Elementer matris

Doğrusal cebirde, bir birim matrisde yalnızca bir tane elementer satır işlem yapılarak elde edilen matrislere elementer matris denir. m boyutunda bir birim matrisin üzerinde e elementer satır işlemi yapılarak elde edilen elementer matris ${\displaystyle e(I_{m})}$ şeklinde gösterilir.

Üç çeşit elementer satır işlemi vardır:

Yer değiştirme

Matrisin iki satırdaki tüm elemanların yerlerini değiştirilmesi.

${\displaystyle R_{i}\leftrightarrow R_{j}}$

Çarpma

Matrisdeki bir satırın her elemanın, sıfır dışında bir katsayı ile çarpılması.

${\displaystyle kR_{i}\rightarrow R_{i},\ k\neq 0{\mbox{ iken}}}$

Toplama

Matrisdeki satırlardan birinin, bir katının diğer bir satıra eklenmesi.

${\displaystyle R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},i\neq j{\mbox{ iken}}}$

Her elementer matris tersinirdir ve

${\displaystyle (e(I_{m}))^{-1}=e^{-1}(I_{m})}$

yani ${\displaystyle e(I_{m})}$ elementer matrisinin tersini almak yerine, ${\displaystyle I_{m}}$ birim matrisi üzerinde ${\displaystyle e}$ elementer işlemini tersi uygulanabilir. Elementer işlemlerin tersi şöyle tanımlanmıştır:

Yer değiştirmenin tersi

${\displaystyle e:R_{i}\leftrightarrow R_{j}}$ ise

${\displaystyle e^{-1}:R_{j}\leftrightarrow R_{i}}$

Yani yer değiştirme işleminin tersi kendisine eşittir çünkü ${\displaystyle R_{i}}$ ve ${\displaystyle R_{j}}$ satırlarının yerini değiştirmek ile ${\displaystyle R_{j}}$ ve ${\displaystyle R_{i}}$ satırlarının yerini değiştirmek aynı şeye denk gelmektedir. Bundan dolayı da yer değiştirme işlemi uygulanarak elde edilen elementer matrislerin tersi kendilerine eşittir.

Çarpmanın tersi

${\displaystyle e:kR_{i}\rightarrow R_{i},\ k\neq 0{\mbox{ iken}}}$ ise

${\displaystyle e^{-1}:{\frac {1}{k}}R_{i}\rightarrow R_{i},\ k\neq 0{\mbox{ iken}}}$

Toplamanın tersi

${\displaystyle e:R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},i\neq j{\mbox{ iken}}}$ ise

${\displaystyle e^{-1}:R_{i}+(-k)R_{j}\rightarrow R_{i},i\neq j{\mbox{ iken}}}$

• Arif Sabuncuoğlu lineer cebir ders notları, Mat201, TOBB ETU