Doğuran çekirdekli Hilbert uzayı

Matematiğin bir alt dalı olan fonksiyonel analizde, doğuran çekirdekli Hilbert uzayı noktasal değerlemenin bir sürekli doğrusal fonksiyonel olduğu bir fonksiyonlar Hilbert uzayıdır. Burada, fonksiyonlar Hilbert uzayından kasıt, bahsi geçen uzayın öğelerinin fonksiyonlar olduğudur. Yani söz konusu uzay bir fonksiyon uzayıdır; bununla birlikte aynı zamanda Hilbert uzayı özelliği de taşımaktadır. Benzer bir şekilde, bu tür uzaylar doğuran çekirdekler tarafından da tanımlanabilirler. Bu terimi ilk defa ve aynı zamanda Nachman Aronszajn (1907–1980) ve Stefan Bergman (1895–1977) adlı matematikçiler 1950'de ortaya atıp geliştirmişlerdir.

Her ne kadar bazı gerçel Hilbert uzaylarının doğuran çekirdekli olma özelliği olsa da, bu tür uzaylara verilebilecek örneklerin birçoğu analitik fonksiyon uzaylarından gelmektedir. Bu sebeple, analitik fonksiyonların karmaşık değerli fonksiyonlar olduğunu da göz önüne alarak, Hilbert uzaylarının değişkenlerinin karmaşık sayı olduğunu kabul edelim.

Doğuran çekirdekli Hilbert uzaylarının önemli bir altkümesi yine bu tür uzayların sürekli bir çekirdekle ilintili olanlarıdır. Bu uzayların karmaşık analiz, kuantum mekaniği ve harmonik analizi de içerecek şekilde geniş bir uygulaması mevcuttur.

X herhangi bir küme, H de X üzerinde tanımlı ve karmaşık değerleri olan fonksiyonların bir Hilbert uzayı olsun. X 'teki herhangi bir x için bir

${\displaystyle L_{x}:H\mapsto \mathbb {C} }$

fonksiyonunu ${\displaystyle L_{x}(f)=f(x)}$ olacak şekilde tanımlayalım. Her x için bu fonksiyon doğrusal ve sürekli ise o zaman H'ye doğuran çekirdekli Hilbert uzayı denilir.

Verilen bu özellikler Riesz temsil teoremi'nin önkoşullarına uymaktadır. Bu yüzden, X 'teki her x için H 'de biricik K_x fonksiyonu vardır ve K_x

${\displaystyle f(x)=\langle f,\ K_{x}\rangle \quad \forall f\in H\quad (*)}$

özelliğini sağlamaktadır. K_x fonksiyonuna x noktasındaki nokta-değerleme fonksiyoneli adı verilmektedir.

H öğeleri fonksiyon olan bir Hilbert uzayı ve K_x de H 'nin bir öğesi olduğu için, K_x fonksiyonu X 'in her noktasında tanımlıdır. Bu yüzden yeni bir ${\displaystyle K:X\times X\to \mathbb {C} }$ fonksiyonunu

${\displaystyle K(x,y):=\ {\overline {K_{x}(y)}}}$

olacak şekilde tanımlayabiliriz. Bu K fonksiyonuna Hilbert uzayı olan H 'nin doğuran çekirdeği adı verilir. Riesz temsil teoremi'nin, X 'teki her x için yukarıda (*) ile gösterilen eşitliği sağlayan bir K_x öğesinin biricik olduğunu göstermesi, bize K fonksiyonunun tamamen H tarafından belirlendiğini vermektedir.

X sonlu bir küme ise ve H de bu küme üzerinde tanımlı ve karmaşık-değerli tüm fonksiyonların uzayı ise, o zaman H 'nin herhangi bir elemanı karmaşık sayıların sonlu bir dizisi şeklinde temsil edilebilir. Eğer karmaşık sayılar üzerindeki iç çarpım kullanılırsa, o zaman K_x fonksiyonu x noktasındaki değeri 1 ve X 'in geri kalan noktalarındaki 0 olan bir fonksiyondur. Bu sebeple, K(x,y) fonksiyonu birim matris olarak düşünülebilir. Çünkü, x=y olduğunda K(x,y)=1, diğer durumda, yani x 'in y 'ye eşit olmadığı durumda ise K(x,y)=0 olacaktır. Eğer X 'in eleman sayısı n ise, bu durumda H ve ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ eşyapılıdır (izomorftur).

Daha karışık bir örnek olarak ise birim daire D üzerinde tanımlı, karesi toplanabilir holomorf fonksiyonların uzayı olan Hardy uzayı verilebilir. (Hardy uzayı H²(D) ile gösterilir.) Yani bu örnekte, X=D olmaktadır. H²(D) 'nin doğuran çekirdeğinin tanımlardan yola çıkılarak

${\displaystyle K(x,y)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{(1-x{\overline {y}})^{2}}}}$

olduğu gösterilebilir. Bu çekirdek, Stefan Bergman'ın adıyla anılan Bergman çekirdeği'nin de bir örneğidir.

Yukarıda özelliklerden yola çıkılarak

${\displaystyle K(x,y)\;=\;{\overline {K_{x}(y)}}\;=\;\langle K_{y},K_{x}\rangle }$

eşitliği gösterilebilir. Eğer bulunan bu eşitlikte x ve y eşit alınırsa, iç çarpımın tanımından dolayı

${\displaystyle K(x,x)\;=\;\langle K_{x},K_{x}\rangle \;\geq \;0,\quad \forall x\in X}$

elde edilir. Buradan ivedilikle çıkarılacak bir diğer sonuç ise şudur:

${\displaystyle K_{x}\;=\;0\quad {\text{ ancak ve ancak }}\quad f(x)=0\quad \forall \;f\in H.}$

${\displaystyle \textstyle \left\{\phi _{k}\right\}_{k=1}^{\infty }}$ gerdiği kümenin kapanışı H 'ye eşit olan birimdik bir dizi ise, o zaman

${\displaystyle K\left(x,y\right)=\sum _{k=1}^{\infty }\phi _{k}\left(x\right){\overline {\phi _{k}\left(y\right)}}}$

eşitliği elde edilir.

Daha önce doğuran çekirdekli bir Hilbert uzayı vasıtasıyla bir çekirdek fonksiyonunu tanımlamıştık. Bu vesileyle, iç çarpımın özelliğinden yola çıkılarak tanımlanan bu çekirdeğin simetrik ve pozitif tanımlı çekirdek olduğu da elde edilebilir. Bunun tersini ise Moore Aronszajn teoremi vermektedir. Yani, her simetrik, pozitif tanımlı çekirdek doğuran çekirdekli tek bir (biricik) Hilbert uzayını tanımlamaktadır.

Bu teorem, Aronszajn her ne kadar E. H. Moore'a atfetse de ilk defa kendisinin Theory of Reproducing Kernels(Doğuran Çekirdekler Kuramı) adlı eserinde belirtilmiştir.

TeoremK, bir E kümesi üzerinde tanımlı, simetrik ve aynı zamanda da pozitif tanımlı bir çekirdek olsun. O zaman, E üzerinde bir fonksiyon uzayı olan ve K 'nin doğuran çekirdek olduğu tek bir Hilbert uzayı vardır.

Kanıt. E 'deki her x için bir ${\displaystyle K_{x}=K(x,\cdot )}$ tanımlayalım. ${\displaystyle \{K_{x}:\ x\in E\}}$ kümesinin doğrusal geren kümesini ise H₀ ile gösterelim. H₀ üzerinde bir iç çarpımı ise şu şekilde tanımlayalım:

${\displaystyle \left\langle \sum _{j=1}^{n}b_{j}K_{y_{j}},\sum _{i=1}^{m}a_{i}K_{x_{i}}\right\rangle =\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}{\overline {a_{i}}}b_{j}K(y_{j},x_{i}).}$

K 'nin simetrik olmasından, bu iç çarpımın da simetrik olduğunu gösterebiliriz. K 'nin pozitif tanımlı bir çekirdek olmasını ise iç çarpımın negatif olmadığını ve 0 değerini ancak "0" fonksiyonu için aldığını gösterebiliriz.

H₀ 'ın bu iç çarpım altındaki kapanışını ise H ile gösterelim. O zaman, H

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}K_{x_{i}}(x)}$

şeklinde yazılabilen ve aynı zamanda ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}^{2}K(x_{i},x_{i})<\infty }$ koşulunu sağlayan fonksiyonlardan oluşur. Üstteki toplamın her x için yakınsadığı Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden gelmektedir.

(*) eşitliğini gösterebilirsek H gerçekten doğuran çekirdekli bir Hilbert uzayı olacaktır. Yukarıdaki gibi bir ${\displaystyle f\in H}$ alalım. O zaman,

${\displaystyle \langle f,K_{x}\rangle =\left\langle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}K_{x_{i}},K_{x}\right\rangle =\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}K(x_{i},x)=f(x)}$

olur ve ıstediğimizi elde ederiz. Geriye kalan ise bu uzayın teoremde verilen özellikte olan tek bir uzay olduğunu göstermek. Eğer G, K 'yi doğuran çekirdek olarak kabul eden ve fonksiyonlardan oluşan diğer bir Hilbert uzayı ise, E 'deki her x ve y için (*)'ı kullanarak

${\displaystyle \langle K_{x},K_{y}\rangle _{H}=K(x,y)=\langle K_{x},K_{y}\rangle _{G}\,}$

elde ederiz. Doğrusallıktan dolayı, ${\displaystyle \{K_{x}:\ x\in E\}}$ kümesinin geren kümesinde ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}=\langle \cdot ,\cdot \rangle _{G}}$ eşitliği elde edilir. Kapanış tek olduğu içinse G = H olur.

Bergman çekirdeği, Cⁿ 'deki açık kümeler üzerinde tanımlanır. Mesela, D üzerinde holomorf olan ve aynı zamanda Lebesgue ölçüsüne göre karesi toplanabilir fonksiyonların uzayını H ile gösterelim. Her yerde 0 'a özdeş olmayan birçok fonksiyon bulunacağı için, aslında bu örnekteki uzayın kuramı bayağı değildir. Bu yüzden, bu H uzayı bir doğuran çekirdekli Hilber uzayıdır ve bu uzayın üzerindeki tanımlı doğuran çekirdeğe de Bergman çekirdeği adı verilir. n = 1 alındığında elde edilen örnek Stefan Bergman tarafından 1922'de verilmiştir.

• Pozitif tanımlı çekirdek
• Mercer teoremi

• Aronszajn, Nachman (1950). "Theory of Reproducing Kernels". Transactions of the American Mathematical Society. 68 (3). ss. 337-404. 
• Alain Berlinet and Christine Thomas, Reproducing kernel Hilbert spaces in Probability and Statistics, Kluwer Academic Publishers, 2004.
• Kimeldorf, George; Wahba, Grace (1971). "Some results on Tchebycheffian Spline Functions" (PDF). Journal of Mathematical Analysis and Applications. 33 (1). ss. 82-95. 
• Grace Wahba, Spline Models for Observational Data, SIAM 28 Mart 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., 1990.
• Cucker, Felipe; Smale, Steve (2002). "On the Mathematical Foundations of Learning". Bulletin of the American Mathematical Society. 39 (1). ss. 1-49.