İçeriğe atla

Euler teoremi (geometri)

Euler teoremi:

Geometride, Euler teoremi, üçgenin çevrel çemberinin merkezi ve iç teğet çemberinin merkezi arasındaki uzunluğunun aşağıdaki şekilde ifade edildiğini belirtir:[1][2]

veya eşdeğer olarak aşağıdaki şekilde yazılabilir;

,

burada ve , sırasıyla çevresel ve iç teğet çemberlerin yarıçapını belirtir. Teorem, adını 1765'te yayınlayan Leonhard Euler'den almıştır.[3] Ancak aynı sonuç daha önce William Chapple tarafından 1746'da yayınlanmıştır.[4]

Teoremi Euler eşitsizliği takip eder:[5][6] ,

bu ifadede sadece eşkenar üçgen durumda eşitlik geçerlidir.[7] :p. 198

İspat

Öklid geometrisinde Euler teoreminin kanıtı

noktası, üçgeninin çevrel çemberinin merkezi ve noktası üçgenin iç teğet çemberinin merkezi olsun, 'nın uzantısı çemberi noktasında keser. O halde , yayının orta noktasıdır. 'yu birleştirin ve 'deki çevrel çemberi kesecek şekilde uzatın. 'dan 'ye bir dik çizin ve onun ayağı olsun, yani 'dir. üçgeninin üçgenine benzer olduğunu kanıtlamak zor değildir, bu nedenle , yani 'dir. Bu nedenle 'dir. 'yı birleştirin. Çünkü;

,
,

, ve olduğu bilgisine sahibiz. 'yi çevrel çemberi ve noktalarında kesecek şekilde genişletin; sonra , yani , yani 'dir.

Eşitsizliğin daha güçlü versiyonu

Matematiksel ifadenin daha güçlü bir versiyonu[7] :p. 198

,

olarak yazılabilir, burada a, b, c üçgenin kenar uzunluklarıdır.

Dış teğet çember için Euler teoremi

  bir üçgen,
  iç teğet çember, iç teğet çemberin merkezi (),
  dış teğet çemberler, dış teğet çemberlerin merkezleri (, , ),
  iç açıortaylar
  dış açıortaylar,
  yeşil üçgen dışsal üçgen,
  A, B, C noktalarından geçen çember ise üçgenin çevrel çemberi olur.

Eğer ve sırasıyla tepe noktasının karşısındaki dış teğet çemberin yarıçapını gösterirse ve onu merkezi ile çevrel çemberin merkezi arasındaki uzunluk, o zaman olur.

Mutlak geometride Euler eşitsizliği

Euler eşitsizliği, verilen bir çember içine çizilmiş tüm üçgenler için, eşkenar üçgen için çevrel çemberin maksimum yarıçapına ulaşıldığını ve sadece bunun için geçerli olduğunu ifade eden biçimde mutlak geometride geçerlidir.[8]

Ayrıca bakınız

  • İki merkezli dörtgenlerde aynı üç değişken arasındaki ilişki için Fuss teoremi
  • Poncelet kapanış teoremi, aynı iki çembere (ve dolayısıyla aynı , ve ) sahip sonsuz sayıda üçgen olduğunu gösterir.
  • Üçgen eşitsizliklerin listesi

Kaynakça

  1. ^ Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 [1929], s. 186 
  2. ^ The Genius of Euler: Reflections on his Life and Work, Spectrum Series, 2, Mathematical Association of America, 2007, s. 300, ISBN 9780883855584, 4 Ağustos 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 27 Kasım 2020 .
  3. ^ Gerry Leversha & G. C. Smith (Kasım 2007), "Euler and Triangle Geometry", The Mathematical Gazette, 91 (522), ss. 436-452, doi:10.1017/S0025557200182087, JSTOR 40378417 
  4. ^ An essay on the properties of triangles inscribed in and circumscribed about two given circles, 4, 1746, ss. 117-124, Uzaklık formülü, sayfa 123'ün alt kısmına yakındır. 
  5. ^ When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Dolciani Mathematical Expositions, 36, Mathematical Association of America, 2009, s. 56, ISBN 9780883853429 .
  6. ^ The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute, World Scientific, 2010, s. 124, ISBN 9781848165250 .
  7. ^ a b Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities, 12, 2012, ss. 197-209, 28 Ekim 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 27 Kasım 2020 .
  8. ^ Euler's inequality in absolute geoemtry, 109 (Art. 8), 2018, ss. 1-11, doi:10.1007/s00022-018-0414-6 .

Dış bağlantılar

Konuyla ilgili yayınlar

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Sinüs teoremi</span> Öklid geometrisinde üçgenlerle ilgili bir teorem

Sinüs teoremi, bir çembersel üçgende bir kenar ve bu kenar karşısındaki açının sinüsleri oranı sabittir. Sinüs, dik açılı üçgenlerde dik olmayan bir açının karşısında kalan dik kenar ile hipotenüsün birbirine oranıdır.

<span class="mw-page-title-main">Açıortay</span>

Açıortay, geometride bir açıyı iki eşit açı şeklinde bölen yapıdır. Bir açıya teğet tüm çemberler çizilerek merkezleri birleştirilirse, o açının açıortayı elde edilir. Bu nedenle açıortaylardan açının kollarına indirilen dikmeler, o çemberlerden birinin merkezinden teğetlere inilen yarıçap dikmeleri olacağından, dikmeler birbirine eşit olur. Her iki kolda oluşan üçgenler de birbirine eşit olacağından, dikmelerin açıortay kollarını kestiği noktalar ile açının bulunduğu köşeye olan uzaklıklar eşit olur.

<span class="mw-page-title-main">Çevrel çember</span>

Çevrel çember, geometride, bir çokgenin tüm köşelerinden geçen çember. Bu çemberin merkezi çevrel özek olarak isimlendirilir.

<span class="mw-page-title-main">Brocard noktaları</span>

Brocard noktaları, geometride bir üçgen içinde yer alan özel noktalardır. Fransız matematikçi Henri Brocard'ın çalışmalarından dolayı bu adı almıştır.

<span class="mw-page-title-main">Thales teoremi (çember)</span>

Çemberlerde Thales teoremi, alınan A, B ve C noktalarının bir çember üzerinde ve AC doğrusunun bu çemberin çapı olması durumunda, ABC açısının dik açı olacağını belirten geometri teoremi. Thales teoremi çevre açı kurallarının özel bir hâlidir. Adını Thales'ten alan teorem, genellikle ona atfedilir ancak bazı yerlerde Pisagor'la da ilişkilendirilir.

<span class="mw-page-title-main">Thales teoremi</span>

Geometride, Thales teoremi, A, B ve C, AC çizgisinin bir çap olduğu bir daire üzerinde farklı noktalar ise, ∠ABC açısının bir dik açı olduğunu belirtir. Thales teoremi, çevre açı teoreminin özel bir durumudur ve Öklid'in Elemanlar adlı eserinin üçüncü kitabında 31. önermenin bir parçası olarak bahsedilmiş ve kanıtlanmıştır. Genellikle, teoremin keşif için şükran kurbanı olarak bir öküz sunduğu söylenen Miletli Thales'e atfedilir, ancak bazen Pisagor'a da atfedilir.

<span class="mw-page-title-main">Açıortay teoremi</span> Bir üçgeni bölen iki parçanın göreli uzunlukları hakkında

Geometride açıortay teoremi, bir üçgenin kenarının karşı açıyı ikiye bölen bir çizgiyle bölündüğü iki parçanın göreli uzunluklarıyla ilgilidir. Göreli uzunluklarını, üçgenin diğer iki kenarının göreli uzunluklarına eşitler.

Carnot teoremi, bir üçgenin iç teğet çemberi ve çevrel çemberinin yarıçaplarının uzunlukları ile çevrel çemberin merkezinden üçgenin üç kenarına olan mesafelerin toplamı arasındaki ilişkiyi göstermektedir. Fransız matematikçi Lazare Nicolas Marguerite Carnot tarafından bulunmuştur.

<span class="mw-page-title-main">Eş iç teğet çemberler teoremi</span>

Geometride, eş iç teğet çemberler teoremi bir Japon Sangaku'sundan türetilir ve aşağıdaki yapıya ilişkindir: belirli bir noktadan belirli bir çizgiye bir dizi ışın çizilir, öyle ki bitişik ışınlar ve taban çizgisi tarafından oluşturulan üçgenlerin iç teğet çemberleri eşittir. Çizimde eş mavi çemberler, açıklandığı gibi ışınlar arasındaki mesafeyi tanımlar.

Öklid geometrisinde, Erdős–Mordell eşitsizliği herhangi bir üçgeni ve içindeki noktası için, 'den kenarlara olan uzunlukların toplamının, 'den köşelere olan uzunlukların toplamının yarısına eşit veya daha az olduğunu belirten teoremdir. Teorem, adını Macar matematikçi Paul Erdős ve Amerika doğumlu İngiliz matematikçi Louis Mordell'den almıştır. Erdős (1935) eşitsizliği kanıtlama problemini ortaya attı; iki yıl sonra tarafından bir kanıt sağlandı. Ancak bu çözüm çok basit değildi. Sonraki basit ispatlar daha sonra Kazarinoff (1957), Bankoff (1958) ve Alsina & Nelsen (2007) tarafından verilmiştir.

<span class="mw-page-title-main">Çift merkezli çokgen</span>

Geometride, çift merkezli (bicentric) çokgen, teğet bir çokgendir ve aynı zamanda döngüsel yani kirişler dörtgenidir - yani, çokgenin her köşesinden geçen bir çevrel çember içine çizilmiştir. Tüm üçgenler ve tüm düzgün çokgenler çift merkezlidir. Öte yandan, kenarları eşit olmayan bir dikdörtgen çift merkezli değildir, çünkü hiçbir çember dört kenara da teğet olamaz.

<span class="mw-page-title-main">Feuerbach noktası</span>

Üçgen geometrisinde, üçgenin iç çemberi ve dokuz nokta çemberi, üçgenin Feuerbach noktasında birbirine içten teğettir. Feuerbach noktası bir üçgen merkezidir, yani tanımı üçgenin yerleşimine ve ölçeğine bağlı değildir. Clark Kimberling'in Üçgen Merkezleri Ansiklopedisi'nde X(11) olarak listelenmiştir ve adını Alman geometrici Karl Wilhelm Feuerbach'tan almıştır.

<span class="mw-page-title-main">Çift merkezli dörtgen</span>

Öklid geometrisinde, bir çift merkezli dörtgen, hem bir iç teğet çembere hem de çevrel çembere sahip olan bir dışbükey (konveks) dörtgendir. Bu çemberlerin çevreleri, yarıçapları ve merkezlerine sırasıyla iç çap (inradius) ve çevrel çap (circumradius), iç merkez (incenter) ve çevrel merkez (circumcenter) denir. Tanımdan, çift merkezli dörtgenlerin hem teğetler dörtgeninin hem de kirişler dörtgeninin tüm özelliklerine sahip olduğu anlaşılmaktadır. Bu dörtgenler için diğer isimler kiriş-teğet dörtgeni ve iç teğet ve dış teğet dörtgenidir. Ayrıca nadiren çift çemberli dörtgen ve çift işaretlenmiş dörtgen olarak adlandırılmıştır.

<span class="mw-page-title-main">Geometrik ortalama teoremi</span> Dik üçgenler hakkında bir teorem

Dik üçgen yükseklik teoremi veya geometrik ortalama teoremi, bir dik üçgendeki hipotenüs üzerindeki yükseklik uzunluğu ile hipotenüs üzerinde oluşturduğu iki doğru parçası arasındaki ilişkiyi tanımlayan temel geometrinin bir sonucudur. İki doğru parçasının geometrik ortalamasının yüksekliğe eşit olduğunu belirtir.

<span class="mw-page-title-main">Kesişen kirişler teoremi</span>

Kesişen kirişler teoremi veya sadece kiriş teoremi, bir çember içinde kesişen iki kiriş tarafından oluşturulan dört doğru parçasının ilişkisini tanımlayan temel geometrideki bir ifadedir. Her bir kirişteki doğru parçalarının uzunluklarının çarpımlarının eşit olduğunu belirtir. Öklid'in Unsurlarının 3. kitabının 35. önermesidir.

<span class="mw-page-title-main">Kesişen kesenler teoremi</span>

Kesişen kesen (sekant) teoremi veya sadece kesen (sekant) teoremi, kesişen iki sekant ve ilişkili çember tarafından oluşturulan doğru parçalarının ilişkisini açıklayan temel bir geometri teoremidir.

Geometride, bir çokgenin yarı çevresi, çevre uzunluğunun yarısıdır. Çevreden doğrudan türetilebilmesine rağmen, yarı çevre üçgenler ve diğer şekiller için kullanılan formüllerde oldukça sık görülür ve ayrı/özel bir isim verilir. Yarı çevre, bir formülün parçası olarak ortaya çıktığında, genellikle s harfiyle gösterilir.

<span class="mw-page-title-main">Kirişler dörtgeni</span> tüm köşeleri tek bir çember üzerinde yer alan dörtgen

Öklid geometrisinde, bir kirişler dörtgeni veya çembersel dörtgen veya çevrimsel dörtgen, köşeleri tek bir çember üzerinde bulunan bir dörtgendir. Bu çembere çevrel çember denir ve köşelerin aynı çember içinde olduğu söylenir. Çemberin merkezi ve yarıçapı sırasıyla çevrel merkez ve çevrel yarıçap olarak adlandırılır. Bu dörtgenler için kullanılan diğer isimler eş çember dörtgeni ve kordal dörtgendir, ikincisi, dörtgenin kenarları çemberin kirişleri olduğu içindir. Genellikle dörtgenin dışbükey (konveks) olduğu varsayılır, ancak çapraz çevrimsel dörtgenler de vardır. Aşağıda verilen formüller ve özellikler dışbükey durumda geçerlidir.

<span class="mw-page-title-main">Fuhrmann üçgeni</span> rastgele üçgene dayalı özel üçgen

Adını Wilhelm Fuhrmann (1833-1904)'dan alan Fuhrmann üçgeni, verilen rastgele bir üçgene dayanan özel bir üçgendir.

<span class="mw-page-title-main">Fuhrmann çemberi</span> Öklid geometrisinde bir üçgen için tanımlanmış özel bir çember

Geometride, adını Alman matematikçi Wilhelm Fuhrmann (1833-1904)'dan alan bir üçgenin Fuhrmann çemberi, çap olarak ortosentr ile Nagel noktası arasındaki doğru parçasına sahip çemberdir. Bu çember, Fuhrmann üçgeninin çevrel çemberi ile aynıdır.