Diofantos denklemi

Diofantos denklemi diğer bir adıyla Diophantine denklemleri adını M.S. 3. yüzyılda yaşadığı tahmin edilen Antik Yunan matematikçilerden Diofantos'dan alan değişkenleri ve katsayıları tam sayılar olan denklemlerdir.^[1] Diofantos Arithmetika adlı sadece 6 cildi günümüze ulaşan çalışmasında 130 denkleme (bugün Diofantos denklemleri olarak adlandırılan) ve bunların çözümlerine yer vermiştir.^[2]

Basit doğrusal Diofantos denklemine örnekler aşağıdaki gibi verilebilinir;

• Örnek 1.1

${\displaystyle x+y=1}$

Bu eşitlikte her bir x değeri için tek bir y çözümü vardır (${\displaystyle y=1-x}$). Bu eşitliğin çözüm kümesi;

(X, 1 − X) şeklindedir her X ∈ Z için

• Örnek 1.2

${\displaystyle x+2y=1}$

Bu defa x'in herhangi bir tam sayı olamayacağı fakat sadece tek sayı olabileceği görülüyor (${\displaystyle x=1-2y}$). Bu eşitliğin çözüm kümesi;

(1-2y, y) şeklindedir her y ∈ Z için

• Örnek 1.3

${\displaystyle 3x+6y=1}$

Bu eşitliğin çözüm kümesi boş kümedir. Her ${\displaystyle x}$ ve ${\displaystyle y}$ tam sayı seçimi için bu denklemin sol tarafı her zaman 3'ün katı olduğu halde sağ tarafı hiçbir zaman 3'ün katı olamaz.

• Genel doğrusal Diofantos denklemi

${\displaystyle ax+by=c}$
Şeklindedir. Burada a, b ve c tam katsayılar ${\displaystyle x}$ ve ${\displaystyle y}$ tam sayı değişkenlerdir.

Genel bir örnek Pisagor denklemidir (Bakınız; Pisagor teoremi )

• Örnek 2.1.1

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}\,}$
Burada ${\displaystyle x,y,z}$ tam sayıları dik üçgenin kenar uzunluklarını da temsil ettiği için Pisagor üçlemi olarak da adlandırılır.

(Bakınız; Fermat'nın son teoremi )

• Örnek 2.2.1

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}\,}$, n > 2
Bu eşitliğin ${\displaystyle x,y,z}$ tam sayı değişkenlerinden en az birinin 0 olması durumu dışında çözümü yoktur.

Bakınız Pell denklemi
Bu denklem adını 17. yüzyıl İngiliz Matematikçi John Pell'den alır.

• Örnek 2.3.1

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1\,}$, n>0 ve n tam sayısı tam kare değildir

Özel

Genel

• "Diophantine Equation". 30 Ekim 2012 tarihinde http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation2ndPowers.html 11 Mayıs 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. adresinden
• "Diophantine Equation". 30 Ekim 2012 tarihinde http://planetmath.org/encyclopedia/DiophantineEquation.html 8 Mart 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. adresinden
• "Diophantine Equation". 30 Ekim 2012 tarihinde http://www.math.umass.edu/~gunnells/talks/abc.pdf 15 Haziran 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. adresinden