ismi" olarak kullanılır).

Operasyonların toplamına "imza" (en. "signature") adı verilir ${\displaystyle \Sigma =\{+,*\}}$.

${\displaystyle +::A\times A\rightarrow A}$

${\displaystyle *::A\times A\rightarrow A}$

${\displaystyle 0::\rightarrow A}$

${\displaystyle 1::\rightarrow A}$

0,1 gibi operasyonlara "sabit" denilir. Operasyonlar soyut bir şekilde eşitliklerle tarif edilebilir. Mesela alttaki eşitliklerin tümüne "E" diyelim.

${\displaystyle 0+x=x}$

${\displaystyle x+y=y+x}$

${\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)}$

${\displaystyle x*1=x}$

${\displaystyle x*y=y*x}$

${\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)}$

Yukardaki imza ${\displaystyle \Sigma }$ bir cebir doğasal sayılardır ${\displaystyle N(\mathbb {N} ,+^{N},*^{N},0^{N},1^{N})}$. Burada ${\displaystyle +^{N}}$ bildiğimiz "arti" fonksiyonudur.

Bu cebir yukardaki ${\displaystyle E}$ adı verdiğimiz tüm eşitlikleri "kabul eder" (en. "satisfy")${\displaystyle N\models E}$. Başka bir deyimle, N yapısı E'nin bir modelidir.

E'nin başka bir bir modelini daha tanimlayalım.${\displaystyle B=(\{a,b\},+^{B},*^{B},0^{B},1^{B})}$

${\displaystyle 0^{B}\mapsto a}$

${\displaystyle 1^{B}\mapsto b}$

${\displaystyle a+^{B}a\mapsto a}$

${\displaystyle a+^{B}b\mapsto b}$

${\displaystyle b+^{B}a\mapsto b}$

${\displaystyle b+^{B}b\mapsto b}$

${\displaystyle a*^{B}a\mapsto a}$

${\displaystyle a*^{B}b\mapsto a}$

${\displaystyle b*^{B}a\mapsto a}$

${\displaystyle b*^{B}b\mapsto b}$

Bunun bir model olduğunu (yani ${\displaystyle B\models E}$ ifadesini) kanıtlamak kolaydır.

Evrensel cebirde önemli sorulardan birkaç tanesi:

• Bir eşitlikler birimini ${\displaystyle E}$ nin modeli var mıdır?
• E'nin tüm modellerin ortak özellikleri nedir
• E'nin modelleri, E'den başka hangi eşitlikleri "kabul eder" ?

Mesela ${\displaystyle x=1*x}$ eşitliği, yukardaki ${\displaystyle E}$nin bir neticesidir. ${\displaystyle E\models x=1*x}$ yazarak bunu ifade ederiz.

${\displaystyle \{s=t|E\models s=t\}}$ birimine "E'nin teorisi" denilir.

• Wolfgang Wechler. Universal Algebra. Springer-Verlag

• A Course in Universal Algebra23 Ocak 2005 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Stanley N. Burris and H.P. Sankappanavar tarafından hazırlanan açık bir evrensel cebir ders kitabıdır.