şeklindeki eşitliktir. Burada i karmaşık sayı olan dir, e Euler sayısıdır ve cos ile sin trigonometrik fonksiyonlar olan kosinüs ve sinüstür.[1]
Bu formül matematik, fizik ve mühendislikte çok önemli bir yere sahiptir. Fizikçi Richard Feynman bu formül için "Matematikteki en dikkate değer formül" demiştir.[2]
eşitliği sağlandığında Euler formülü: eiπ + 1 = 0 halini alır ve buna Euler özdeşliği denir.
Kullanım alanları
Formülün yorumlanması
Bu formül ei fonksiyonunun bir birim karmaşık sayı olarak düşünülmesiyle yorumlanabilir, yani bu fonksiyon farklı gerçek sayı değerleri aldıkça karmaşık sayılar düzleminde bir birim çember çizer. Burada orijin ile çember üzerindeki bir noktayı birleştiren bir çizginin yaptığı açıyı temsil eder ve birimi radyandır.
Orijinal kanıt üstel fonksiyonunun Taylor serisiyle yapılan açılımından ve ile fonksiyonlarından gelir, burada bir karmaşık sayı ve bir gerçek sayıdır. Aslında bu kanıt aynı zamanda Euler formülünün 'in alabileceği bütün karmaşık sayı değerleri için de geçerli olduğunu gösterir.
Görüyoruz ki denklemin iki tarafının da türevini aldığımızda aynı sonucu bulduk ki bu bizim teoremimizi ispatlar.
Formülün varyantları
Euler formülü'nde x yerine
,
,
,
gibi değişkenler konularak yeni bağıntılar türetilebilir. Bu bağıntılardan yaralanılarak yeni trigonometrik bağıntılara varılabilir ve yine bir kümenin alt küme sayılarını veren Bell sayıları'nı veren üreteç fonksiyonu'nde kompleks değişken verilerek trigonometrik analog'u bulunabilir. Aşağıda belirtilen gösterim şekilleri benzeştiği temel fonksiyon'a göredir:
Cebirsel gösterim
ifadesinde x yerine konursa
ve bu bu ifade yukardakinin daha genel şeklidir.
,
elde edilir
(n sabit bir sayı veya herhangi bir fonksiyon olabilir.)
ayrıca yukardaki bağıntılar yardımıyla
toplamıda bulunabilir. x yerine x^{i} konursa
İki katlı üstel
temel eşitliği üs alınarak elde edilebilen özdeşliklerdir.
x yerine
konursa;
İmajiner trigonometrik
x-->ln(x) alınırsa
Karma bağıntılar
Üslerin toplamına göre
ve
yardımıyla karma bağıntılar elde edilebilir.
sonuç olarak
elde edilir.
ifadesinde üs ifadesindeki x yerine y koyarak formülü daha da genelleştirebiliriz.Çünkü köşeli parantezin dışında üsse cos(x) ve x bağımsız olarak konup birleştirilmiştir,cos(x) değiştirilmezken x yerine y konabilir.
Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır. Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir. Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.