Diferansiyel kalkülüs

Matematikte diferansiyel kalkülüs, fonksiyonların girdileri değiştikçe nasıl değiştiklerini konu alan bir kalkülüs alanıdır. Diferansiyel kalkülüsteki ana inceleme nesnesi türevdir. Oldukça yakından ilişkili diğer bir kavram da türetke ya da diferansiyeldir. Bir fonksiyonun, seçilmiş belirli bir girdi değerindeki türevi, fonksiyonun o girdi değeri yakınındaki davranışını tanımlar. Genel olarak, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevi, fonksiyona o noktadaki en iyi doğrusal yaklaşımı belirler. Türev bulma işlemine "türev almak" (İngilizce: diferansiyasyon) denir. Kalkülüsün temel teoremi gereğince, türev alma işlemi integral alma işleminin tersidir.

Türevin ve doğal olarak diferansiyel kalkülüsün tüm sayısal disiplinlerde uygulamalarını görmek mümkündür. Örneğin, fizikte hareket halindeki bir cismin yerdeğişiminin, zamana göre türevi, hız; hızın zamana göre türevi ise ivmedir.

Türevler bir fonksiyonun maksimum ve minimumlarını bulmakta da kullanılırlar. Türev barındıran denklemlere diferansiyel denklemler denir ve bu denklemler doğal fenomenlerin tanımlanması açısından temel bir öneme sahiptirler. Türevler ve bunların genelleştirmeleri matematiğin her alanında görülebilir; karmaşık analizden, fonksiyonel analize, diferansiyel geometriden soyut cebire kadar.

Türev alma kuralları

Yukarıda da değinildiği gibi türev alma, integralin tersidir ve aşağıdaki matematiksel kurallar geçerlidir.

1. Sabit fonksiyonların türevi sıfırdır.

ör: f(x) = 3, f'(x) = 0

2. Üstel fonksiyonların türevi aşağıdaki şekilde alınır.

(f(x) ^ n)' = n f(x) ^ (n-1) ör: (f^3)' = 3·f²

3. Herhangi bir sabit sayı ile çarpma türevi değiştirmez

ör: (a · f(x))' = a·f'(x)

4. Toplama ve çıkarma işlemi türevi değiştirmez

ör: (f(x) ± h(x) )' = f'(x) ± h'(x)

5. iki fonksiyonun çarpımının türevi aşağıdaki şekilde alınır:

(f·g)' = f'·g + f·g'

ör: f(x) = m² ve g(x) = 3x

(f·g) = 6·x·m + 3·m²

6. İki fonksiyonun bölümünün türevi aşağıdaki şekilde alınır:

(f/g)' = (f'·g - g'·f)/(g²)

ör: f(x) = m² ve g(x) = 3x için

(f/g)' = (f'·g - g'·f)/(g²) = (6·m·x - 3·m²) / (9·x²)

7. Zincir kuralı

(f o g)'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)

ör: f(x) = 3x ve g(x) = x²

(f o g)'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x) = 3·x² ·2x = 6·x³

7. Ters fonksiyonun türevini alma metodu şu şekildedir.

f(x) = y olsun. Eğer f, x noktasında tersi alınabilen bir fonksiyon ise ve f'(x) ≠ 0 ise o zaman aşağıdaki kural geçerlidir

(f^(-1))' (y) = 1 / f'(x)

ör: f(x) = 3x ise (f^(-1))(y) = f(x) / 3 olur.

(f^(-1))' (y) = 1 / f'(x) = 1/3 tür

İlgili Araştırma Makaleleri

Matematikte türev, bir fonksiyonun tanımlı olduğu herhangi bir noktada değişim yönünü veya hızını veren temel bir kavramdır. Tek değişkenli bir fonksiyonun tanım kümesinin belli bir noktasında türevi, fonksiyonun grafiğine bu noktada karşılık gelen değerde çizilen teğet doğrunun eğimidir. Teğet doğru, tanım kümesinin bu noktasında fonksiyonun en iyi doğrusal yaklaşımıdır. Bu nedenle türev genellikle anlık değişim oranı ya da daha açık bir ifadeyle, bağımlı değişkendeki anlık değişimin bağımsız değişkendeki anlık değişime oranı olarak tanımlanır. Bir fonksiyonun türevini teorik olarak bulmaya türev alma denilir. Eğer bir fonksiyonun tanım kümesindeki her değerinde hesaplanan türev değerlerini veren başka bir fonksiyon varsa, bu fonksiyona eldeki fonksiyonun türevi denir.

İntegral veya tümlev, toplama işleminin sürekli bir aralıkta alınan hâlidir. Türev ile birlikte kalkülüsün temelini oluşturan iki işlemden birisidir. Kalkülüsün temel teoremi sayesinde aynı zamanda türevin ters işlemidir.

Matematikte, diferansiyel denklem, bir ya da birden fazla fonksiyonu ve bunların türevlerini ilişkilendiren denklemdir. Fizik, kimya, mühendislik, biyoloji ve ekonomi alanlarında matematiksel modeller genellikle diferansiyel denklemler kullanılarak ifade edilirler. Bu denklemlerde, fonksiyonlar genellikle fiziksel ya da finansal değerlere, fonksiyon türevleriyse değerlerin değişim hızlarına denk gelir.

Türev, matematikteki ve özellikle diferansiyeldeki temel kavramlardan biridir. Aşağıda temel türev alma kuralları ve bazı fonksiyonların türev kuralları yer almaktadır.

Matematiksel analiz, hesaplamanın esas olduğu matematiğin en önemli kolu. Limit kavramı üzerine kurulmuştur. Eğri, yüzey ve fizik problemlerini bünyesine alarak gelişti. Bu tür konular, özel veya farklı değer kümeleriyle meşgul olan cebir ve aritmetiğin dışındaki problemlerdir. Bununla beraber, sonsuz kümelerin limit değerlerini kural haline getirme işlemlerini ihtiva ederler.

Matematikte adi diferansiyel denklem, tek değişkenli fonksiyonların türevlerini ilişkilendiren diferansiyel denklem çeşididir. Adi diferansiyel denklemler adı daha yaygındır. Kapalı olarak $\text{[math]}$ şeklinde gösterilirler. Bu ifadede $\text{[math]}$ denklemin derecesini gosterir.

Başlangıçta sonsuz küçük hesap veya "sonsuz küçüklerin hesabı" olarak adlandırılan kalkülüs, geometrinin şekillerle çalışması ve cebirin aritmetik işlemlerin genellemelerinin incelenmesi gibi, kalkülüs sürekli değişimin matematiksel çalışmasıdır.

Doğrusal ya da lineer denklem terimlerinin her biri ya birinci dereceden değişken ya da bir sabit olan denklemlerdir. Böyle denklemlere "doğrusal" denmesinin nedeni içerdikleri terim ve değişkenlerin sayısına bağlı olarak (n) düzlemde ya da uzayda bir doğru belirtmesindendir. Doğrusal denklemlerin en yaygını bir $\text{[math]}$ ve $\text{[math]}$ değişkeni içeren aşağıdaki formdur:

Karmaşık analiz ya da başka bir deyişle kompleks analiz, bir karmaşık değişkenli fonksiyonları araştıran bir matematik dalıdır. Bir değişkenli karmaşık analize ya da çok değişkenli karmaşık analizle beraber tümüne karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi de denilir.

Matematikte Laplace denklemi, özellikleri ilk defa Pierre-Simon Laplace tarafından çalışılmış bir kısmi diferansiyel denklemdir. Laplace denkleminin çözümleri, elektromanyetizma, astronomi ve akışkanlar dinamiği gibi birçok bilim alanında önemlidir çünkü çözümler bilhassa elektrik ve yerçekim potansiyeli ile akışkan potansiyelinin davranışını açıklar. Laplace denkleminin çözümlerinin genel teorisi aynı zamanda potansiyel teorisi olarak da bilinmektedir.

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde, Augustin Louis Cauchy'nin ismine atfedilen Cauchy integral teoremi, karmaşık düzlemdeki holomorf fonksiyonların çizgi integralleri hakkında önemli bir teoremdir.

Gerçel analiz ya da bilinen diğer ismiyle reel analiz, matematiksel analizin bir dalıdır. Bu dal, gerçek sayılar ve bu sayılardan türetilen yapılarla ilgili temel kavramları ele alır. Ana konuları arasında diziler, seriler, limitler, süreklilik, türev, integral ve fonksiyon dizileri yer alır. Gerçek analizin incelenmesi, matematiğin diğer alanları için temel araçlar ve yöntemler sağlar.

Integral hesapla Eliptik integralin bağlantısı elipsin yay uzunluğu ile ilgilidir. Bunu ilk gösteren Leonhard Euler'in öğrencisi Giulio Fagnano olmuştur. Modern Matematikte eliptik integral'in en geniş şekilde bir f fonksiyonu olarak tanımlanmış formu:

\text{[math]}

şeklindedir.

Fonksiyonlar, sahip oldukları özelliklere göre sınıflandırılabilir.

Matematikte bir doğrunun eğimi ya da gradyanı o doğrunun dikliğini, eğimliliğini belirtir. Daha büyük eğim, daha dik bir doğru demektir.

Değişken değiştirme, İntegral, çarpanlara ayırma, denklemler, üslü denklemler, trigonometri ve diferansiyel denklemler başta olmak üzere matematiğin her alanında işlemi basitleştirmek için kullanılan matematiksel bir yöntemdir.

Matematikte, Green kuramı basit, kapalı bir C eğrisi etrafındaki çizgi integrali ile C eğrisinin sınırlandırdığı D düzlem bölgesi üzerindeki çift katlı integral arasındaki ilişkiyi verir. Teorem adını matematikçi George Green'den almıştır ve daha genel hâli olan Stokes teoreminin iki boyuttaki özel durumudur.

Vektör analizi ve modern haliyle diferansiyel geometride ''Stokes teoremi'' ya da güncel haliyle ''genelleştirilmiş Stokes teoremi'' veya ''Stokes-Cartan teoremi'' Vektör Analizi'nden çeşitli teoremleri hem basitleştiren hem de genelleştiren çokkatlılar üzerindeki diferansiyel formların integrasyonu ile ilgili önemli bir teoremdir. Klasik anlamı için Kelvin-Stokes teoremine bakılması gerekir. Modern anlamına 20. yüzyılın önemli matematikçilerinden Ellie Cartan ile kavuşmuştur. Yani teorem ismini İrlandalı matematikçi ve fizikçi George Gabriel Stokes ve modern haliyle Fransız matematikçi ve fizikçi Ellie Cartan'dan almaktadır. Modern anlamda Stokes teoremi bir diferansiyel form olan ω'nın bazı yönlendirilebilir Ω çokkatlısının sınırları üzerindeki integralinin Ω'nın tamamı üzerindeki dış türevi dω'nın integraline eşit olduğunu söyler. Yani;

Çok değişkenli kalkülüs veya Çok değişkenli hesaplama, matematik biliminin bir alt alanıdır. Bir değişkenli hesapların, birden fazla değişkenli fonksiyonlarla hesaplara yayılması ve tek değişken yerine çoklu değişken içeren fonksiyonların entegrasyonu olarak görülür. Matris, tensör, kısmi türev, çokkatlı integral, çizgi integrali, yüzey integrali, hacim integrali, Jacobi, Hesse, Gradyan gibi inceleme alanları vardır.

Bu, matematiğin bir alt dalı ve matematiksel analizin giriş kısmı olan kalkülüs (hesap) konularının bir listesidir.

Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.