Dirichlet eta işlevi

Matematiğin analitik sayı kuramı alanında Dirichlet eta işlevi

${\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)}$

olarak tanımlanmaktadır. Burada ζ Riemann zeta işlevini belirtmektedir. İşlev, pozitif gerçel kısımlı tüm s karmaşık sayıları için geçerli bir Dirichlet dizisine sahiptir.

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}}$

Bu ifade her ne kadar yalnızca pozitif gerçel kısımlı s değerleri için yakınsak olsa da, tüm karmaşık sayılar kümesinde Abel toplamına sahiptir. Bu, eta işlevinin boylu boyunca uzandığını ve zeta işlevinin s = 1 kutbu için meromorf olduğunu göstermektedir.

Pozitif gerçel kısımlı sayılar için tanımlı

${\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}{dx}}$

ifadesinden başlayarak eta işlevinin Mellin dönüşümüne ulaşılabilmektedir.

Hardy, eta işlevinin işlevsel denklemini şöyle kanıtlamıştır:

${\displaystyle \eta (-s)=2\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1)}$

Almaşık diziler için geliştirilen dizi hızlandırma yöntemlerinin çoğu eta işlevini hesaplamak için de kullanılabilmektedir. Euler'in almaşık dizi dönüşümü bu bağlamda uygulanabilecek en iyi yöntemlerden biridir.

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {1}{(k+1)^{s}}}}$

İç kısımda yer alan toplamın bir ileri fark olduğu gözlenebilmektedir.

Peter Borwein, Chebyshev polinomlarının da içinde bulunduğu bazı yaklaştırmaları kullanarak eta işlevini kolay yoldan hesaplamaya yarayan bir yöntem geliştirmiştir.

${\displaystyle d_{k}=n\sum _{i=0}^{k}{\frac {(n+i-1)!4^{i}}{(n-i)!(2i)!}}}$

koşulu sağlanıyorsa

${\displaystyle \eta (s)=-{\frac {1}{d_{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}(d_{k}-d_{n})}{(k+1)^{s}}}+\gamma _{n}(s)}$

eşitliğine ulaşılır. Burada ${\displaystyle \Re (s)\geq {\frac {1}{2}}}$ için geçerli γ_n hata payı

${\displaystyle |\gamma _{n}(s)|\leq {\frac {3}{(3+{\sqrt {8}})^{n}}}(1+2|\Im (s)|)\exp({\frac {\pi }{2}}|\Im (s)|)}$

olarak hesaplanır.

Hata payındaki ${\displaystyle 3+{\sqrt {8}}\approx 5.8}$ ifadesi Borwein dizisinin artan n değerleri için hızla yakınsadığını göstermektedir.

• η(0) = ¹⁄₂, Grandi dizisinin (1 − 1 + 1 − 1 + · · ·) Abel toplamı
• η(−1) = ¹⁄₄, 1 − 2 + 3 − 4 + · · · dizisinin Abel toplamı
• k 1'den büyük bir tam sayı olmak üzere B_k k. Bernoulli sayısı ise

  ${\displaystyle \eta (1-k)={\frac {2^{k}-1}{k}}B_{k}}$

Ayrıca,

${\displaystyle \!\ \eta (1)=\ln 2}$ (almaşık harmonik dizi)

${\displaystyle \eta (2)={\pi ^{2} \over 12}}$

${\displaystyle \eta (4)={{7\pi ^{4}} \over 720}}$

${\displaystyle \eta (6)={{31\pi ^{6}} \over 30240}}$

${\displaystyle \eta (8)={{127\pi ^{8}} \over 1209600}}$

${\displaystyle \eta (10)={{73\pi ^{10}} \over 6842880}}$

${\displaystyle \eta (12)={{1414477\pi ^{12}} \over {1307674368000}}}$

Pozitif çift tam sayılar için geçerli genel ifade şöyledir:

${\displaystyle \eta (2n)=(-1)^{n+1}{{B_{2n}\pi ^{2n}(2^{2n-1}-1)} \over {(2n)!}}}$

• Matematiksel fonksiyonların listesi