Esnek çarpışma

Esnek çarpışma ya da elastik çarpışma, iki cismin arasındaki esnek çarpışma, toplam momentum ve toplam kinetik enerjinin çarpışmadan önce ve sonra sabit kaldığı çarpışmadır. Bilardo topu çarpışmaları ve herhangi bir sıcaklıkta hava moleküllerinin duvarla çarpışması yaklaşık olarak esnektir. Gerçek esnek çarpışmalar, atom ve atom-altı parçacıklar arasında gerçekleşir. Esnek çarpışmalar sadece diğer formlara dönüşen net kinetik enerji yoksa gerçekleşir.

Küçük cisimlerin çarpışmaları sırasında, kinetik enerji ilk olarak parçacıklar arasında olan itici kuvvet ile ilgili olan potansiyel enerjiye dönüşür. (parçacıklar bu kuvvete karşı hareket ederken, kuvvet ve bağıl hız arasındaki açı geniştir). Ve daha sonra potansiyel enerji tekrar kinetik enerjiye dönüşür. (parçacıklar bu kuvvete karşı hareket ederken, kuvvet ve bağıl hız arasındaki açı dardır).

Atomlar arasında olan çarpışmalar esnek çarpışmalardır. Rutherford'un geri saçılması deneyi bunun bir örneğidir.

Atomları arasındaki mesafe daha fazla olan moleküllerden gazlar ve sıvılarda mükemmel esnek çarpışma meydana gelir, çünkü her çarpışmayla birlikte moleküllerin içinde ve öteleme hareketleri arasında kinetik enerji değişimi yaşanır. Herhangi bir anda, çarpışmaların yarı yarıya değişen oranında; bir yarısı esnek olmayan çarpışma (çarpışma öncesi sahip olduğu kinetik enerjiye nazaran çarpışma sonrasında daha az kinetik enerjiye sahip olan çarpışmalar) ve diğer yarısı da mükemmel derecede esnek olan çarpışmalar (çarpışma öncesi sahip olduğu kinetik enerji kadar çarpışma sonrasında da aynı kinetik enerjiye sahip olan çarpışmalar) olur. Tüm örnekler karşılaştırıldığında ortalama olarak, Planck's yasası sistemden enerji taşımak için siyah cisim fotonlarını engellediği sürece, moleküler çarpışmalar esnek çarpışmalar olarak düşünülebilir.

Makroskopik cisimlerin durumunda, mükemmel esnek olan çarpışmalar asla tamamen fark edilmeyecek kadar ideal, ama yaklaşık olarak cisimlerin etkileşimi bilardo toplarının etkileşimi kadardır.

Enerji düşünüldüğünde, çarpışmadan önceki dönme enerjisi ve çarpışmadan sonraki dönme enerjisinin rol oynaması da mümkündür.

1 ve 2 diye gösterilmiş iki tane parçacık düşünüldüğünde. m₁ ve m₂ cisimlerin kütleleridir, u₁ ve u₂ cisimlerin çarpışmadan önceki hızlarıdır ve v₁ ve v₂ cisimlerin çarpışmadan sonraki hızlarıdır.

Toplam momentumun korunumunu çarpışmadan önce ve çarpışmadan sonra aynı olan toplam momentumlara bakarak söyleyebiliriz ve bunu da şu denklemlerle ifade edebiliriz.

${\displaystyle \,\!m_{1}{\vec {u}}_{1}+m_{2}{\vec {u}}_{2}=m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2}.}$

Benzer şekilde, toplam kinetik enerjinin korunumunu da çarpışmadan önce ve çarpışmadan sonra aynı olan toplam kinetik enerjilere bakarak söyleyebiliriz ve bunu da şu denklemlerle ifade edebiliriz.

${\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.}$

Bu denklemler v_i, u_i bilindiğinde veya tersi durum söz konusu olduğunda doğrudan çözülebilir. Bir diğer alternatif çözüm yolu ise referans noktasını değiştirmek ve bilinen hızlardan birini sıfır almaktır. Bu yeni referans noktasındaki bilinmeyen hızların değerine daha sonra orijinal referans noktasındaki dönüşüm denklemleriyle ulaşılabilir. Bilinmeyen hızın değeri bir kez saptandığında, diğer hızın değeri simetri yöntemi kullanılarak bulunabilir.

v_i için bu eş zamanlı denklemlerin çözümü bize bu denklemleri verir:

${\displaystyle v_{1}={\frac {u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

${\displaystyle v_{2}={\frac {u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}}}$

ya da

${\displaystyle \ v_{1}=u_{1}}$

${\displaystyle \ v_{2}=u_{2}}$.

İkinci yoldan yapılan önemsiz çözümdür, çünkü henüz hiçbir çarpışmanın meydana gelmediğini belirtir.

Örneğin:

Top 1: kütlesi = 3 kg, hızı = 4 m/s olsun

Top 2: kütlesi = 5 kg, hızı = −6 m/s olsun

Çarpışmadan sonra:

Top 1: hızı = −8.5 m/s olur

Top 2: hızı = 1.5 m/s olur

Denklem:

${\displaystyle \ v_{1}-v_{2}=u_{2}-u_{1}}$

Türevi alındığında: Kinetik enerji formülünü kullanarak şu sonuca ulaşırız;

${\displaystyle \ m_{1}\left(v_{1}^{2}-u_{1}^{2}\right)=m_{2}\left(u_{2}^{2}-v_{2}^{2}\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow m_{1}\left(v_{1}-u_{1}\right)\left(v_{1}+u_{1}\right)=m_{2}\left(u_{2}-v_{2}\right)\left(u_{2}+v_{2}\right)}$

Momentum denklemini tekrar düzenlersek:

${\displaystyle \ m_{1}(v_{1}-u_{1})=m_{2}(u_{2}-v_{2})}$

Kinetik enerji denklemini momentum denklemine böldüğümüzde:

${\displaystyle \ v_{1}+u_{1}=u_{2}+v_{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow v_{1}-v_{2}=u_{2}-u_{1}}$

• bir parçacığın diğerine göre olan bağıl hızı çarpışma sonucunda tersine çevrilir.
• iki parçacık için de çarpışmadan önceki ortalama momentumu çarpışmadan sonraki ortalama momentumuna eşittir.

Beklenildiği üzere, sabit öteleme hızıyla birlikte referans noktası kullanıldığında, bütün hızlara sabit bir değer eklendiğinde çözümün değişmez olduğu görülür.

Kütle merkezinin hızı çarpışmayla birlikte değişmez:

Zamanla kütle merkezi ${\displaystyle \ t}$ çarpışmadan önce ve zamanla ${\displaystyle \ t'}$ çarpışmadan sonra bize iki denklem verir:

${\displaystyle {\bar {x}}(t)={\frac {m_{1}x_{1}(t)+m_{2}x_{2}(t)}{m_{1}+m_{2}}}}$, ve

${\displaystyle {\bar {x}}(t')={\frac {m_{1}x_{1}(t')+m_{2}x_{2}(t')}{m_{1}+m_{2}}}}$

Bundan dolayı, çarpışmadan önce ve çarpışmadan sonra kütle merkezinin hızı:

${\displaystyle \ v_{\bar {x}}={\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$, ve

${\displaystyle \ v_{\bar {x}}'={\frac {m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

${\displaystyle \ v_{\bar {x}}}$ çarpışmadan önceki toplam momentum ve ${\displaystyle \ v_{\bar {x}}'}$ çarpışmadan sonraki toplam momentum. Ve momentum korunur, ${\displaystyle \ v_{\bar {x}}=\ v_{\bar {x}}'}$.

Kütle merkezi ile ilgili olarak, her iki hız da çarpışmayla birlikte tersine çevrilir: farklı kütleli parçacıkların durumunda, ağır olan parçacık kütle merkezine doğru yavaşlayarak hareket eder ve geri sıçramalar aynı yavaş hızda olur ve hafif olan parçacık kütle merkezine doğru daha hızlı hareket eder ve geri sıçramalar aynı yüksek hızda olur.

Eğer cisimlerin kütleleri yaklaşık olarak aynıysa, ${\displaystyle \ v_{1}}$ ve ${\displaystyle \ v_{2}}$ yukarıda da gördüğümüz üzere ${\displaystyle \ u_{1}}$, ${\displaystyle \ v_{1}}$ değeri küçüktür: daha hafif olan cisime vurmak hızı çok değiştirmez, ama daha ağır olan cisime vurulduğunda yüksek hızda sıçrama yapan hızlanan cisime neden olur.

Bir nötron moderatörü (aşağı hızlı nötronları yavaşlatan bir ortam, böylece bir zincirleme reaksiyon sürdürme yeteneğine sahip termal nötronlar dönüştürerek) (kolayca nötron absorbe olmayan ek özelliği ile ) Işık çekirdekleri ile atomların bir malzeme dolu olmasının nedeni budur : hafif çekirdeklerde nötron aynı kütleye hakkında sahip.

Özel relativiteye göre,

${\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

p herhangi bir m kütleli, v hızlı parçacığın momentumudur. c ise ışık hızıdır.

Momentum çerçevesindeki merkezde toplam momentum sıfıra eşit olur.

${\displaystyle p_{1}=-p_{2}}$

${\displaystyle p_{1}^{2}=p_{2}^{2}}$

${\displaystyle {\sqrt {m_{1}^{2}c^{4}+p_{1}^{2}c^{2}}}+{\sqrt {m_{2}^{2}c^{4}+p_{2}^{2}c^{2}}}=E}$

${\displaystyle p_{1}=\pm {\frac {\sqrt {E^{4}-2E^{2}m_{1}^{2}c^{4}-2E^{2}m_{2}^{2}c^{4}+m_{1}^{4}c^{8}-2m_{1}^{2}m_{2}^{2}c^{8}+m_{2}^{4}c^{8}}}{cE}}}$

${\displaystyle u_{1}=-v_{1}}$

${\displaystyle m_{1}}$ ilk çarpışan cismin kütlesine karşılık gelir, ${\displaystyle m_{2}}$ ikinci çarpışan cismin kütlesine karşılık gelir, ${\displaystyle u_{1}}$ ilk çarpışan cismin ilk hızıdır, ${\displaystyle u_{2}}$ ikinci çarpışan cismin ilk hızıdır, ${\displaystyle v_{1}}$ çarpışmadan sonra ilk çarpışan cismin hızıdır, ${\displaystyle v_{2}}$ çarpışmadan sonra ikinci çarpışan cismin hızıdır, ${\displaystyle p_{1}}$ ilk çarpışan cismin momentumudur, ${\displaystyle p_{2}}$ ikinci çarpışan cismin momentumudur ve ${\displaystyle c}$ ışık hızı, ${\displaystyle E}$ ve sistemin toplam enerjisini belirtir. (örneğin, çarpışan cisimlerin kinetik enerjilerinin toplamı ve kütlelerinin toplamı).

Sistemin toplam enerjisi ve toplam momentumu korunur ve çarpışan cisimlerin geri kalan kütleleri değişmez, çarpışan cisimlerin momentumları çarpışan cisimlerin kütleleriyle, toplam enerji ve toplam momentumlarıyla doğru orantılıdır. Çarpışan cismin momentumunun büyüklüğü çarpışmadan sonra değişmez, ancak hareketinin yönü momentum merkezine göre ters yöndedir.

Klasik fizikteki çok parçacıklı ve yüksek boyutlu sistemler, klasik atomların bir araya gelmesiyle oluşacaklardır. Örneğin hava masası deneylerinde kullanılan diskler üç boyutlu cisimler olmalarına rağmen iki boyuta kısıtlanmış hareketlerinin incelenmesi söz konusu olduğundan iki boyutlu olarak ele alınabilmektedirler. Eğer deneyler yapılırken disklerin kendi simetri eksenleri etrafındaki olası dönmeler (spin hareketleri) engellenebilirse o zaman disklerin hareketleri sadece kütle – merkezlerinin hareketleri ile karakterize edilebileceğinden diskler noktasal parçacıklar olarak düşünülebilirler. Bu dönmelerin kaynakları elektromagnetik kökenli olan sürtünme kuvvetlerinin oluşturduğu torklardır. Hava masasının özelliği, katıların birbirlerine temas ederek hareket etmeleri sırasında var olan şiddetli kinetik sürtünme kuvvetlerini, bunların yanında ihmal edilebilecek büyüklüklere sahip hava sürtünmelerine indirgiyor olmasıdır. Ancak ihmal edilmelerine rağmen var olan bu sürtünme kuvvetlerinden kaynaklanabilecek dönmelerin oluşmaları durumunda deneysel hatalar artacaktır. Dönmelerin söz konusu olduğu (kapalı varsayılabilecek) esnek bir çarpışmada kinetik enerji korunacaktır ancak artık kinetik enerjinin hem öteleme hem de dönmeden kaynaklanan kısımları olacaktır. Klasik noktasal parçacıklar da çarpışırlarken birbirlerine temas etmeyebilirler, örnek olarak biri durgun diğeri de onunla etkileşecek şekilde hareket eden aynı elektrik yüküne sahip noktasal parçacıkların esnek saçılmaları incelenebilir. Böyle bir elektriksel sisteme eşdeğer mekaniksel bir sistem, sadece temas etmek suretiyle etkileştikleri varsayılan iki disk ve onların ötelemesel esnek çarpışmaları ile verilebilir. Klasik Mekanik sadece iyi bir yaklaşımdır. Klasik Mekanik makroskopik boyuttaki cisimlerle ve ışık hızından daha yavaş olan hızlarla uğraştığında bize daha kesin sonuçlar verir. Klasik limitin ötesindeyse, sonuçlar yanlış olur. Momentum merkezinde ve klasik mekaniğe göre, Esnek çarpışma yapan iki cisimli sistemin toplam momentumu momentum referans çerçevesine bağlıdır.

${\displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}={0}\,\!}$

${\displaystyle m_{1}u_{1}^{2}+m_{2}u_{2}^{2}=m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}\,\!}$

${\displaystyle {\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{2}}}={\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{2}}}\,\!}$

${\displaystyle (m_{1}+m_{2})(m_{2}u_{2})^{2}=(m_{1}+m_{2})(m_{2}v_{2})^{2}\,\!}$

${\displaystyle u_{2}=-v_{2}\,\!}$

${\displaystyle {\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{2}}}={\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{2}}}\,\!}$

${\displaystyle (m_{1}+m_{2})(m_{1}u_{1})^{2}=(m_{1}+m_{2})(m_{1}v_{1})^{2}\,\!}$

${\displaystyle u_{1}=-v_{1}\,\!}$

${\displaystyle u_{1}=-v_{1}}$

Diğer farklılıklara rağmen göreli hesaplamada doğru kalır. Özel Görelilik içinde önermelerden biri Fizik Kanunlarının tüm atalet çerçeveleri referansında değişmez olması gerektiğini belirtiyor.

Yani, toplam momentum belirli referans çerçevesinde korunursa, toplam momentumun miktarı çerçeveye bağlı olmasına rağmen toplam momentum herhangi bir referans çerçevesinde de korunur. Bu yüzden, bir çerçeveden diğer referans çerçevesine ya da diğerine dönüştürülerek, istenilen sonuçları almak mümkündür. Belli bir referans çerçevesinde, toplam momentum herhangi bir yerde olabilir,

${\displaystyle {\frac {m_{1}\;u_{1}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;u_{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}={\frac {m_{1}\;v_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;v_{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=p_{T}}$

${\displaystyle {\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}={\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=E}$

İkili şekilde hareket eden cisimlerin toplam momentumlarına baktığımızda ${\displaystyle p_{T}}$, toplam enerji ${\displaystyle E}$ ve hızı ${\displaystyle v_{c}}$ kütle merkezindeki hızı. Kütle merkezine bağlı olarak,toplam momentum sıfıra eşittir.Ve şu şekilde gösterilebilir ${\displaystyle v_{c}}$

${\displaystyle v_{c}={\frac {p_{T}c^{2}}{E}}}$

Ve şimdi de momentum merkezindeki çarpışmadan önceki hızlarına bakacak olursak eğer ${\displaystyle u_{1}'}$ ve ${\displaystyle u_{2}'}$

${\displaystyle u_{1}'={\frac {u_{1}-v_{c}}{1-{\frac {u_{1}v_{c}}{c^{2}}}}}}$

${\displaystyle u_{2}'={\frac {u_{2}-v_{c}}{1-{\frac {u_{2}v_{c}}{c^{2}}}}}}$

${\displaystyle v_{1}'=-u_{1}'}$

${\displaystyle v_{2}'=-u_{2}'}$

${\displaystyle v_{1}={\frac {v_{1}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{1}'v_{c}}{c^{2}}}}}}$

${\displaystyle v_{2}={\frac {v_{2}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{2}'v_{c}}{c^{2}}}}}}$

${\displaystyle u_{1}\ll c}$ and ${\displaystyle u_{2}\ll c}$,

${\displaystyle p_{T}}$ ≈ ${\displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}$

${\displaystyle v_{c}}$ ≈ ${\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

${\displaystyle u_{1}'}$ ≈ ${\displaystyle u_{1}-v_{c}}$ ≈ ${\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{1}-m_{1}u_{1}-m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{2}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}}$

${\displaystyle u_{2}'}$ ≈ ${\displaystyle {\frac {m_{1}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}}$

${\displaystyle v_{1}'}$ ≈ ${\displaystyle {\frac {m_{2}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}}$

${\displaystyle v_{2}'}$ ≈ ${\displaystyle {\frac {m_{1}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}}$

${\displaystyle v_{1}}$ ≈ ${\displaystyle v_{1}'+v_{c}}$ ≈ ${\displaystyle {\frac {m_{2}u_{2}-m_{2}u_{1}+m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

${\displaystyle v_{2}}$ ≈ ${\displaystyle {\frac {u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}}}$

Bu yüzden, çarpışan iki cismin hızı da ışık hızından (yani yaklaşık olarak 300 milyon m/s) çok çok çok düşük olduğunda, klasik hesaplama yöntemi için bu sonuçlar doğrudur.

Hızın parametresi olarak adlandırılan parametreden söz etmiştik ${\displaystyle s}$:

${\displaystyle v/c={\mbox{tanh}}(s)={\frac {e^{s}-e^{-s}}{e^{s}+e^{-s}}}}$

bundan dolayı şu formülü elde ederiz:

${\displaystyle e^{s}={\sqrt {\frac {c+v}{c-v}}}}$

Relativistik enerji ve momentum şu şekilde açıklanabilir:

${\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc^{2}{\mbox{cosh}}(s)}$

${\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc{\mbox{ sinh}}(s)}$

Çarpışan kütlelerin enerji toplamları için denklemler ve çarpışan kütlelerin momentum toplamları için denklemler ise şöyle ${\displaystyle {m_{1}}}$ ve ${\displaystyle {m_{2}}}$, (velocities${\displaystyle {v_{1}}}$, ${\displaystyle {v_{2}}}$, ${\displaystyle {u_{1}}}$,${\displaystyle {u_{2}}}$ hız parametresine bağlı olarak ${\displaystyle {s_{1}}}$, ${\displaystyle {s_{2}}}$, ${\displaystyle {s_{3}}}$, ${\displaystyle {s_{4}}}$), yeterli güce bölünmesinden sonra ${\displaystyle {c}}$ şu formüller elde edilecektir:

${\displaystyle m_{1}{\mbox{cosh}}(s_{1})+m_{2}{\mbox{cosh}}(s_{2})=m_{1}{\mbox{cosh}}(s_{3})+m_{2}{\mbox{cosh}}(s_{4})}$

${\displaystyle m_{1}{\mbox{sinh}}(s_{1})+m_{2}{\mbox{sinh}}(s_{2})=m_{1}{\mbox{sinh}}(s_{3})+m_{2}{\mbox{sinh}}(s_{4})}$

ve birbirine bağlı denklemler, yukarıdaki denklemin toplamı:

${\displaystyle m_{1}e^{s_{1}}+m_{2}e^{s_{2}}=m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}$

denklemin her iki tarafının karesinden de enerjiden momentum çıkarılır ve şu tanım kullanılır ${\displaystyle {\mbox{cosh}}^{2}(s)-{\mbox{sinh}}^{2}(s)=1}$ ve denklemleri basitleştirdikten sonra şu formülleri elde ederiz:

${\displaystyle 2m_{1}m_{2}({\mbox{cosh}}(s_{1}){\mbox{sinh}}(s_{2})-{\mbox{cosh}}(s_{2}){\mbox{sinh}}(s_{1}))=2m_{1}m_{2}({\mbox{cosh}}(s_{3}){\mbox{sinh}}(s_{4})-{\mbox{cosh}}(s_{4}){\mbox{sinh}}(s_{3}))}$

kütlesi sıfır olmayan cisimler için, şu formülleri elde ederiz:

${\displaystyle {\mbox{cosh}}(s_{1}-s_{2})={\mbox{cosh}}(s_{3}-s_{4})}$

${\displaystyle {\mbox{cosh}}(s)}$ fonksiyonu çifttir ve bu denklem için iki tane çözüm elde ederiz:

${\displaystyle s_{1}-s_{2}=s_{3}-s_{4}}$

${\displaystyle s_{1}-s_{2}=-s_{3}+s_{4}}$

son denklemden, bir değere sahip çözüm elde ederiz ve şunu çözeriz ${\displaystyle s_{2}}$ ve bağımlı denklemin yerine geçer ve şunu elde ederiz ${\displaystyle e^{s_{1}}}$ ve daha sonra da ${\displaystyle e^{s_{2}}}$, bu gelir:

${\displaystyle e^{s_{1}}=e^{s_{4}}{\frac {m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}{m_{1}e^{s_{4}}+m_{2}e^{s_{3}}}}}$

${\displaystyle e^{s_{2}}=e^{s_{3}}{\frac {m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}{m_{1}e^{s_{4}}+m_{2}e^{s_{3}}}}}$

Problemin çözümü bu şekilde, ama hız parametreleriyle açıklanır. Hız parametreleri için yer değiştirme formülleri uygulandığında

${\displaystyle v_{1}/c={\mbox{tanh}}(s_{1})={\frac {e^{s_{1}}-e^{-s_{1}}}{e^{s_{1}}+e^{-s_{1}}}}}$

${\displaystyle v_{2}/c={\mbox{tanh}}(s_{2})={\frac {e^{s_{2}}-e^{-s_{2}}}{e^{s_{2}}+e^{-s_{2}}}}}$

Bir önceki adım uygulandığında da bu formül elde edilir: ${\displaystyle e^{s_{3}}={\sqrt {\frac {c+u_{1}}{c-u_{1}}}}}$ ve ${\displaystyle e^{s_{4}}={\sqrt {\frac {c+u_{2}}{c-u_{2}}}}}$, uzunca bir dönüşüm formülü uyguladıktan sonra, yerine koyulan ile birlikte: ${\displaystyle Z={\sqrt {(1-u_{1}^{2}/c^{2})(1-u_{2}^{2}/c^{2})}}}$ Bu sonucu elde ederiz:

${\displaystyle v_{1}={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{2}Z+2m_{2}^{2}c^{2}u_{2}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})c^{2}u_{1}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{2}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}}$

${\displaystyle v_{2}={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{1}Z+2m_{1}^{2}c^{2}u_{1}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}^{2}u_{2}+(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})c^{2}u_{2}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{1}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})u_{1}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}}$

Bir - boyutlu esnek çarpışmaların dışındaki esnek çarpışmalarda sadece momentumun ve kinetik enerjinin korunumu çarpışma sonrası hızları belirlemeye yetmeyecektir. Mesela, iki – boyutlu esnek çarpışma durumunda iki parçacık için çarpışma sonrası iki hız ve her hızın iki bileşeni olduğundan dört tane bilinmeyen vardır. Bu dört bilinmeyen, momentumun korunumu nedeniyle iki ve kinetik enerjinin korunumu nedeniyle de bir toplam üç tane skaler denklem ile kısıtlanırlar, ancak son hızların bulunması için fazladan bir bilgiye ihtiyaç duyulmaktadır. Bu bilgiye deney ile ulaşılabilir ve çoğu zaman çarpışma sonrası parçacıklardan birinin ilerleme yönünün (probleme adapte edilmiş) eksenlerden biriyle yaptığı açı (saçılma açısı) bu bilgi için kullanılır.

İki boyutta iki çarpışan cisimlerin her durumunda, her cismin hızı için iki dikey hız bölünmesi gerekir : Bir teğet çarpışan cisimlerin sık görülen normal yüzeylerine temas noktasında, diğeri de bir çarpışma hattı boyunca . Çarpışma sadece çarpma hattı boyunca kuvvet oluşturduğu için, çarpışma noktasına teğet olan hızları değişmez. Çarpışma hattı boyunca hızlar da tek boyutlu bir çarpışma ile aynı denklemler de kullanılabilir. Son hızlar daha sonra iki yeni bileşen hızları hesaplanabilir ve çarpışma noktasına bağlıdır.

Herhangi bir zamanda momentum çerçevesinin merkezinde iki organlarının hızları kitlelere ters orantılı büyüklüklerde, ters yönlerde bulunmaktadır. Esnek çarpışmada bu büyüklükleri değişmez. Uzaklık cisimlerin şekil ve çarpma noktasına bağlı olarak değişebilir . Örneğin, küreler halinde açısı iki gövde merkezlerinin (paralel) yolları arasındaki uzaklığa bağlıdır . Yönü sıfır olmayan herhangi bir değişiklik mümkündür: Bu mesafe hızları çarpışma tersine sıfır ise ; kürelerin yarıçapları toplamı yakın ise iki cisim sadece biraz saptırılır.

İkinci parçacığın çarpışmadan önce hareketsiz olduğunu varsayarsak, iki parçacığın sapma açısı, ${\displaystyle \vartheta _{1}}$ and ${\displaystyle \vartheta _{2}}$, sapma açısıyla ilgili olarak ${\displaystyle \theta }$ sistemde kütle merkezi by^[1]

${\displaystyle \tan \vartheta _{1}={\frac {m_{2}\sin \theta }{m_{1}+m_{2}\cos \theta }},\qquad \vartheta _{2}={\frac {{\pi }-{\theta }}{2}}.}$

Çarpışmadan sonraki parçacıkların hızlarının büyüklükleri:

${\displaystyle v'_{1}=v_{1}{\frac {\sqrt {m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2m_{1}m_{2}\cos \theta }}{m_{1}+m_{2}}},\qquad v'_{2}=v_{1}{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\sin {\frac {\theta }{2}}.}$

İlk topun x ve y son hız bileşenleri şu şekilde hesaplanabilir :^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}v'_{1x}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\cos(\varphi )\\[0.2em]&\quad +v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\cos(\varphi +{\frac {\pi }{2}})\\[0.8em]v'_{1y}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\sin(\varphi )\\[0.2em]&\quad +v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\sin(\varphi +{\frac {\pi }{2}})\end{aligned}}}$

v₁ and v₂ cisimlerin orijinal hızlarının skalar boyutları, m₁ and m₂ are their masses, θ₁ and θ₂ ve hareket açıları, yani, ${\displaystyle v_{1x}=v_{1}\cos \theta _{1},\;v_{1y}=v_{1}\sin \theta _{1}}$ (aşağıdan sağa doğru hareket eden bir açı ya -45 ° ya da 315 ° açıdır) ve küçük phi (φ) bağlantı açısıdır. (İkinci topun x ve y hızlarını elde etmek için 1 ve 2 diye adlandırabiliriz.)

Bu denklem iki cisim arasındaki etkileşimi kolayca temas açısı paralel olacak şekilde x ve y ekseni ile tek boyutlu olarak hesaplanabilir ve ayrıca nesnelerin hızlarını da kolay bir şekilde hesaplamaya yarar, yani temas açısı boyunca hesaplanan türetilmiş bir büyüklüktür ve nesneler daha sonra gerçek x ve y bileşenlerini hızlarını almak için geri özgün yönüne döndürülür.

Bir serbest açı gösteriminde, değişen hızlar merkez kullanılarak hesaplanır x₁ ve x₂

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} '_{1}&=\mathbf {v} _{1}-{\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2},\,\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\rangle }{\|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\|^{2}}}\ (\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}),\\\mathbf {v} '_{2}&=\mathbf {v} _{2}-{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1},\,\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\rangle }{\|\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\|^{2}}}\ (\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1})\end{aligned}}}$

açılı ayraçlar iki vektörün iç çarpımını ve skaler çarpımını gösterirler.

• Çarpışmalar
• Esnek olmayan çarpışmalar
• İade katsayısı

• Rigid Body Collision Resolution in three dimensions 6 Ocak 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. including a derivation using the conservation laws
• VNE Rigid Body Collision Simulation27 Ekim 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Small Open Source 3D engine with easy-to-understand implementation of elastic collisions in C
• Visualize 2-D Collision 24 Aralık 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Free simulation of 2-particle collision with user-adjustable coefficient of restitution and particle velocities (Requires Adobe Shockwave)
• 2-Dimensional Elastic Collisions without Trigonometry 25 Aralık 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Explanation of how to calculate 2-dimensional elastic collisions using vectors
• Bouncescope 20 Şubat 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Free simulator of elastic collisions of dozens of user-configurable objects
• Managing ball vs ball collision with Flash 24 Aralık 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Flash script to manage elastic collisions among any number of spheres
• Elastic collision derivation 14 Şubat 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Elastic collision formula derivation if one of balls velocity is 0 19 Ocak 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.