Euler-Fuss denklemi

Leonhard Euler'in temel dörtgen geometrisindeki birçok sonucundan biri, iç içe uzanan iki belirli çember için Öklid düzleminde, hem daha büyük çemberin kirişler dörtgeni hem de daha küçük olana teğet olan bir teğetler dörtgeni olan bir dışbükey dörtgen bulunması problemiyle ilgilidir. Euler bunun için, dairenin merkezi ile bir düzlem üçgenin merkezi arasındaki mesafeye ilişkin teoremindekiyle yakından ilişkili olan bir denklem buldu. Denklemin ilk yayınlanmış sunumu ve türetilmesi, Euler'in sekreteri Nikolaus Fuß tarafından 1798'de sağlandı.^[1][2][3]

Aşağıdaki teorem, karşılık gelen Fuss teoremini ve tersini birleştiren Euler-Fuß denklemi için geçerlidir:^[4]

İki pozitif sayı ${\displaystyle r}$ ve ${\displaystyle R}$ verilsin, yanı sıra iki daire ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}}$ ve ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{R}}$ Öklid düzlemi ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ içinde ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{R}}$ yarıçap ${\displaystyle R}$ ve ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}}$ yarıçap ${\displaystyle r}$'ye sahip olsun.

Çember ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{R}}$, ${\displaystyle \operatorname {conv} ({\mathcal {K}}_{R})}$’den içerideki çember ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}}$, ${\displaystyle \operatorname {conv} ({\mathcal {K}}_{r})}$' den oluşsun ve ${\displaystyle r<R}$ olsun.

İki çember merkezi arasındaki uzunluk ${\displaystyle d}$ ile gösterilsin.

Sonra:

O zaman ve ancak o zaman Öklid düzleminde dışbükey bir dörtgen var olur. ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}}$ iç teğet çember ve ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{R}}$ çevrel çember olmak üzere denklem;

${\displaystyle {\frac {1}{(R+d)^{2}}}+{\frac {1}{(R-d)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}}$

olarak gösterilir.

• Heinrich Dörries Mathematischen Miniaturen adlı kitabında Euler-Fuß denklemi, Fuß'un dörtgen formülü anahtar kelimesi altında da anılır. Dörrie diğer parametreleri kullanarak aşağıdaki denklemi verir:^[3][5]

${\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+d^{2})=(R^{2}-d^{2})^{2}}$

• Heinrich Dörrie'ye göre, hem çevrel hem de iç teğet bir çembere sahip olan bir dışbükey dörtgene iki merkezli (bicentric) dörtgen de denir.^[5]
• Triumph der Mathematik adlı çalışmasında Heinrich Dörrie, Nikolaus Fuß'un da beşgen, altıgen, yedigen ve sekizgen için iki merkezliye karşılık gelen formüller bulduğunu işaret etti.^[6]

• Coolidge, Julian Lowell (1971). A Treatise on the Circle and the Sphere ((Corrected reprint of the 1916 edition) bas.). Bronx, N.Y.: Chelsea Publishing Company. ISBN 0-8284-0236-1. 
• Dörrie, Heinrich (1958). "100 berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur". Triumph der Mathematik (5. bas.). Würzburg: Physica-Verlag. 
• Dörrie, Heinrich (1979) [unveränderter Nachdruck der Ausgabe 1943]. Mathematische Miniaturen (2. bas.). Wiesbaden: Sändig. ISBN 3-500-21150-X. 
• Simon, Max (1906). "Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung". Über die Entwicklung der Elementar-Geometrie im XIX. Jahrhundert. 15. Leipzig: B. G. Teubner Verlag. 

• "Fuss' Theorem". 30 Ocak 2008 tarihinde kaynağından arşivlendi. Java Applet @cut-the-knot.org 
• "Gleichung von Euler-Fuß". Geogebra. 14 Aralık 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 28 Kasım 2020. 
• "The results of Fuss and Carlitz for bicentric quadrilaterals". 23 Aralık 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. 

• Grigori Giorgadze & Giorgi Khimshiashvili (2013), "Remarks on Bicentric Polygons" (PDF), Bulletin of the Georgian National Academy of Sciences, 7 (3) 
• "Fuss' Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral" (PDF). 23 Aralık 2015 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi.