Doğrusal ve zamanla değişmeyen sistemler

Doğrusal ve zamanla değişmeyen (DZD) sistemler, tüm sistemler ailesinin en önemli alt kümesini oluşturmaktadır. Bunun nedeni sahip oldukları iki özelliğin (1-Doğrusallık ve 2-Zamanla Değişmemek) sinyal işleme alanında kullanılan en temel matematiksel operatörlerin (Fourier dönüşümleri, Konvolüsyon Operatörü, Sabit Katsayılı Doğrusal Diferensiyel Denklemler) doğası ile tam bir uyum sergilemesi ve böylece karmaşık problemlerin başarılı matematiksel çözümlerinin elde edilmesine olanak sağlamasıdır.^[1]

Bir sistemin DZD olabilmesi için şu iki özelliği taşıması gerekli ve yeterli koşuldur:

1- Doğrusallık:

Giriş-Çıkış ilişkisi ${\displaystyle y(t)=T\{x(t)\}}$, şeklinde ifade edilen sürekli zamanlı bir sisteme uygulanan iki giriş sinyali ${\displaystyle x_{1}(t)}$ ve ${\displaystyle x_{2}(t)}$ ve bu sinyallere karşılık alınan çıkış tepkileri de ${\displaystyle y_{1}(t)=T\{x_{1}(t)\}}$ ve ${\displaystyle y_{2}(t)=T\{x_{2}(t)\}}$ olsun. Bu sisteme uygulanacak üçüncü bir girişi de ${\displaystyle x_{3}(t)=ax_{1}(t)+bx_{2}(t)}$ şeklinde (lineer kombinasyon) tanımlarsak, doğrusal bir sistemin çıkışının aşağıdakini sağlaması gerekir: (Süperpozisyon özelliği)

$${\displaystyle y_{3}(t)=T\{x_{3}(t)\}=T\{ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\}=aT\{x_{1}(t)\}+bT\{x_{2}(t)\}=ay_{1}(t)+by_{2}(t)}$$

Burada a ve b sabit katsayıları karmaşık sayılar kümesine dahildir.

2- Zamanla Değişmeme:

Benzer şekilde, Giriş-Çıkış ilişkisi ${\displaystyle y(t)=T\{x(t)\}}$, şeklinde ifade edilen sürekli zamanlı bir sisteme uygulanan bir giriş ${\displaystyle x_{1}(t)}$ ve karşılık gelen çıkış ${\displaystyle y_{1}(t)=T\{x_{1}(t)\}}$ olsun. İkinci bir girişi şu şekilde tanımlarsak: ${\displaystyle x_{2}(t)=x_{1}(t-d)~~,~~d\in R}$, bu sistemin zamanla değişmeyen özelliği gösterebilmesi için ikinci sinyal için çıkışının aşağıdaki özelliği sağlaması gerekir:

$${\displaystyle y_{2}(t)\triangleq T\{x_{2}(t)\}=T\{x_{1}(t-d)\}=y_{1}(t-d)}$$

Benzeri bir tanım ayrık zamanlı DZD sistemleri için de yapılabilir ve şu şekilde özetlenebilir:

Ayrık zamanlı bir sistemin DZD olabilmesi için aşağıdaki iki özelliği sağlaması gerekli ve yeterli koşuldur:

1- ${\textstyle y_{3}[n]=T\{x_{3}[n]\}=T\{ax_{1}[n]+bx_{2}[n]\}=aT\{x_{1}[n]\}+bT\{x_{2}[n]\}=ay_{1}[n]+by_{2}[n]}$

2- ${\textstyle y_{2}[n]\triangleq T\{x_{2}[n]\}=T\{x_{1}[n-d]\}=y_{1}[n-d]~~~,~~d\in Z}$

Aşağıdaki örnek(ler) verilen bir sistemin DZD olup olmadığını, matematiksel olarak, nasıl bulabileceğimizi gösterir:

Giriş çıkış özelliği ${\displaystyle y(t)=T\{x(t)\}=e^{-x(t)}}$olan sürekli zamanlı bir sistem DZD midir ?

${\displaystyle x_{1}(t)}$ ve ${\displaystyle x_{2}(t)}$ girişler için çıkışlar ${\displaystyle y_{1}(t)=e^{-x_{1}(t)}}$ ve ${\displaystyle y_{2}(t)=e^{-x_{2}(t)}}$ olsun, ${\displaystyle x_{3}(t)=ax_{1}(t)+bx_{2}(t)}$ için çıkış$${\displaystyle y_{3}(t)=T\{ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\}=e^{-ax_{1}(t)-bx_{2}(t)}=(e^{-x_{1}(t)})^{a}\cdot (e^{-x_{1}(t)})^{b}=(y_{1}(t))^{a}\cdot (y_{2}(t))^{b}\neq ay_{1}(t)+by_{2}(t)}$$olduğundan, doğrusal değildir.

${\displaystyle x_{1}(t)}$ girişi için çıkış ${\displaystyle y_{1}(t)=e^{-x_{1}(t)}}$ ikinci bir girişi ${\displaystyle x_{2}(t)=x(t-d)}$ şeklinde tanımlarsak, ilgili çıkış: ${\displaystyle y_{2}(t)=T\{x_{1}(t-d)\}=e^{-x_{1}(t-d)}=y_{1}(t-d)}$olduğu için sistem zamanla değişmeyen özelliği gösterir.

Dolayısı ile doğrusallık koşulunu sağlamayan bu sistem DZD değildir. Böylesi bir sistem için doğrusal olmayan-zamanla değişmeyen tanımı yapılabilir.

Giriş çıkış özelliği ${\displaystyle y[n]=T\{x[n]\}=\sum _{k=0}^{M-n}{x[-k]}}$ olan ayrık zamanlı bir sistem DZD midir ?

${\displaystyle x_{1}[n]}$ ve ${\displaystyle x_{2}[n]}$ girişler için çıkışlar ${\displaystyle y_{1}[n]=\sum _{k=0}^{M-n}{x_{1}[-k]}}$ ve ${\displaystyle y_{2}[n]=\sum _{k=0}^{M-n}{x_{2}[-k]}}$ olsun, ${\displaystyle x_{3}[n]=ax_{1}[n]+bx_{2}[n]}$ için çıkış$${\displaystyle y_{3}[n]=T\{ax_{1}[n]+bx_{2}[n]\}=\sum _{k=0}^{M-n}{{\big (}ax_{1}[-k]+bx_{2}[-k]{\big )}}=a\sum _{k=0}^{M-n}{x_{1}[-k]}+b\sum _{k=0}^{M-n}{x_{2}[-k]}=ay_{1}[n]+by_{2}[n]}$$olduğundan, doğrusaldır.

${\displaystyle x_{1}[n]}$ girişi için çıkış ${\displaystyle y_{1}[n]=\sum _{k=0}^{M-n}{x_{1}[-k]}}$ olsun, ikinci bir girişi ${\displaystyle x_{2}[n]=x[n-d]}$ şeklinde tanımlarsak, ilgili çıkış: $${\displaystyle y_{2}[n]=T\{x_{1}[n-d]\}=\sum _{k=0}^{M-n}{x_{2}[-k]}=\sum _{k=0}^{M-n}{x_{1}[-k-d]}=\sum _{k=d}^{M-n+d}{x_{1}[-k]}\neq y_{1}[n-d]=\sum _{k=0}^{M-(n-d)}{x_{1}[-k]}}$$olduğu için sistem zamanla değişmektedir.

Dolayısı ile doğrusallık koşuluğunu sağladığı halde zamanla değişmeme koşulunu sağlamayan bu sistem DZD değildir.