İçeriğe atla

Eş iç teğet çemberler teoremi

Mavi çemberler eşitse, yeşil çemberler de eşittir.

Geometride, eş iç teğet çemberler teoremi bir Japon Sangaku'sundan türetilir ve aşağıdaki yapıya ilişkindir: belirli bir noktadan belirli bir çizgiye bir dizi ışın çizilir, öyle ki bitişik ışınlar ve taban çizgisi tarafından oluşturulan üçgenlerin iç teğet çemberleri eşittir. Çizimde eş mavi çemberler, açıklandığı gibi ışınlar arasındaki mesafeyi tanımlar.

Açıklama

Teorem, (herhangi bir ışından başlayarak) her diğer ışın, her üçüncü ışın vb. ve taban doğrusu tarafından oluşturulan üçgenlerin iç teğet çemberlerinin de eşit olduğunu belirtir. Her diğer ışın durumu yukarıda hepsi eşit olan yeşil çemberlerle gösterilmiştir.

Teoremin ilk ışının açısına bağlı olmadığı gerçeğinden yola çıkarak, teoremin geometriden ziyade doğru bir şekilde analize ait olduğu ve ışınların aralığını tanımlayan sürekli bir ölçekleme fonksiyonu ile ilgili olması gerektiği görülebilir. Aslında bu fonksiyon, hiperbolik sinüstür.

Teorem, aşağıdaki yardımcı teoremin (lemmanın) doğrudan bir sonucudur:

n inci ışının, taban çizgisinin normali ile bir açısı yaptığını varsayalım. Eğer denkleme göre parametrelendirilirse,, sonra da değerleri elde edilir, burada ve , eş iç teğet çemberlerin koşulunu sağlayan bir ışın dizisi tanımlayan gerçek sabitlerdir ve ayrıca koşulu sağlayan herhangi bir ışın dizisi ve sabitlerinin uygun şekilde seçimi ile üretilebilir.

Yarımcı teoremin kanıtı

Şekilde, ve doğruları, taban çizgisine dik olan doğrusu ile ve açılarını oluşturan bitişik ışınlardır.

doğrusu, taban çizgisine paraleldir ve üçgeninin, ışınlara ve noktalarında teğet olan, iç teğet çemberinin merkezi olan 'dan geçer. Ayrıca, çizgisinin uzunluğu ve doğrusunun uzunluğu da iç teğet çemberin yarıçapı 'dir.

Sonra ve benzerliklerinden ve 'den aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

Bu ilişki bir dizi açı üzerinde,, eş iç teğet çemberlerin durumunu ifade eder.

Yardımcı teoremi kanıtlamak için ifadesinden elde edilir.

kullanılarak ve için toplam formüllerini uygulanırsa, eş iç teğet çemberlerin aşağıdaki ilişkiyi sağladığı doğrulanır:

Bu, parametresi için geometrik ölçüler, ve türünden bir ifade verir. 'nin bu tanımıyla daha sonra üçgenlerin kenarları olarak her n inci ışını alınarak oluşturulan iç teğet çemberlerin yarıçapları için bir ifade elde ederiz;

Ayrıca bakınız

  • Hiperbolik fonksiyon
  • Çember içindeki çokgenler için Japon teoremi
  • Kirişler dörtgeni için Japon teoremi
  • Çemberlere teğet doğrular

Kaynakça

Dış bağlantılar

Konuyla ilgili yayınlar

  • Drei, Angela. (2011). Equal Incircles Theorem, Angela Drei's Proof.
  • Jean-Louis AYME, (2011), Equal Incircles Theorem, First Synthetic Proof or More on Incircles - A New Adventure, Makale 25 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Üçgen</span> üçgen düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimi

Bir üçgen düzlemde birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimidir. Üçgene müselles ve üçbucak da denir.

<span class="mw-page-title-main">Isı transferi</span> Isıl enerjinin fiziksel sistemlerde taşınımı

Isı aktarımı, sıcaklıkları farklı iki veya daha fazla nesne arasında iletim, taşınım ya da ışınım yoluyla gerçekleşen enerji aktarımının incelenmesidir. Bu transferin matematiksel olarak modellenmesi ısı aktarımı dersinin temel konusunu oluşturur. Termodinamik, akışkanlar mekaniği ve malzeme ile ilişkilidir.

<span class="mw-page-title-main">Gama fonksiyonu</span>

Gama fonksiyonu, matematikte faktöriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve tam sayı olmayan reel sayılar için genellenmesi olan bir fonksiyondur. Г simgesiyle gösterilir.

<span class="mw-page-title-main">Trigonometrik fonksiyonlar</span>

Trigonometrik fonksiyonlar, matematikte bir açının işlevi olarak geçen fonksiyonlardır. Geometride üçgenleri incelerken ve periyodik olarak tekrarlanan olayları incelerken sıklıkla kullanılırlar. Genel olarak bir açısı belirli dik üçgenlerde herhangi iki kenarın oranı olarak belirtilirler, ancak birim çemberdeki belirli doğru parçalarının uzunlukları olarak da tanımlanabilirler. Daha çağdaş tanımlarda sonsuz seriler veya belirli bir türevsel denklemin çözümü olarak geçerler.

Aşağıdaki liste hiperbolik fonksiyonların integrallerini içermektedir. İntegral fonksiyonlarının tüm bir listesi için lütfen İntegral tablosu sayfasına bakınız.

<span class="mw-page-title-main">Açıortay</span>

Açıortay, geometride bir açıyı iki eşit açı şeklinde bölen yapıdır. Bir açıya teğet tüm çemberler çizilerek merkezleri birleştirilirse, o açının açıortayı elde edilir. Bu nedenle açıortaylardan açının kollarına indirilen dikmeler, o çemberlerden birinin merkezinden teğetlere inilen yarıçap dikmeleri olacağından, dikmeler birbirine eşit olur. Her iki kolda oluşan üçgenler de birbirine eşit olacağından, dikmelerin açıortay kollarını kestiği noktalar ile açının bulunduğu köşeye olan uzaklıklar eşit olur.

<span class="mw-page-title-main">Çizgi integrali</span>

Matematikte bir çizgi integrali, integrali alınan fonksiyonun bir eğri boyunca değerlendirildiği integraldir. Çeşitli farklı çizgi integralleri kullanılmaktadır. Kapalı eğrinin kullanıldığı durumlarda integrale kontür integrali denildiği de olmaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Hiperbolik fonksiyon</span>

Matematikte, hiperbolik fonksiyonlar sıradan trigonometrik fonksiyonların analogudur. Temel hiperbolik fonksiyonlar hiperbolik sinüs "sinh", hiperbolik kosinüs "cosh", bunlardan türetilen hiperbolik tanjant "tanh" ve benzer fonksiyonlardır. Ters hiperbolik fonksiyonlar alan hiperbolik sinüsü "arsinh" ve benzeri fonksiyonlardır.

Fizikte, Lorentz dönüşümü adını Hollandalı fizikçi Hendrik Lorentz'den almıştır. Lorentz ve diğerlerinin referans çerçevesinden bağımsız ışık hızının nasıl gözlemleneceğini açıklama ve elektromanyetizma yasalarının simetrisini anlama girişimlerinin sonucudur. Lorentz dönüşümü, özel görelilik ile uyum içerisindedir. Ancak özel görelilikten daha önce ortaya atılmıştır.

Lorentz faktörü veya Lorentz terimi bir cismin herhangi bir hıza sahip olmadığı durumla bir hıza sahip olması sırasında kütle, zaman ve uzay ölçümlerinde oluşacak ölçüm farklılıklarını açıklayan niceliktir. Lorentz faktörü, referans çerçeveleri arasında dönüşüm yapılabilmesini sağlayan Lorentz dönüşümünden doğar. Faktör, Lorentz elektrodinamiği içindeki erken görünümü yüzünden Hollandalı fizikçi Hendrik Lorentz adına ithaf edilmiştir.

<span class="mw-page-title-main">Birim hiperbol</span>

Geometride, Kartezyen düzleminde formülünü sağlayan (x,y) noktalar kümesine birim hiperbol denir. Belirsiz dikey gruplar çalışmasında, birim hiperbol bir alternatif radial uzunluk için bir temel oluşturur.

<span class="mw-page-title-main">Açıortay teoremi</span> Bir üçgeni bölen iki parçanın göreli uzunlukları hakkında

Geometride açıortay teoremi, bir üçgenin kenarının karşı açıyı ikiye bölen bir çizgiyle bölündüğü iki parçanın göreli uzunluklarıyla ilgilidir. Göreli uzunluklarını, üçgenin diğer iki kenarının göreli uzunluklarına eşitler.

Carnot teoremi, bir üçgenin iç teğet çemberi ve çevrel çemberinin yarıçaplarının uzunlukları ile çevrel çemberin merkezinden üçgenin üç kenarına olan mesafelerin toplamı arasındaki ilişkiyi göstermektedir. Fransız matematikçi Lazare Nicolas Marguerite Carnot tarafından bulunmuştur.

<span class="mw-page-title-main">Euler teoremi (geometri)</span>

Geometride, Euler teoremi, üçgenin çevrel çemberinin merkezi ve iç teğet çemberinin merkezi arasındaki uzunluğunun aşağıdaki şekilde ifade edildiğini belirtir:

<span class="mw-page-title-main">Feuerbach noktası</span>

Üçgen geometrisinde, üçgenin iç çemberi ve dokuz nokta çemberi, üçgenin Feuerbach noktasında birbirine içten teğettir. Feuerbach noktası bir üçgen merkezidir, yani tanımı üçgenin yerleşimine ve ölçeğine bağlı değildir. Clark Kimberling'in Üçgen Merkezleri Ansiklopedisi'nde X(11) olarak listelenmiştir ve adını Alman geometrici Karl Wilhelm Feuerbach'tan almıştır.

<span class="mw-page-title-main">Çift merkezli dörtgen</span>

Öklid geometrisinde, bir çift merkezli dörtgen, hem bir iç teğet çembere hem de çevrel çembere sahip olan bir dışbükey (konveks) dörtgendir. Bu çemberlerin çevreleri, yarıçapları ve merkezlerine sırasıyla iç çap (inradius) ve çevrel çap (circumradius), iç merkez (incenter) ve çevrel merkez (circumcenter) denir. Tanımdan, çift merkezli dörtgenlerin hem teğetler dörtgeninin hem de kirişler dörtgeninin tüm özelliklerine sahip olduğu anlaşılmaktadır. Bu dörtgenler için diğer isimler kiriş-teğet dörtgeni ve iç teğet ve dış teğet dörtgenidir. Ayrıca nadiren çift çemberli dörtgen ve çift işaretlenmiş dörtgen olarak adlandırılmıştır.

<span class="mw-page-title-main">Köşeli yuvarlak</span> yuvarlak şeklinin çeşidi

Köşeli yuvarlak, kare ve daire arasındaki bir ara şekildir. Kullanımda olan en az iki "Köşeli yuvarlak" tanımı vardır ve bunların en yaygını süper elipse dayanmaktadır. Köşeli yuvarlaklar tasarım ve optikte uygulanmıştır.

Trigonometride, trigonometrik özdeşlikler trigonometrik fonksiyonları içeren ve eşitliğin her iki tarafının da tanımlandığı değişkenlerin her değeri için doğru olan eşitliklerdir. Geometrik olarak, bunlar bir veya daha fazla açının belirli fonksiyonlarını içeren özdeşliklerdir. Bunlar üçgen özdeşliklerinden farklıdır, bunlar potansiyel olarak açıları içeren ama aynı zamanda kenar uzunluklarını veya bir üçgenin diğer uzunluklarını da içeren özdeşliklerdir.

<span class="mw-page-title-main">Kotanjant teoremi</span> Matematikte trigonometri ile ilgili bir teorem

Trigonometride, kotanjant teoremi veya kotanjantlar yasası, bir üçgenin kenar uzunlukları ile üç iç açısının yarılarının kotanjantları arasındaki ilişkidir.

Adını Fransız matematikçi Joseph Diez Gergonne'dan alan Gergonne noktası, bir üçgenin iç kısmındaki ayırt edici bir noktadır.