Doléans-Dade üsteli

Matematiğin bir alt dalı olan stokastik süreçlerde Doléans-Dade üsteli, Doléans üsteli ya da stokastik üstel, matematiksel analizin üstel fonksiyonuna stokastik süreçlerde karşılık gelen bir kavramdır. Bu kavram adını Fransız asıllı Amerikalı matematikçi Catherine Doléans-Dade'den almaktadır.^[1]

Stokastik üstel kavramı stokastik diferansiyel denklemlerin açık çözümlerini yazarken karşımıza çıkar. Girsanov teoreminin formülasyonunda da önemli bir yer tutar. Bu bağlamda en temel sorulardan birisi stokastik üstelin ne zaman martingal olacağıdır. Finansal matematik modellerinin çoğu stokastik üstel olan süreçleri barındırmaktadır. Bunlardan önemli olan bir tanesi de Black-Scholes modelindeki geometrik Brown hareketidir.

Üstel fonksiyon ${\displaystyle u(t)=\mathrm {e} ^{t}}$ diferansiyel denklemler bağlamında iki şartla biricik olarak belirlenir:

${\displaystyle u'(t)=u(t)}$ ve ${\displaystyle u(0)=1}$.

Daha genel durum ise zincir kuralı kullanılarak halledilebilir; diğer deyişle, ${\displaystyle u(t)=\mathrm {e} ^{x(t)-x(0)}}$ fonksiyonu

${\displaystyle u'(t)=u(t)x'(t)}$ ve ${\displaystyle u(0)=1}$

şartlarıyla biricik olarak belirlenir.

Bu mekanizmayı stokastik diferansiyel denklemlere kolaylıkla taşımak mümkün değildir. Buradaki ilk zorluk, zincir kuralının yerini alan ve süreçlerin kuadratik değişirliğini (varyasyon) göz önüne almak zorunda olan Itō formülüdür. Örneğin, ${\displaystyle W_{t}}$ standart Wiener süreciyse ve ${\displaystyle U_{t}=u(W_{t})=\mathrm {e} ^{W_{t}}}$ alınırsa, o zaman Itō formülü kullanılarak

${\displaystyle \mathrm {d} U_{t}=\mathrm {e} ^{W_{t}}\,\mathrm {d} W_{t}+{\frac {1}{2}}\mathrm {e} ^{W_{t}}\,\mathrm {d} t=U_{t}\left(\mathrm {d} W_{t}+{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} t\right)}$

elde edilir. Bu diferansiyel denklemde ek olarak gelen ${\displaystyle dt}$ teriminden kaçınmak için üstel fonksiyonun biraz değiştirilmiş (bir başka deyişle düzeltilmiş) hali kullanılır. Eğer, ${\displaystyle U_{t}=\mathrm {e} ^{W_{t}-{\frac {1}{2}}t}}$ alınırsa ve Itō formülü kullanılırsa ${\displaystyle \mathrm {d} U_{t}=U_{t}\,\mathrm {d} W_{t}}$ elde edilir. Bunlara ek olarak, ${\displaystyle U_{t}}$ süreci ${\displaystyle W_{t}}$ gibi bir martingal olur.

${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}}}$ bir yarı martingal olsun. ${\displaystyle U_{t-}}$, ${\displaystyle U}$ sürecinin ${\displaystyle t}$ noktasında soldan limiti olmak üzere, $${\displaystyle dU_{t}=U_{t-}\,dX_{t},\quad \quad U_{0}=1,}$$ stokastik diferansiyel denkleminin biricik güçlü çözümü olan ${\displaystyle U=(U_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}}}$ yarı martingaline, ${\displaystyle X}$ sürecinin Doléans-Dade üsteli, Doléans üsteli ya da stokastik üsteli denir ve ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$ ile gösterilir. Yani, ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}:=U_{t}}$. Aynı çözüm Itō integral temsili ile

${\displaystyle U_{t}=1+\int _{0}^{t}U_{s-}\,\mathrm {d} X_{s}}$

olarak gösterilir.

• ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}}}$ sürekli yarı martingal ve ${\displaystyle [X,X]}$ de ${\displaystyle X}$'in kuadratik değişirliği olursa, o zaman

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}=\mathrm {e} ^{X_{t}-X_{0}-{\frac {1}{2}}[X,X]_{t}}}$

olur. Gerçekten de, ${\displaystyle U}$'nun yarı martingal, sürekli ve kati bir şekilde pozitif olduğunu kabul edelim. O zaman, Itō formülünü ${\displaystyle f(U)=\log(U)}$ üstüne uygularsak

${\displaystyle {\begin{aligned}\log(U_{t})-\log(U_{0})&=\int _{0}^{t}{\frac {1}{U_{s}}}\,dU_{s}-\int _{0}^{t}{\frac {1}{2U_{s}^{2}}}\,d[U]_{s}=X_{t}-X_{0}-{\frac {1}{2}}[X,X]_{t}\end{aligned}}}$

elde ederiz. Here iki tarafın üstel fonksiyonunu alırsak ve ${\displaystyle U_{0}=1}$ olduğunu göz önünde tutarsak,

${\displaystyle U_{t}=e^{X_{t}-X_{0}-{\frac {1}{2}}[X,X]_{t}},\qquad t\geq 0.}$

• ${\displaystyle X}$ Brown hareketi ise, o zaman stokastik üstel geometrik Brown hareketi olur.
• Genel durumda ise ${\displaystyle X}$'in sıçrama yaptığı noktalar göz önüne alınmalıdır. Yani, eğer ${\displaystyle X}$ sadece yarı martingalse ve sıçrama süreci ${\displaystyle \Delta X_{s}=X_{s}-X_{s-}}$ olarak alınırsa,

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}=\mathrm {e} ^{X_{t}-X_{0}-{\frac {1}{2}}[X,X]_{t}}\prod _{s\leq t}(1+\Delta X_{s})\mathrm {e} ^{-\Delta X_{s}+{\frac {1}{2}}(\Delta X_{s})^{2}}}$

olur.

• Üstel fonksiyonun fonksiyonel eşitliği olan ${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}}$ ifadesine karşılık stokastik üstelde ${\displaystyle (X)_{t},(Y)_{t}}$ yarı martingal olmak üzere

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}{\mathcal {E}}(Y)_{t}={\mathcal {E}}(X+Y+[X,Y])_{t}}$

ifadesi vardır. Bu formüle Fransız matematikçi Marc Yor'a atfen Yor formülü adı verilir.^[2]

• Stokastik üstel sürekli olarak sıfıra gidemez, sadece sıfıra sıçrayabilir. Bu nedenle, sürekli bir yarı martingalin stokastik üstel değeri her zaman kesinlikle pozitiftir.
• Stokastik üstel ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$ sıfıra bir kere sıçradığında burada yani sıfır değerinde absorbe edilir. Sıfıra ilk sıçradığı zaman ise tam olarak ${\displaystyle \Delta X=-1}$ olduğu zamandır.
• ${\displaystyle X}$'in sadece ${\displaystyle t}$ zamanındaki değerine bağlı olan doğal üstel fonksiyon ${\displaystyle e^{X_{t}}}$'nin davranışının aksine, ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}}$ sadece ${\displaystyle X_{t}}$'ye bağlı olmakla kalmaz. Dahası, ${\displaystyle X}$'in ${\displaystyle [0,t]}$ zaman aralığındaki bütün geçmiş değerlerine bağlıdır. Bu yüzden, ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}}$ yazılmalıdır; yani, ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X_{t})}$ doğru bir notasyon değildir.
• Bir yerel martingalin stokastik üsteli yine bir yerel martingaldir.
• Yukarıdaki tüm formüller ve özellikler, karmaşık değerli bir ${\displaystyle X}$'in stokastik üsteline de uygulanır. Bu uygulamanın, konform martingaller teorisinde ve karakteristik fonksiyonların hesaplanmasında uygulamaları vardır.

Girsanov teoremi