Elektromanyetizmanın eşdeğişim formülasyonu

Elektromanyetizma
Elektrik Manyetizma
Elektrostatik Elektriksel yük Statik elektrik Coulomb yasası Elektriksel alan Elektrik akısı Gauss yasası Elektriksel potansiyel enerji Elektrik potansiyeli Elektrostatik indüksiyon Elektrik çift kutup momenti Kutuplanma yoğunluğu
Magnetostatik Ampère yasası Elektrik akımı Manyetik alan Mıknatıslanma Manyetik akı Biot-savart yasası Manyetik moment Manyetizma için Gauss yasası
Elektrodinamik Lorentz kuvveti Elektromotor kuvvet Elektromanyetik indüksiyon Faraday yasası Lenz yasası Yer değiştirme akımı Maxwell denklemleri EM alan Elektromanyetik radyasyon Maxwell tensörü Poynting vektörü Liénard-Wiechert potansiyelleri Jefimenko denklemleri Eddy akımı
Elektrik devresi Direnç Kapasite İndüktans Empedans Dalga rehberi
Bilim adamları Ampère Coulomb Faraday Gauss Heaviside Henry Hertz Lorentz Maxwell Tesla Volta Weber Ørsted

Klasik manyetizmanın eşdeğişimli formülasyonu klasik elektromanyetizma kanunlarının(özellikle de, Maxwell denklemlerini ve Lorentz kuvvetinin) Lorentz dönüşümlerine göre açıkça varyanslarının olmadığı, rektilineer eylemsiz koordinat sistemleri kullanılarak özel görelilik disiplini çerçevesinde yazılma sekillerini ima eder. Bu ifadeler hem klasik elektromanyetizma kanunlarının herhangi bir eylemsiz koordinat sisteminde aynı formu aldıklarını kanıtlamakta kolaylık sağlar hem de alanların ve kuvvetlerin bir referans sisteminden başka bir referans sistemine uyarlanması için bir yol sağlar. Bununla birlikte, bu Maxwell denklemlerinin uzay ve zamanda bükülmesi ya da rektilineer olmayan koordinat sistemleri kadar genel değildir.

Bu makalede tensörlerin uzaysal birleşenleri için (vektörler de dahil) SI birimleri kullanılmıştır, tensörlerin klasik kullanımı ve geleneksel Einstein toplamı ve Minkowski metriği (+1, −1, −1, −1) şeklindedir. Denklemlerin vakum koşullarına göre özelleştirildiği yerde, onlara Maxwell denklemlerinin toplam yük ve akım cinsinden formülasyonu olarak bakılabilir.

Arka plan bilgi maksadıyla, elektromanyetizmaya direkt olarak bağlı olmayan, fakat bu makalenin anlaşılması için yararlı olacak dört boyutlu vektörden üçünü sunuyoruz:

• Metre cinsinden, "pozisyon" yahut "koordinat" dört boyutlu vektörü

${\displaystyle x^{\alpha }=(ct,x,y,z)\,.}$

• Metre·saniye⁻¹ cinsinden, hız dört boyutlu vektörü (başka bir deyişle dört boyutlu hız vektörü)

${\displaystyle u^{\alpha }=\gamma (c,\mathbf {u} )\,}$

γ(u) 'nin Lorentz çarpanı olduğu yerde üç boyutlu hız vektörü u 'dur.

• kilogram·metre·saniye⁻¹ cinsinden, bir parçacığın dört boyutlu momentum vektörü (başka bir deyişle momentum dört boyutlu vektörü)

${\displaystyle p_{\alpha }=(E/c,-\mathbf {p} )=mu_{\alpha }\,}$

p üç boyutlu momentum olduğu yerde, E kinetik enerjidir, vem parçacığın durgun kütlesidir.

• metre⁻¹ cinsinden the dört boyutlu eğim

${\displaystyle \partial ^{\nu }={\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-\mathbf {\nabla } \right)\,,}$

• Metre cinsinden⁻² d'Alembertian operatörü: ${\displaystyle \Box }$ şeklinde gösterilir.

Sıralanan tensör analizlerindeki işaretler tensörler için geleneksel bir kullanımdır. Buradaki geleneksel kullanım Minkowski tensörüne tekabül eden +--- kullanımıdır:

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}\,}$

Elektro manyetik tensör manyetik ve elektrik alanların bir eşdeğişimli antisimetrikmetrik tensörün içindeki kombinasyonudur. volt·saniye·metre⁻² cinsinden, alan kuvvet tensörü alanlar cinsinden şu şekilde yazılır:^[1]

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)\,}$

ve dizinlerinin yükseltilmesinin sonucu

${\displaystyle F^{\mu \nu }\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,\eta ^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,\eta ^{\beta \nu }=\left({\begin{matrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)\,.}$ 'dur.

E 'nin enerjiyi gösterdiği yerde elektrik alan, B 'dir ve c ışık hızıdır.

dört boyutlu akım vektörü elektrik akım yoğunluğu J ile elektrik yük yoğunluğunu ρ birleştiren kontravaryant dört boyutlu vektörüdür. amper·metre⁻² cinsinden,

${\displaystyle J^{\alpha }=\,(c\rho ,\mathbf {J} )\,}$

şeklinde gösterilir.

volt·saniye·metre⁻¹ cinsinden, elektromanyetik dört boyutlu potansiyel bir eşdeğişimli dört boyutlu vektördür ve elektriksel potansiyeli (başka bir deyişle skaler potansiyel) φ ve manyetik vektör potansiyeli (başka bir deyişle vektör potansiyeli) A içerir ve şu şekilde formüle edilir:

${\displaystyle A_{\alpha }=\left(\phi /c,-\mathbf {A} \right)\,}$

Elektromanyetik alanla elektromanyetik ilişki arasındaki ilişki bu denklemle gösterilir:

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,}$

The elektromanyetik gerilim–enerji tensörü dört boyutlu mometum vektörünün akısı (yoğunluğu) olarak düşünülebilir ve elektromanyetik alanların toplam gerilim–enerji tensörüne katkısı olan bir kontravaryant si tensördür. joule·metre⁻³ cinsinden şu şekilde gösterilir

${\displaystyle T^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}\epsilon _{0}E^{2}/2+B^{2}/2\mu _{0}&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{pmatrix}}\,}$

ε0 vakumlu ortamın elektrik geçirgenliği olduğu yerde, μ0 da vakumlu ortamın manyetik geçirgenliğidir, Poynting vectorü watt·metre−2  cinsinden

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }$ 'dir.

ve Maxwell gerilim tensörü in joule·metre⁻³ cinsinden şu şekilde gösterilir

${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-\left({\frac {1}{2}}\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}\,.}$

The elektromanyetik alan tensörü F elektromanyetik gerilim–enerji tensörünü T aşağıdaki formülle oluşturur:

${\displaystyle T^{\alpha \beta }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\eta _{\gamma \nu }F^{\alpha \gamma }F^{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\alpha \beta }F_{\gamma \nu }F^{\gamma \nu }\right)}$

η'nin Minkowski metrik tensörü olduğunu düşünürsek. Fark edilmesi gereken önemli bir nokta ise burada Maxwell denklemleri tarafından tahmin edilen

${\displaystyle \epsilon _{0}\mu _{0}c^{2}=1\,}$

ilişkisini kullandığımızdır.

Vkum koşullarında (yahut mikroskopik denklemler için, makroskopik materyal tanımlarını içermeyen) Maxwell denklemleri iki tensör denklemi olarak yazılabilir.

İki homojen olmayan Maxwell denklemi, Gauss yasası ve Amper yasası (Maxwell denklemlerinin düzeltmeleriyle) (+--- metriği ile) birleştiler :^[2]

Şablon:Equation box 1

homojen denklemler – Faraday'ın indüksiyon yasası ve Gauss'un manyetizma yasaları şunları oluşturmak için birleşirken:

Şablon:Equation box 1

F^αβ 'nin elektromanyetik tensör olduğu yerde, J^α dört boyutlu akımdır, ε^αβγδ Levi-Civita sembolüdür ve indeksler geleneksel Einstein toplamına göre davranır.

İlk tensör denklemi β'nin her değeri için bir tane olmak üzere dört skaler denkleme karsılık gelir. İkinci tensör denklemi aslında 4³ = 64 farklı skaler denkleme karşılık gelir, fakat yalnızca dördü birbirinden bağımsızdır. elektromanyetik alanın antisimetrikmetrisini kullanarak hem bir tanımlamayı indirgenebilir (0 = 0) hem de λ, μ, ν = bunlardan herhangi biri 1,2,3 or 2,3,0 or 3,0,1 or 0,1,2 haricindeki tüm gereksiz denklemleri eleyebiliriz.

Kısmi türev için antisimetrikmetrik tensör notasyonunu ve virgül notasyonunu kullanarak f (Ricci kalkülüsüne bakın), daha uygun ikinci bir denklem şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}=0}$

Kaynakların yetersizliğinde, Maxwell denklemleri suna indirgenir:

${\displaystyle \partial ^{\nu }\partial _{\nu }F^{\alpha \beta }\,\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \,\Box F^{\alpha \beta }\,\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over c^{2}}{\partial ^{2}F^{\alpha \beta } \over {\partial t}^{2}}-\nabla ^{2}F^{\alpha \beta }=0\,,}$

ve bu da alan kuvvet tensöründe yer alan elektromanyetik dalga denklemidir.

Lorenz ölçü koşulları Lorentz varyanssız ölçü koşullarıdır. (Bu diğer ölçü koşullarıyla karşılaştırılabilir Coulomb ölçü koşulları gibi; eğer bir eylemsiz referans sisteminde tutarsa genel olarak diğer eylemsiz referans sistemlerinde de tutar.)dört boyutlu potansiyel çinsinden aşağıdaki gibi gösterilir:

${\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=\partial ^{\alpha }A_{\alpha }=0\,.}$

Lorenz ölçülerinde, mikroskopik Maxwell denklemleri şu şekilde gösterilir:

${\displaystyle \Box A^{\sigma }=\mu _{0}\,J^{\sigma }\,}$

qyüklü hareket eden ve anlık hızı v olan bir parçacık üstündeki

. The electric alan E ve manyetik alan B uzay ve zamanda değişir.

Lorentz kuvvetine göre elektromanyetik (EM) alan elektrik yüklü maddelerin hareketini etkiler.bu yolla, elektromanyetik alanlar tespit edilebilir (parçacık fiziğindeki uygulamalar ile ve doğal oluşumları ile Auroralarda olduğu gibi). Rölativistik formda, newton cinsinden Lorentz kuvvet alan kuvvet tensörünü şu şekilde kullanır.^[3]

Koordinat zamanı cinsinden ifade edilmiş t 'nin saniye cinsinden ölçüldüğü gösterim:

${\displaystyle {dp_{\alpha } \over {dt}}=q\,F_{\alpha \beta }\,{\frac {dx^{\beta }}{dt}}\,}$

pα 'nin yukarıda görüldüğü gibi dört boyutlu momentum olduğu koşulda, q coulomb cinsinden elktrik yüküdür, vexβ metre cinsinden pozisyonu ifade eder.

Hareketli referans sisteminde, bu alanlar dört kuvvet olarak adlandırılır

${\displaystyle {\frac {dp_{\alpha }}{d\tau }}\,=q\,F_{\alpha \beta }\,u^{\beta }}$

Yukarıda görüldüğü gibi uβ 'nun dört boyutlu hız olduğu yerde ve τ 'nin parçacığın koordinat zamanıyla dt = γdτ bağıntısıyla bağlandığı zamanıdır.

Sürekli bir ortamda, üç boyutlu kuvvet yoğunluğu eşdeğişimli dört boyutlu vektörü oluşturmak için güç yoğunluğuyla birleşir, f_μ. Uzaysal kısım küçük hücreler (üç boyutlu uzayda) üstündeki kuvvetin hücrenin hacmiyle bölünmesinin sonucudur. Zaman bileşeni 1/c çarpı hücreye transfer edilen güçün hücrenin hacmine bölümüdür. Lorentz kuvvetinin yoğunluğu elektromanyetizmadan kaynaklanan kuvvet yoğunluğunun bir parçasıdır. Uzaysal bölümü şöyledir

${\displaystyle -\mathbf {f} =-(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\,}$.

Açıkça eşdeğişimli notasyonu şu şekle gelir:

${\displaystyle f_{\alpha }=F_{\alpha \beta }J^{\beta }.\!}$

Lorent kuvveti ve elektromanyetik enerji-gerilim tensörü arasındaki ilişki şöyledir

${\displaystyle f^{\alpha }=-{T^{\alpha \beta }}_{,\beta }\equiv -{\frac {\partial T^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}.}$

Devamlılık denklemi:

${\displaystyle {J^{\alpha }}_{,\alpha }\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,\partial _{\alpha }J^{\alpha }\,=\,0\,.}$

toplam yükün korunumunu açıklar.

Maxwell denklemlerini kullanarak, sıradaki elektromanyetik tensörü ve dört boyutlu akım vektörünü ilişkilendiren diferansiyel denklemi sağlayan gerilim–enerji tensörlerini görebilir (yukarıda tanımlandığı gibi)

${\displaystyle {T^{\alpha \beta }}_{,\beta }+F^{\alpha \beta }J_{\beta }=0}$

yahut

${\displaystyle \eta _{\alpha \nu }{T^{\nu \beta }}_{,\beta }+F_{\alpha \beta }J^{\beta }=0,}$

Bu da lineer momentumun ve enerjini elektromanyetik etkileşimlerde korunduğunu ifade eder.

Burada verilen elektromanyetizma denklemlerini çözmek için, elektrik akımının nasıl hesaplandığıyla ilgili ek bilgiye ihtiyaç vardır, J^ν Çoğunlukla, akımı farklı denklemlerle modellenen iki parçaya ayırmak gelenekselleşmiştir, serbest akım ve bağlı akım;

${\displaystyle J^{\nu }={J^{\nu }}_{\text{free}}+{J^{\nu }}_{\text{bound}}\,,}$

olduğu zaman

${\displaystyle {J^{\nu }}_{\text{free}}=(c\rho _{\text{free}},\mathbf {J} _{\text{free}})=\left(c\nabla \cdot \mathbf {D} ,-\ {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {H} \right)\,,}$

${\displaystyle {J^{\nu }}_{\text{bound}}=(c\rho _{\text{bound}},\mathbf {J} _{\text{bound}})=\left(-\ c\nabla \cdot \mathbf {P} ,{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {M} \right)\,.}$

Maxwell's makroskopik denklemleri kullanılmıştır, ek olarak elektriksel yerdeğiştirmenin D (coloumb·metre⁻¹ cinsinden) tanımları the definitions of the electric displacement ve manyetik şiddet H (amper·metre⁻¹ cinsinden):

${\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \,}$

${\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} -\mathbf {M} \,.}$

M manyetizasyon (ampere·metre⁻² cinsinden) veP electriksel polarizasyon (coulomb·metre⁻² cinsinden) olduğu.

Bağılı akım antikontravaryant manyetizasyon-polarizasyon tensörü (amper·metre²) oluşturan P veM alanlarından türetilmiştir ^[1]

${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&P_{x}c&P_{y}c&P_{z}c\\-P_{x}c&0&-M_{z}&M_{y}\\-P_{y}c&M_{z}&0&-M_{x}\\-P_{z}c&-M_{y}&M_{x}&0\end{pmatrix}},}$

ve bağlı akım su sekilde belirlenir

${\displaystyle {J^{\nu }}_{\text{bound}}=\partial _{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu \nu }\,.}$

Eğer elektriksel yerdeğiştirme tensörü F^μν birleşirse D veH alanlarını aşağıda olduğu gibi birleştiren antisimetrikmetrik kontravaryant elektromanyetik yerdeğiştirme tensörü elde edilir (amper·metre⁻¹ cinsinden) :

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-D_{x}c&-D_{y}c&-D_{z}c\\D_{x}c&0&-H_{z}&H_{y}\\D_{y}c&H_{z}&0&-H_{x}\\D_{z}c&-H_{y}&H_{x}&0\end{pmatrix}}.}$

Üç alan tensörü şu şekilde ilişkilendirilmiştir:

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}F^{\mu \nu }-{\mathcal {M}}^{\mu \nu }\,}$

Bu da D veH alanlarının yukarıda verilen tanımlarına denktir.

Sonuç Amper yasası,

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\text{free}}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$,

ve Gauss's yasası,

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{free}}}$,

bir denklemde birleştirirsek:

Şablon:Equation box 1

The bound current vefree current as defined above are automatically veseparately conserved

${\displaystyle \partial _{\nu }{J^{\nu }}_{\text{bound}}=0\,}$

${\displaystyle \partial _{\nu }{J^{\nu }}_{\text{free}}=0\,.}$

Vakumlu bir ortamda alan ve yerdeğiştirme tensörleri arasındaki geleneksel ilişki şöyledir:

${\displaystyle \mu _{0}{\mathcal {D}}^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \alpha }F_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu }\,.}$

Antisimetri 16 denklemi sadece 6 bağımsız denkleme indirger. Çünkü F^μν ifadesini

${\displaystyle F^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \alpha }F_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu }\,}$ ile ifade etmek gelenekseldir.

Vakum koşullarında geleneksel denklemler Gauss-Ampère yasasıyla birleştirildiğinde şu sonuç açığa çıkar:

${\displaystyle \partial _{\beta }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\alpha }.\!}$

Elektromanyetik gerilim–enerji tensörü yerdeğiştirme cinsinden:

${\displaystyle T_{\alpha }^{\pi }=F_{\alpha \beta }{\mathcal {D}}^{\pi \beta }-{\frac {1}{4}}\delta _{\alpha }^{\pi }F_{\mu \nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }}$

δ_α^π Kronecker delta olduğu yerde. Üst indeks η ile düşürüldüğü zaman, simetrik olur ve yerçekimi alanı kaynağının bir parçası olur.

Böylece akımı modelleme işini ikiye indirdik, J^ν daha kolay modeller — serbest akımı modellemek, J^ν_free ve manyetizasyonla polarizasyonu, ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu }}$. Örnek olarak, düşük frekanslı en basit malzemelerden anlık hareketli referans sisteminde yer alan bir tanesi buna sahip;

${\displaystyle \mathbf {J} _{\text{free}}=\sigma \mathbf {E} \,}$

${\displaystyle \mathbf {P} =\epsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} \,}$

${\displaystyle \mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} \,}$

σ onun elektrik iletkenliği, χe onun elektrik hassalığı ve χm onun manyetik hassaslığıdır.

${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ve F tensörleri arasındaki geleneksel ilişki, Hermann Minkowski tarafından lineer malzemeler için ortaya konmuştur  (yani, E ile D doğru orantılı veB de H ile doğru orantılı),:[4]

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }u_{\nu }=c^{2}\epsilon F^{\mu \nu }u_{\nu }}$

${\displaystyle {\star {\mathcal {D}}^{\mu \nu }}u_{\nu }={\frac {1}{\mu }}{\star F^{\mu \nu }}u_{\nu }}$

u 'nun maddenin dört boyutlu hızı olduğu yerde, ε ve μ maddenin geçirgenliğidir

(i.e. in rest frame of material), ${\displaystyle \star }$ vedenotes the Hodge dual.

Klasik elektrodinamik için Lagrangia (Lagrangian yoğunluğu) (joule·metre⁻³ cinsinden) şöyledir;

${\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,{\mathcal {L}}_{\mathrm {alan} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-A_{\alpha }J^{\alpha }\,.}$

Etkileşim cinsinden, dört boyutlu akım diğer yüklü alanların elektrik akımlarını kendi değişkenleri cinsinden ifade eden pek çok terimin kısaltılması olarak anlasılmalıdır, dört boyutlu akımın kendisi temel bir alan değildir.

Elektromanyetik Lagrangian yoğunluğu için Euler–Lagrange denklemi ${\displaystyle {\mathcal {L}}(A_{\alpha },\partial _{\beta }A_{\alpha })\,}$ ilerleyen basamaklarda olduğu gibi gösterilebilir:

${\displaystyle \partial _{\beta }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\beta }A_{\alpha })}}\right]-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\alpha }}}=0\,.}$

Not

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\,}$,

kare parantezlerin içindeki ifade

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\beta }A_{\alpha })}}&=-\ {\frac {1}{4\mu _{0}}}\ {\frac {\partial (F_{\mu \nu }\eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma }F_{\lambda \sigma })}{\partial (\partial _{\beta }A_{\alpha })}}\\&=-\ {\frac {1}{4\mu _{0}}}\ \eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma }\left(F_{\lambda \sigma }(\delta _{\mu }^{\beta }\delta _{\nu }^{\alpha }-\delta _{\nu }^{\beta }\delta _{\mu }^{\alpha })+F_{\mu \nu }(\delta _{\lambda }^{\beta }\delta _{\sigma }^{\alpha }-\delta _{\sigma }^{\beta }\delta _{\lambda }^{\alpha })\right)\\&=-\ {\frac {F^{\beta \alpha }}{\mu _{0}}}\,.\end{aligned}}}$

İkinci terim

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\alpha }}}=-J^{\alpha }\,.}$

Bununla birlikte, hareketin elektromanyetik alan denklemi budur;

${\displaystyle {\frac {\partial F^{\beta \alpha }}{\partial x^{\beta }}}=\mu _{0}J^{\alpha }\,.}$

Görüldüğü üzere bu da yukarıdaki Maxwell denklemlerinden bir tanesidir.

Serbest akımları bağlı akımlardan ayırmak, başka bir deyişle Lagrangian yoğunluğunu yazmanın bir başka yolu aşağıdaki gibidir:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-A_{\alpha }J_{\text{free}}^{\alpha }+{\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }{\mathcal {M}}^{\alpha \beta }\,.}$

Euler–Lagrange denklemini kullanarak, hareket denklemleri için ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }}$ ifadesi türetilebilir.

Rölativistik olmayan vektör notasyonunda denk ifade

${\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}-{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\phi \,\rho _{\text{free}}+\mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\text{free}}+\mathbf {E} \cdot \mathbf {P} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {M} \,.}$

• Relativistic electromagnetism
• elektromanyetik wave equation
• Liénard–Wiechert potential for a charge in arbitrary motion
• Nonhomogeneous elektromanyetik wave equation
• Moving magnet veconductor problem
• elektromanyetik tensör
• Proca action
• Stueckelberg action
• Quantum electrodynamics
• Wheeler–Feynman absorber theory

• Einstein, A. (1961). Relativity: The Special veGeneral Theory. New York: Crown. ISBN 0-517-02961-8. 
• Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0. KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi (link)
• Landau, L. D. veLifshitz, E. M. (1975). Classical Theory of alans (Fourth Revised English Edition). Oxford: Pergamon. ISBN 0-08-018176-7. KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi (link)
• R. P. Feynman, F. B. Moringo, veW. G. Wagner (1995). Feynman Lectures on Gravitation. Addison-Wesley. ISBN 0-201-62734-5. KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi (link)