Euler teoremi (geometri)

Geometride, Euler teoremi, üçgenin çevrel çemberinin merkezi ve iç teğet çemberinin merkezi arasındaki ${\displaystyle d}$ uzunluğunun aşağıdaki şekilde ifade edildiğini belirtir:^[1][2]${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$

veya eşdeğer olarak aşağıdaki şekilde yazılabilir;

${\displaystyle {\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}}}$,

burada ${\displaystyle R}$ ve ${\displaystyle r}$, sırasıyla çevresel ve iç teğet çemberlerin yarıçapını belirtir. Teorem, adını 1765'te yayınlayan Leonhard Euler'den almıştır.^[3] Ancak aynı sonuç daha önce William Chapple tarafından 1746'da yayınlanmıştır.^[4]

Teoremi Euler eşitsizliği takip eder:^[5][6] ${\displaystyle R\geq 2r}$,

bu ifadede sadece eşkenar üçgen durumda eşitlik geçerlidir.^{[7] :p. 198}

${\displaystyle O}$ noktası, ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi ve ${\displaystyle I}$ noktası üçgenin iç teğet çemberinin merkezi olsun, ${\displaystyle AI}$'nın uzantısı çemberi ${\displaystyle L}$ noktasında keser. O halde ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle BC}$ yayının orta noktasıdır. ${\displaystyle LO}$'yu birleştirin ve ${\displaystyle M}$'deki çevrel çemberi kesecek şekilde uzatın. ${\displaystyle I}$'dan ${\displaystyle AB}$'ye bir dik çizin ve ${\displaystyle D}$ onun ayağı olsun, yani ${\displaystyle ID=r}$'dir. ${\displaystyle \triangle ADI}$ üçgeninin ${\displaystyle \triangle MBL}$ üçgenine benzer olduğunu kanıtlamak zor değildir, bu nedenle ${\displaystyle {\frac {ID}{BL}}={\frac {AI}{ML}}}$, yani ${\displaystyle ID\times ML=AI\times BL}$'dir. Bu nedenle ${\displaystyle 2Rr=AI\times BL}$'dir. ${\displaystyle BI}$'yı birleştirin. Çünkü;

${\displaystyle \angle BIL={\frac {\angle A}{2}}+{\frac {\angle ABC}{2}}}$,

${\displaystyle \angle IBL={\frac {\angle ABC}{2}}+\angle CBL={\frac {\angle ABC}{2}}+{\frac {\angle A}{2}}}$,

${\displaystyle \angle BIL=\angle IBL}$, ${\displaystyle BL=IL}$ ve ${\displaystyle AI\times IL=2Rr}$ olduğu bilgisine sahibiz. ${\displaystyle OI}$'yi çevrel çemberi ${\displaystyle P}$ ve ${\displaystyle Q}$ noktalarında kesecek şekilde genişletin; sonra ${\displaystyle PI\times QI=AI\times IL=2Rr}$, yani ${\displaystyle (R+d)(R-d)=2Rr}$, yani ${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$'dir.

Matematiksel ifadenin daha güçlü bir versiyonu^{[7] :p. 198}

${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2}$,

olarak yazılabilir, burada a, b, c üçgenin kenar uzunluklarıdır.

Eğer ${\displaystyle r_{a}}$ ve ${\displaystyle d_{a}}$ sırasıyla ${\displaystyle A}$ tepe noktasının karşısındaki dış teğet çemberin yarıçapını gösterirse ve onu merkezi ile çevrel çemberin merkezi arasındaki uzunluk, o zaman ${\displaystyle d_{a}^{2}=R(R+2r_{a})}$ olur.

Euler eşitsizliği, verilen bir çember içine çizilmiş tüm üçgenler için, eşkenar üçgen için çevrel çemberin maksimum yarıçapına ulaşıldığını ve sadece bunun için geçerli olduğunu ifade eden biçimde mutlak geometride geçerlidir.^[8]

• İki merkezli dörtgenlerde aynı üç değişken arasındaki ilişki için Fuss teoremi
• Poncelet kapanış teoremi, aynı iki çembere (ve dolayısıyla aynı ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle r}$ ve ${\displaystyle d}$) sahip sonsuz sayıda üçgen olduğunu gösterir.
• Üçgen eşitsizliklerin listesi

• Eric W. Weisstein, Euler Triangle Formula (MathWorld)
• "Euler's Formula and Poncelet Porism", cut-the-knot.org, 31 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 27 Kasım 2020 
• "Euler Triangle Formula", ProofWiki, 15 Şubat 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 27 Kasım 2020 

• Lev Emelyanov & Tatiana Emelyanova (2001), "Euler's Formula and Poncelet's Porism", Forum Geometricorum, 1, ss. 137-140, ISSN 1534-1178 
• Benedetto Scimemi (2002), "Paper-folding and Euler's Theorem Revisited" (PDF), Forum Geometricorum, 2, ss. 93-104, 28 Ağustos 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 27 Kasım 2020 
• Zhang, Z. H., Song, Q., & Wang, Z. S. (2003), "Some Strengthened Results On Euler's Inequality" (PDF), RGMIA research report collection, 6 (4) 
• Gerry Leversha & G. C. Smith (Kasım 2007), "Euler and Triangle Geometry", The Mathematical Gazette, 91 (522), ss. 436-452, 5 Aralık 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 27 Kasım 2020