İçeriğe atla

Durgunluk noktası

Durgun noktalar, grafikdeki kırmızı noktalardır. Bu grafikteki, tüm noktalar ya göreceli maxima ya da göreceli minnimadır.

Matematikte, genellikle kalkülüste, durgunluk noktası ya da değişim noktası, bir tek değişkenli diferansiyellenebilir bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu noktadır (bir diğer deyişle fonksiyonun eğiminin sıfır olduğu noktadır). Öyle bir noktadır ki fonksiyon azalmayı ve artmayı bırakır o noktada. Birden çok değişkenli fonksiyonlar için durgunluk noktası fonksiyonun, tüm kısmi türevlerinin sıfır olduğu noktadır (bir diğer deyişle "gradyan"'nın sıfır olduğu noktadır).

Durgun noktalar, tek değişkenli fonksiyonların grafiklerinde kolayca gözlenebilirler. Bu noktalar x eksenine paralel olan noktalardır, grafikte. İki değişkenli fonksiyonlar için, durgunluk noktası, hem x hem de y eksenlerine paralel olan noktalardır.

Durgunluk noktaları, kritik noktalar and dönüm noktaları

Durgunluk noktası terimi, kritik noktası terimiyle karıştırılabilinir, bir fonksiyonun grafiğinin izdüşümü için. Kritik noktalar daha geneldir, durgunluk noktalarına göre. Bir fonksiyonun durgunluk noktası, x eksine olan izdüşümüne için grafiğinin kritik noktası denk gelir. Gel gelelim, y eksesine olan izdüşümü için bir grafiğin kritik noktası, o fonksiyonunun türevini tanımlı olmadığı yerlerdir (daha kesin olarak, sonsuza giden kısımlardır). Bu yüzden bazı yazarlar kritik noktalara herhangi bir izdüşüm için bakarlar.

Dönüm noktaları, fonksiyonun türevinin işaret değiştirdiği noktalardır. Dönüm noktaları hem göreceli maxima hem de göreceli minima olabilirler(ayrıca, yerel maximum ve yerel minimum, diye de bilinirler). Eğer fonksiyon diferansiyellenebilirse, o zaman dönüm noktaları durgunluk noktalarıdır, aynı zamanda; buna rağmen her durgunluk noktası, bir dönüm noktası değildir. Eğer fonksiyon iki kez diferansiyellenebilirse, o zaman dönüm noktası olmayan durgunluk noktaları yatay bükülme noktalarıdır. Örnek olarak, fonksiyonunun x=0 da bir durgunluk noktası vardır, ayrıca bir büküm noktasıdır ama dönüm noktası değildir.

Sınıflandırma

gerçel değerli fonksiyonun yalıtık durgunluk noktası, 4 kısımda sınıflandırıldı, ilk türev testini kullanarak.

Boyun noktaları (rastlantısal dönüm ve büküm noktaları). Bu grafikte biri azalıyor diğeri artıyor.
  • yerel minimum (minimum dönüm noktası veya göreceli minimum), eğer fonksiyonun türevi negatiften pozitife değişiyorsa;
  • yerel maximum (maksimum dönüm noktası veya göreceli maximum) eğer fonksiyonun türevi pozitiften negatife değişiyorsa;
  • yükselen büküm noktası (veya büküm) eğer fonksiyonun türevi her iki tarafta da pozitifse;
  • azalan büküm noktası (or inflexion) eğer fonksiyonun türevi her iki tarafta da negatifse.

Eğer bir nokta ya yerel minimum ya da yerel maksimumsa, bu noktaya yerel ekstremum denir. Benzer şekilde, eğer bir nokta ya mutlak maksimum ya da mutlak minimumsa, bu noktaya mutlak ekstremum denir. Fermant'ın teorisini kullanarak, mutlak ekstremum, sınırda ya da durgunluk noktasında ortaya çıkmalı.[1] ( fonksiyonu için)

Eğri çizimi

Pozisyonu ve durgunluk noktasının doğasını belirlemek diferansiyallenebilir fonksiyonların eğrilerini çizmede yardımcı olur. f'(x) = 0 denklemini çözerek x koordinatlarının tüm durgunluk noktalarını bulabiliriz. Durgunluk noktasının özül doğası, x noktasındaki, bazı durumlarda ikinci dereceden türevine .f''(x) çalışarak belirlenebilir:

  • Eğer f''(x) < 0 ise x'teki durgunluk noktası aşağı doğru içbükey ve maksimal ekstremumdur.
  • Eğer f''(x) > 0 ise x'^teki durgunluk noktası yukarı doğru içbükey ve minimal ekstremumdur.
  • Eğer f''(x) = 0 ise durgunluk noktasının doğası, başka yollarla bulunmak zorundadır. Örnek olarak, bazı noktalardaki işaret değişimine bakarak.

Durgunluk noktasını belirlemek için daha açık bir diğer yöntem de, fonksiyonun durgunluk noktaları arasındaki değerlerine bakarak yapılabilinir, eğer fonksiyon tanımlı ve devamlı ise durgunluk noktaları arasında.

Dönüm noktasının basit bir örneği için f(x) = x3 fonksiyonunu değerlendirebiliriz. Fonksiyonun sıfır noktasında açıkça bir içbükeylik var ve bunu yüksek matematiği kullanarak ispatlayabiliriz. Fonksiyonun ikinci türevi, her yerin devamlı olduğu, 6x ve x = 0 noktasında, f′′ = 0 ve bu noktada işaret değişiyor. Bu yüzden, x=0 noktası dönüm noktasıdır.

Daha genel olarak, gerçel değerli fonksiyonun durgunluk noktası f: Rn → R, ilk türevinin sıfır olduğu x0 noktalarının aynı zamanda gradyanlarıda sıfırdır.

Örnekler

f(x) = x4 fonksiyonu için, f'(0) = 0 ve f''(0) = 0 yazabiliriz. f''(0) = 0 olduğu halde, bu nokta dönüm noktası değildir, f'(x) noktasının negatiften pozitife değişiminden dolayı.

f(x) = sin(x) fonksiyonu için, f'(0) ≠ 0 ve f''(0) = 0 yazabiliriz. Bu durgunluk noktası değildir, ama dönüm noktasıdır. İçbükeylik, aşağı doğru içbükeylikten yukarı doğru içbükeyliğe değiştiğinden ve f'(x)'nın işareti değişmediğinden; pozitif kaldığından, dolayı durgunluk değil dönüm noktasıdır.

f(x) = x3 fonksiyonu için f'(0) = 0 ve f''(0) = 0 yazabiliriz. Bu nokta hem durgunluk hem de dönüm noktasıdır. İçbükeylik, aşağı doğru içbükeylikten yukarı doğru içbükeyliğe değiştiğinden ve f'(x)'nın işareti değişmediğinden; pozitif kaldığından, dolayı durgunluk değil dönüm noktasıdır.

Ayrıca bakınız

Optimizasyon

Kaynakça

  1. ^ Abbott, Stephen, 1964- (2001). Understanding analysis. New York: Springer. ISBN 978-1-4419-2866-5. OCLC 666929763. 

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Türev</span> Fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimini hesaplama tekniğidir.

Matematikte türev, bir fonksiyonun tanımlı olduğu herhangi bir noktada değişim yönünü veya hızını veren temel bir kavramdır. Tek değişkenli bir fonksiyonun tanım kümesinin belli bir noktasında türevi, fonksiyonun grafiğine bu noktada karşılık gelen değerde çizilen teğet doğrunun eğimidir. Teğet doğru, tanım kümesinin bu noktasında fonksiyonun en iyi doğrusal yaklaşımıdır. Bu nedenle türev genellikle anlık değişim oranı ya da daha açık bir ifadeyle, bağımlı değişkendeki anlık değişimin bağımsız değişkendeki anlık değişime oranı olarak tanımlanır. Bir fonksiyonun türevini teorik olarak bulmaya türev alma denilir. Eğer bir fonksiyonun tanım kümesindeki her değerinde hesaplanan türev değerlerini veren başka bir fonksiyon varsa, bu fonksiyona eldeki fonksiyonun türevi denir.

<span class="mw-page-title-main">Taylor serisi</span>

Taylor serisi matematikte, bir fonksiyonun, o fonksiyonun terimlerinin tek bir noktadaki türev değerlerinden hesaplanan sonsuz toplamı şeklinde yazılması şeklindeki gösterimi/açılımıdır. Adını İngiliz matematikçi Brook Taylor'dan almıştır. Eğer seri sıfır merkezli ise, Taylor serisi daha basit bir biçime girer ve bu özel seriye İskoç matematikçi Colin Maclaurin'e istinaden Maclaurin serisi denir. Bir serinin terimlerinden sonlu bir sayı kadarını kullanmak, bu seriyi bir fonksiyona yakınsamak için genel bir yöntemdir. Taylor serisi, Taylor polinomunun limiti olarak da görülebilir.

<span class="mw-page-title-main">Kalkülüs</span>

Başlangıçta sonsuz küçük hesap veya "sonsuz küçüklerin hesabı" olarak adlandırılan kalkülüs, geometrinin şekillerle çalışması ve cebirin aritmetik işlemlerin genellemelerinin incelenmesi gibi, kalkülüs sürekli değişimin matematiksel çalışmasıdır.

<span class="mw-page-title-main">Doğrusal denklem</span>

Doğrusal ya da lineer denklem terimlerinin her biri ya birinci dereceden değişken ya da bir sabit olan denklemlerdir. Böyle denklemlere "doğrusal" denmesinin nedeni içerdikleri terim ve değişkenlerin sayısına bağlı olarak (n) düzlemde ya da uzayda bir doğru belirtmesindendir. Doğrusal denklemlerin en yaygını bir ve değişkeni içeren aşağıdaki formdur:

<span class="mw-page-title-main">Karmaşık analiz</span>

Karmaşık analiz ya da başka bir deyişle kompleks analiz, bir karmaşık değişkenli fonksiyonları araştıran bir matematik dalıdır. Bir değişkenli karmaşık analize ya da çok değişkenli karmaşık analizle beraber tümüne karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi de denilir.

<span class="mw-page-title-main">Harmonik fonksiyon</span>

Matematiğin matematiksel fizik alanında ve rassal süreçler teorisinde bir harmonik fonksiyon, Rn'nin U gibi açık bir kümesi üzerinde f : U → R şeklinde tanımlı, Laplace denklemini, yani

<span class="mw-page-title-main">Kutup (karmaşık analiz)</span>

Karmaşık analizde kutup ya da doğru bir söylemle bir meromorf fonksiyonun kutbu, 1/zn 'nin z = 0 noktasındaki tekilliği gibi davranan matematiksel bir tekilliktir. Bu özellikle şu anlama gelir: Bir f(z) fonksiyonun z = a noktasındaki kutbu, z noktası a noktasına yaklaştıkça f(z)'yi sonsuza düzgün bir şekilde yaklaştıran noktadır.

<span class="mw-page-title-main">Karmaşık düzlem</span>

Matematikte karmaşık düzlem, gerçel eksen ve ona dik olan sanal eksen tarafından oluşturulmuş, karmaşık sayıların geometrik bir gösterimidir. Karmaşık sayının gerçel kısmının x-ekseni boyuncaki yer değiştirmeyle, sanal kısmının ise y-eksenindeki yer değiştirmeyle temsil edildiği değiştirilmiş bir Kartezyen düzlem olarak düşünülebilir.

<span class="mw-page-title-main">Açıkorur gönderim</span>

Matematikte açıkorur gönderim ya da açıkorur dönüşüm tanımlı olduğu kümenin her noktasında yerel olarak açıları koruyan bir fonksiyona verilen addır. Bu tanımı haliyle, açıkorur gönderimlerin her zaman uzunlukları koruması ya da yönleri koruması beklenmez.

More teorisi, diferansiyel topolojide, türevlenebilir çokkatlıların topolojisini anlamaya yönelik kuram. Amerikali matematikçi Marston Morse tarafından 1930'larda geliştirilmiştir. Raoul Bott, Stephen Smale, John Milnor ve Edward Witten'ın kuramın köklerine doğrudan katkılarıyla türevli topolojide standart bir yönteme dönüşmüştür.

Matematikte, birkaç fonksiyon ya da fonksiyon gruplarının kendi isimleri yeterli öneme layıktır. Bu makaleler fonksiyonları açıklamak için olan daha ayrıntılı olarak gösteren bir listedir. İstatistik dışı ve matematiksel fizik gelişmeleri sonucu özel fonksiyonlar büyük bir teori olmuştur. Modern bir, soyut incelik fonksiyon uzayıları geniş karşılaştırma görünümü, sonsuz-boyutlu ve 'isimsiz' fonksiyonlar içindeki ve simetri ya da ilişki harmonik analiz ve grup temsilileri gibi özellikler ile özel fonksiyonlar ile seçilmiştir.

Fonksiyonlar, sahip oldukları özelliklere göre sınıflandırılabilir.

<span class="mw-page-title-main">Eğim</span>

Matematikte bir doğrunun eğimi ya da gradyanı o doğrunun dikliğini, eğimliliğini belirtir. Daha büyük eğim, daha dik bir doğru demektir.

Matematikte bir fonksiyonun limiti, kalkülüs ve analizde kullanılan bir temel kavramdır ve belirli bir girişe yaklaşan bir fonksiyonun davranışı ile ilgilidir.

<span class="mw-page-title-main">Lagrange çarpanı</span>

Optimizasyon yaparken, Lagrange çarpanı methodu, bir fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarını bulmak için kullanılan bir yöntemdir.

<span class="mw-page-title-main">Sayısal türev</span>

Sayısal analizde, fonksiyonun değerleri veya fonksiyon hakkında bilinen diğer bilgiler kullanılarak bir matematiksel fonksiyonun türevinin hesaplanmasında kullanılan algoritmalara sayısal türev denir.

Holomorf fonksiyonlar karmaşık analizin temel çalışma araçlarından biridir. Bu fonksiyonlar karmaşık düzlemin yani C'nin açık bir altkümesinde tanımlı, bu altkümedeki her noktada karmaşık anlamda türevli ve aldığı değerler yine C içinde olan fonksiyonlardır.

<span class="mw-page-title-main">Newton metodu</span>

Sayısal analizde, Newton-Raphson yöntemi olarak da bilinen ve adını Isaac Newton ve Joseph Raphson'dan alan Newton metodu, gerçel değerli bir fonksiyonun köklerine art arda daha iyi yaklaşımlar üreten bir kök bulma algoritmasıdır. En temel versiyonu, tek bir gerçek değişkenli x için tanımlı olan f fonksiyonu, fonksiyonun türevi f ′ ve f 'in bir kökü için bir x0 başlangıç tahmini ile başlar. Fonksiyon yeterli ön kabulleri karşılıyorsa ve ilk tahmin yakınsa, o zaman

Matematiğin bir alt dalı olan çok değişkenli karmaşık analizde Hartogs teoremi, birden fazla karmaşık değişkenle tanımlı holomorf fonksiyonların her bir karmaşık değişkene göre ayrı ayrı holomorf olmasının fonksiyonun sürekli olduğunu verdiğini ifade eden bir sonuçtur. Başka bir deyişle, eğer her için değişkeninde holomorf ise, sürekli bir fonksiyondur. Teorem, Friedrich Hartogs'un adını taşımaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Rolle teoremi</span> reel türevlenebilir bir fonksiyonun iki eşit değeri arasındaki durağan noktalar üzerine bir reel analiz teoremi

Kalkülüste, Rolle teoremi veya Rolle lemması temel olarak, iki farklı noktada eşit değerlere sahip herhangi bir gerçel değerli türevlenebilir fonksiyonun, aralarında bir yerde, teğet doğrusunun eğiminin sıfır olduğu en az bir noktaya sahip olması gerektiğini belirtir. Böyle bir nokta, durağan nokta olarak bilinir. Bu nokta, fonksiyonun birinci türevinin sıfır olduğu noktadır. Teorem adını Michel Rolle'den almıştır.


Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.