Euler dörtgen teoremi

Leonhard Euler (1707–1783) adını taşıyan Euler dörtgen teoremi veya Euler'in dörtgenler yasası, dışbükey bir dörtgenin kenarları ile köşegenleri arasındaki ilişkiyi açıklar. Pisagor teoreminin genellemesi olarak görülebilecek Paralelkenar yasasının bir genellemesidir. Bu nedenle Pisagor teoreminin dörtgenler açısından yeniden ifade edilmesi bazen Euler-Pisagor teoremi olarak adlandırılır.

Kenarları ${\displaystyle a,b,c,d}$, köşegenleri ${\displaystyle e}$ ve ${\displaystyle f}$ ve iki köşegenin orta noktalarını birleştiren doğru parçası ${\displaystyle g}$ olan olan bir dışbükey dörtgen için aşağıdaki denklem geçerlidir:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}$

Dörtgen bir paralelkenar ise, o zaman köşegenlerin orta noktaları çakışır, böylece bağlantı doğru parçası ${\displaystyle g}$'nin uzunluğu 0 olur. Ayrıca paralel kenarlar eşit uzunluktadır, bu nedenle Euler teoremi;

${\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=e^{2}+f^{2}}$

haline indirgenir ki bu da paralelkenar yasasıdır.

Dörtgen bir dikdörtgen ise denklem daha da basitleşir, çünkü artık iki köşegen de eşit uzunluktadır:

${\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=2e^{2}}$

Denklemin her iki tarafını 2 ile bölüp sadeleştirmek Euler-Pisagor teoremini verir:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=e^{2}}$

Başka bir deyişle, dörtgenin bir dikdörtgen olması durumunda, dörtgenin kenarları ile köşegenleri arasındaki ilişkisi Pisagor teoremi ile tanımlanır.^[1]

Euler başlangıçta yukarıdaki teoremi, ek bir noktanın eklenmesini gerektiren ancak daha yapısal kavrayış sağlayan biraz farklı bir teoremden doğal olarak türetmiştir.

Verilen bir ${\displaystyle ABCD}$ dışbükey dörtgeni için Euler, ${\displaystyle ABED}$ bir paralelkenar oluşturacak şekilde ilave bir ${\displaystyle E}$ noktası getirdi ve böylece aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

${\displaystyle |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+|CE|^{2}}$

Paralelkenarın parçası olmayan dörtgenin ${\displaystyle C}$ noktası ile ilave ${\displaystyle E}$ noktası arasındaki ${\displaystyle |CE|}$ uzunluğu, dörtgenin paralelkenardan ne kadar saptığını ölçmek olarak düşünülebilir ve ${\displaystyle |CE|^{2}}$, paralelkenar yasasının orijinal denklemine eklenmesi gereken düzeltme terimidir.^[2]

${\displaystyle M}$, ${\displaystyle AC}$'nin orta noktası olmak üzere ${\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|AM|}}=2}$'dir. ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle BD}$'nin orta noktası olduğunda aynı zamanda ${\displaystyle AE}$'nin de orta noktası olur, ${\displaystyle AE}$ ve${\displaystyle BD}$, her ikisi de ${\displaystyle ABED}$ paralelkenarının köşegenidir. Bu ${\displaystyle {\tfrac {|AE|}{|AN|}}=2}$ eşitliğini verir ve dolayısıyla${\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|AM|}}={\tfrac {|AE|}{|AN|}}}$'dir. Bu nedenle, Kesişme teoremi|nden (ve onun tersinden) şu sonuca varır: ${\displaystyle CE}$ ve ${\displaystyle NM}$ paraleldir ve${\displaystyle |CE|^{2}=(2|NM|)^{2}=4|NM|^{2}}$, bu da Euler teoremini verir.^[2]

Euler teoremi, çaprazlanmış ve düzlemsel olmayanları içeren daha büyük bir dörtgenler kümesine genişletilebilir. Basitçe dört rastgele noktadan oluşan genelleştirilmiş dörtgenler için geçerlidir. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bir döngü çizgesi oluşturacak şekilde kenarlarla birbirine bağlanır.^[3]

• Deanna Haunsperger & Stephen Kennedy (2006), The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons, MAA, ss. 137-139, ISBN 9780883855553 
• Lokenath Debnath (2010), The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute, World Scientific, ss. 105-107, ISBN 9781848165267 
• C. Edward Sandifer (2007), How Euler Did It, MAA, ss. 33-36, ISBN 9780883855638 
• Geoffrey A. Kandall (Kasım 2002), "Euler's Theorem for Generalized Quadrilaterals" (PDF), College Mathematics Journal, 33 (5), ss. 403-404, JSTOR 1559015, 18 Ağustos 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 18 Ağustos 2021 
• Dietmar Herrmann (2013), Die antike Mathematik: Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme ve Lösungen, Springer, s. 418, ISBN 9783642376122 

• Eric W. Weisstein, Quadrilateral (MathWorld)

• Ayoub, A. B. (2002), "Euler's quadrilateral theorem and its connection to Apollonius theorem", Mathematics and Computer Education, 36 (3), s. 227 
• Josefsson, M. (2017), "Properties of bisect-diagonal quadrilaterals" (PDF), The Mathematical Gazette, 101 (551), s. 214, 28 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 25 Ekim 2020