Euler yöntemi - Turkipedia

Euler yöntemi, diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü için kullanılan temel bir ileri (forward) integrasyon yöntemidir. Matematikçi Leonhard Euler'in adını taşıyan bu yöntem, diferansiyel denklemlerin analitik çözümlerinin bulunamadığı durumlarda, sayısal yaklaşımlarla çözüme ulaşmak amacıyla geliştirilmiştir. Bu yöntem, basit ve anlaşılır olması nedeniyle özellikle başlangıç seviyesinde sayısal analiz konularında öğretimde sıkça kullanılmaktadır.

Temel prensip

Genel bir diferansiyel denklemi ele alalım: dy/dx = f(x, y). Euler yöntemi, bu denklemin çözümünü adım adım ilerleyerek yaklaşık bir sayısal çözüm elde etmeyi amaçlar. Başlangıç noktası olarak x₀ ve y₀ verildiğinde, belirli bir adım büyüklüğü (h) kullanılarak şu adımlar takip edilir:

Başlangıç Noktası: x₀, y₀

Adım Büyüklüğü: h

Adım Hesapla: y₁ = y₀ + h * f(x₀, y₀)

Konumu Güncelle: x₁ = x₀ + h, y₁

Yeni Konumdan Devam Et: x₁ ve y₁ noktalarından başlayarak aynı adımları tekrarla.

Bu adımlar, belirli bir adım büyüklüğü ile diferansiyel denklemin sayısal çözümünü sağlar. Ancak, Euler yöntemi genellikle büyük h değerleri kullanıldığında doğruluk ve kararlılık sorunlarına yol açabilir.

Sınırlamalar ve gelişmiş yöntemler

Euler yöntemi, karmaşık diferansiyel denklemlerin çözümünde ve kararlılık açısından bazı sınırlamalara sahiptir. Bu nedenle, daha gelişmiş sayısal integrasyon yöntemleri, özellikle de Runge-Kutta yöntemleri gibi, genellikle daha hassas sonuçlar sağlar ve daha karmaşık sistemlerde tercih edilir.

Euler yöntemi, temel bir başlangıç noktası olarak kullanılabilecek basit bir algoritma olmasına rağmen, uygulama alanına ve gereksinimlere bağlı olarak daha sofistike yöntemlerin tercih edilmesi genellikle tavsiye edilir.

Kaynakça

İlgili Araştırma Makaleleri

İntegral veya tümlev, toplama işleminin sürekli bir aralıkta alınan hâlidir. Türev ile birlikte kalkülüsün temelini oluşturan iki işlemden birisidir. Kalkülüsün temel teoremi sayesinde aynı zamanda türevin ters işlemidir.

<span class="mw-page-title-main">Soyut cebir</span> Matematiğin bir alanı

Soyut cebir veya soyut matematik, matematiğin bir alanı olup, cebirsel yapılar üzerinde çalışır. Cebirsel yapılar, elemanları üzerinde belirli işlemlerin uygulandığı kümelerdir ve gruplar, halkalar, alanlar, modüller, vektör uzayları, kafesler ve alan üzerindeki cebirler içerir. Soyut cebir terimi, 20. yüzyılın başlarında temel cebirden ayırmak amacıyla türetilmiştir. Soyut cebir ileri matematik için temel hale geldikçe basitçe "cebir" olarak adlandırılırken, "soyut cebir" terimi pedagoji dışında nadiren kullanılır.

Matematikte, diferansiyel denklem, bir ya da birden fazla fonksiyonu ve bunların türevlerini ilişkilendiren denklemdir. Fizik, kimya, mühendislik, biyoloji ve ekonomi alanlarında matematiksel modeller genellikle diferansiyel denklemler kullanılarak ifade edilirler. Bu denklemlerde, fonksiyonlar genellikle fiziksel ya da finansal değerlere, fonksiyon türevleriyse değerlerin değişim hızlarına denk gelir.

Analitik geometri, geometrik çalışmaya cebrik analizi uygulayan ve cebrik problemlerin çözümünde geometrik kavramları kullanan bir matematik dalı. Bütün bunlar kartezyen sistem denilen bir koordinat sisteminin kullanılmasıyla mümkündür. Kartezyen kelimesi, batıda analitik geometride ilk bilimsel çalışmayı yapan René Descartes'tan gelmektedir.

Matematikte adi diferansiyel denklem, tek değişkenli fonksiyonların türevlerini ilişkilendiren diferansiyel denklem çeşididir. Adi diferansiyel denklemler adı daha yaygındır. Kapalı olarak $\text{[math]}$ şeklinde gösterilirler. Bu ifadede $\text{[math]}$ denklemin derecesini gosterir.

Sayısal analizde Runge-Kutta yöntemleri, adi diferansiyel denklemlerin çözüm yaklaşımları için kapalı ve açık yinelemeli yöntemler ailesinin önemli bir tipidir. Bu yöntem 1900'lü yllarda C. Runge ve M.W. Kutta adlı matemetikçiler tarafından geliştirilmiştir.

4. dereceden klasik Runge-Kutta Yöntemi:

Başlangıçta sonsuz küçük hesap veya "sonsuz küçüklerin hesabı" olarak adlandırılan kalkülüs, geometrinin şekillerle çalışması ve cebirin aritmetik işlemlerin genellemelerinin incelenmesi gibi, kalkülüs sürekli değişimin matematiksel çalışmasıdır.

Matematikte Laplace denklemi, özellikleri ilk defa Pierre-Simon Laplace tarafından çalışılmış bir kısmi diferansiyel denklemdir. Laplace denkleminin çözümleri, elektromanyetizma, astronomi ve akışkanlar dinamiği gibi birçok bilim alanında önemlidir çünkü çözümler bilhassa elektrik ve yerçekim potansiyeli ile akışkan potansiyelinin davranışını açıklar. Laplace denkleminin çözümlerinin genel teorisi aynı zamanda potansiyel teorisi olarak da bilinmektedir.

<span class="mw-page-title-main">Sayısal analiz</span>

Sayısal analiz, diğer adıyla nümerik analiz veya sayısal çözümleme, matematiksel analiz problemlerinin yaklaşık çözümlerinde kullanılan algoritmaları inceler. Bu nedenle birçok mühendislik dalı ve doğa bilimlerinde önem arz eden sayısal analiz, bilimsel hesaplama bilimi olarak da kabul edilebilir. Bilgisayarın işlem kapasitesinin artması ile gündelik hayatta ortaya çıkan birçok sistemin matematiksel modellenmesi mümkün olmuş ve sayısal analiz algoritmaları burada ön plana çıkmıştır. 21. yüzyıldan itibaren bilimsel hesaplama yöntemleri mühendislik ve doğa bilimleri ile sınırlı kalmamış ve sosyal bilimler ile işletme gibi alanları da etkilemiştir. Sayısal analizin alt başlıklarına adi diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümleri ve özellikle veri biliminde önem taşıyan sayısal lineer cebir ile optimizasyon örnek gösterilebilir.

Hesaplamalı fizik, fizik sorunlarını çözebilmek için sayısal algoritmaların üretilmesi ve gerçeklenmesini içerir. Genelde kuramsal fizikin bir alt dalı olarak değerlendirilir ancak bazen de kuramsal ve deneysel fizik arasında orta bir dal olarak da düşünülür.

Matematiksel model, bir sistemin matematiksel kavramlar ve dil kullanılarak tanımlanmasıdır. Matematiksel model geliştirme süreci, matematiksel modelleme olarak adlandırılır. Matematiksel modeller, doğa bilimlerinde ve mühendislik disiplinlerinde bunun yanı sıra sosyal bilimlerde kullanılır. Matematiksel modelleri daha çok fizikçiler, mühendisler, istatistikçiler, operasyon araştırma analistleri ve ekonomistler kullanır. Model, bir sistemi açıklamaya, farklı bileşenlerin etkilerini incelemeye ve bir davranış hakkında öngörüde bulunmak için yardımcı olabilir.

Sayısal analizde rahatlatma metodu, eliptik kısmi diferansiyel denklemlerin belirli biçimlerini, özel Laplace denklemini ve onun genelleştirilmesini, Poisson denklemini kapsayan denklem çözümlerine nümerik yaklaşımlar elde etmek için kullanılan metottur. Fonksiyonun şeklinin sınırlarının üzerinde verildiği kabul edilir ve de içinde hesaplanmasını gerektirir.

Sonlu farklar yöntemi bir sayısal yöntemdir. Sonlu fark denklemlerinden faydalanır. Bu denklemler ile diferansiyel denklemlerin analitik çözümlerine yaklaşılır.

Matematikte Bernoulli diferansiyel denklemi, birinci mertebeden bir adi diferansiyel denklemin açık biçimi şöyledir:

\text{[math]}

Hesaplamalı kimya, kimya problemlerini çözmeye yardımcı olmak için bilgisayar simülasyonunu kullanan bir kimya dalıdır. Moleküllerin, katıların yapı ve özelliklerini hesaplamak için verimli bilgisayar programlarına dahil edilmiş teorik kimya yöntemlerini kullanır. Bu yöntemlerin kullanılmasının nedeni, hidrojen moleküler iyonu ile ilgili nispeten yeni sonuçlar dışında, kuantum çok-gövdeli(many-body) problemlerin analitik olarak çözülemez oluşudur. Hesaplama sonuçları normal olarak kimyasal deneylerle elde edilen bilgileri tamamlarken, bazı durumlarda gözlemlenmeyen kimyasal olayları da tahmin edebilmektedir. Yeni ilaç ve materyallerin tasarımında yaygın olarak kullanılmaktadır.

Bilimsel hesaplama karmaşık problemleri anlamak ve çözmek için gelişmiş bilgi işlem yeteneklerini kullanan çok disiplinli bir alandır. Hesaplamalı bilim üç farklı unsuru birleştirmektedir:

Matematikte, belirsiz katsayılar yöntemi, bazı homojen olmayan sıradan diferansiyel denklemlere ve tekrarlı ilişkilere özel bir çözüm bulmak için bir yaklaşımdır. Annihilator yöntemiyle yakından ilişkilidir, ancak belirli bir çözümün mümkün olan en iyi formunu bulmak için belirli bir diferansiyel operatör (annihilator) kullanmak yerine, uygun form için bir "tahmin" yapılır; daha sonra elde edilen denklemin türevinin alınmasıyla test edilir. Karmaşık denklemler için eliminasyon yöntemine veya parametrelerin değişmesi yöntemine göre daha az zaman alır.

Bu, matematiğin bir alt dalı ve matematiksel analizin giriş kısmı olan kalkülüs (hesap) konularının bir listesidir.

Sayısal analizde, Newton-Raphson yöntemi olarak da bilinen ve adını Isaac Newton ve Joseph Raphson'dan alan Newton metodu, gerçel değerli bir fonksiyonun köklerine art arda daha iyi yaklaşımlar üreten bir kök bulma algoritmasıdır. En temel versiyonu, tek bir gerçek değişkenli $x$ için tanımlı olan $f$ fonksiyonu, fonksiyonun türevi $f '$ ve $f$ 'in bir kökü için bir $x 0$ başlangıç tahmini ile başlar. Fonksiyon yeterli ön kabulleri karşılıyorsa ve ilk tahmin yakınsa, o zaman

\text{[math]}

Analizde, sayısal entegrasyon, belirli bir integralin sayısal değerini hesaplamak için geniş bir algoritma ailesini içerir ve bunun uzantısı olarak bazen diferansiyel denklemlerin sayısal çözümünü tanımlamak için de kullanılır.

Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.