Doğrusal filtre

Doğrusal filtreler, işleme sokulan verilerin doğrusal değişkenler ile işlendiği sinyal işleme yapılarıdır. Bir başka deyişle, elde edilen sinyal çıktısı, girdinin doğrusal katsayılar ile işleme sokulması ile oluşturulur. Bu özellikte filtreler ile oluşturulan sistemler, dolayısıyla doğrusal sinyal tepkisi yaratırlar.

Analog elektronik ve dijital sinyal işleme alanlarında kullanılan filtrelerin birçoğu doğrusal zamanda değişmez (en) filtreler olarak sınıflandırılabilir. Bununla birlikte, bu filtreleme yöntemi özellikle ses ve görüntü işleme alanlarında, büyük bir önem arz etmekte olup, yoğun bir biçimde kullanılmaktadır.

Filtrenin doğrusal olarak sınıflandırılabilmesi için aşağıdaki matematiksel koşulu sağlaması gereklidir.

${\displaystyle x_{1}[n]\to y_{1}[n]}$ ve ${\displaystyle x_{2}[n]\to y_{2}[n]}$ ise,

mümkün tüm ${\displaystyle \alpha }$ ve ${\displaystyle \beta }$ değerleri için;

${\displaystyle x[n]=\alpha x_{1}[n]+\beta x_{2}[n]\to y[n]=\alpha y_{1}[n]+\beta y_{2}[n]}$

eşitliği sağlanmalıdır.

Bununla birlikte, doğrusallık koşulu, süperpozisyon prensibi ile eşdeğerlik taşımaktadır.^[1] Bu bağlamda, farklı özellikli birden fazla girdinin oluşturduğu bir sistemin vereceği çıktıyı, girdi verilerini teker teker (bağımsız olarak) hesaplayarak kolaylıkla bulabiliriz.

Doğrusal filtreler, özgün sinyal tepki fonksiyonları ile tanımlanabilir. Bu sayede, filtrenin vereceği çıktı, girdinin sinyal tepkisi ile evrişimi (en) kullanılarak hesaplanabilir. Sinyal tepkisi ${\displaystyle h}$ sembolü ile ifade edilir. Kısaca, filtrenin birim tepki sinyali girilmesi halinde vereceği çıktı olarak tanımlanabilir. Bu bağlamda, filtrenin genel işleyişi hakkında bilgi sahibi olmamızı sağlayan karakterize bir fonksiyondur.

${\displaystyle x}$ fonksiyonu giriş verilerini, ${\displaystyle y}$ fonksiyonu çıkış verilerini ve ${\displaystyle h}$ fonksiyonu sinyal tepkisini belirtmek üzere;^[2]

${\displaystyle x[n]=\sum _{0}^{k}x[k]\,\delta [n-k]}$ ve ${\displaystyle \,y[n]=D[x[n]]}$ ise,

${\displaystyle D}$ dönüşüm fonksiyonu olmak üzere;

${\displaystyle h[n]=D[\delta [n]]}$ şeklinde gösterilebilir.

Bu sayede, genel formül yeniden yazılacak olursak;

${\displaystyle y[n]=\sum _{0}^{k}x[k]\,h[n-k]}$ sonucu elde edilir.

Ayrıca, elde edilen bu formül, evrişim sembolü kullanılarak şu şekilde de gösterilebilir:

${\displaystyle y[n]=x[k]*h[n-k]=x[n-k]*h[k]}$

Zaman alanı (en) tepki analizi genel anlamda iki ana filtre türünde yapılmaktadır.

Yukarıda verilen örnek fonksiyonda olduğu gibi, sınırlı sayıda sinyal verisinin farklı şekillerde toplanarak oluşturulmasıyla elde edilen çıktı sinyallerinin yarattığı tepkilerdir.

Sınırlı sinyal tepkisi yaratan filtreler ile benzer özellik göstermelerine karşın, veri akışındaki geri besleme unsuru bu sistemin tepkisini diğer türden ayırır. Bir başka deyişle, çıktı verileri özyineleme ışığında girdide tekrar kullanılarak sürekli, dinamik bir akış sağlanır. Sistemin son tepkisi girdiler yanı sınra önceki çıktılar ile belirlenir.

Sinyal işleme alanının temel yapılarından olan alçak/yüksek frekans ve bant frekans geçirimi filtreleri doğrusal filtrelere birer örnektir. Uygulama alanında ise Sallen-Key filtre tasarımı buna örnek olarak gösterilebilir. Diyagramda bu topoloji kullanılarak alçak frekans geçirimine uyarlanmış bir ses filtresi gösterilmektedir.

• Elektronik filtre
• Filtre tasarımı (en)
• Z-dönüşümü
• Green fonksiyonu
• Doğrusal olmayan filtreler (en)
• Wiener filtresi (en)

• Eric W. Weisstein, Filter (MathWorld)