İçeriğe atla

Diferansiyel geometri

Bir semerin üzerine çizilmiş üçgendir. (bir hiperbolik paraboloid), Bunun yanı sıra bir birinden farklıdır.

Diferansiyel geometri türevin tanımlı olduğu Riemann manifoldlarının özellikleriyle uğraşan matematiğin bir alt disiplinidir.[1] Başka bir deyişle, bu manifoldlar üzerindeki metrik kavramlarla uğraşır.[2] Eğrilik, eğriler için burulma ve yüzeyler için değişik eğrilikler, araştırılan özellikler arasındadır.

Diferansiyel geometri, geometrik problemler üzerinde diferansiyel metotlar ve integral hesaplamalarla çalışan matematiksel bir disiplindir.[3] Bundan başka lineer cebir ve çoklu doğrusal cebirdeki, sorunları incelemek için geometride de kullanılır.

Uygulamalar

Aşağıda diferansiyel geometrinin, bilim ve matematiğin diğer alanlarında nasıl kullanıldığı hakkında bazı örnekler vardır.

  • Fizikte, dört kullanımından söz edilecektir: :

Diferansiyel geometri Einstein'ın Genel görelilik teorisinin ifade edildiği dildir. Teoriye göre evren, uzay-zaman eğriliğini açıklayan pseudo-Riemann metriği ile donatılmış, düzgün bir manifolddur. Dünya etrafında yörüngeye uydu konumlandırmak için bu bükülmeyi anlamak esastır. Diferansiyel geometri, kütleçekimsel merceklenme ve kara deliklerin çalışmasını açıklamak içinde vazgeçilmezdir. Diferansiyel formlar: Diferansiyel formların anlaşılmasında kullanılmıştır; Diferansiyel geometrinin hem Lagrange mekaniği ve hem de Hamilton mekaniğinde uygulamaları vardır. Özellikle Simplektik manifoldlar, Hamilton sistemlerini incelemek için kullanılabilir.

  • Riemann geometrisi ve temas geometrisi: geometrotermodinamikler formalizmini oluşturmak için kullanılan klasik termodinamik denge uygulamaları için bulunmuştur.
  • Ekonomide, diferansiyel geometrinin ekonometri alanında uygulamaları vardır.[4]
  • Diferansiyel geometriden gelen fikirler arasında geometrik modelleme (bilgisayar grafikleri dahil) ve Bilgisayar destekli geometrik tasarım da bulunur.
  • Mühendislikte, Dijital sinyal işleme sorunlarını çözmek için diferansiyel geometri uygulanabilir.[5]
  • Olasılık, istatistik ve bilgi kuramı olarak, özellikle Fisher bilgi metriği üzerinden bilgi geometri alanını verir ki, Riemann manifoldları gibi çeşitli yapıları yorumlayabilir.
  • Yapısal jeoloji, diferansiyel geometri jeolojik yapılarını analiz etmek ve tanımlamak için kullanılır.

Bilgisayarla görme, diferansiyel geometrik şekilleri analiz etmek için kullanılır.[6]

  • Görüntü işlemede, düz olmayan yüzeylerde veri işlemek ve analiz etmek için diferansiyel geometri kullanılır.[7]
  • Grigori Perelmanin Poincaré varsayımına kanıtı topolojideki sorulara Ricci akımlarının tekniklerini kullanarak diferansiyel geometrik yaklaşımın gücünü gösterdi ve onun analitik yöntemlerde oynadığı önemli role dikkat çekti.
  • Kablosuz iletişimde, grassmanniyen manifoldlar çoklu anten sistemlerinde demetleme teknikleri için kullanılmaktadır.[8]

Ayrıca bakınız

Kaynakça

  1. ^ "The MacTutor History of Mathematics Archive". 30 Eylül 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 6 Haziran 2007. 
  2. ^ "WolframMathWorld". 27 Mayıs 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 6 Haziran 2007. 
  3. ^ "Maddenin ingilizce belgesinden". 2 Kasım 2008 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 30 Ekim 2008. 
  4. ^ Paul Marriott and Mark Salmon (editors), "Applications of Differential Geometry to Econometrics", Cambridge University Press; 1 edition (September 18, 2000).
  5. ^ Jonathan H. Manton, "On the role of differential geometry in signal processing" [1].
  6. ^ Mario Micheli, "The Differential Geometry of Landmark Shape Manifolds: Metrics, Geodesics, and Curvature", http://www.math.ucla.edu/~micheli/PUBLICATIONS/micheli_phd.pdf 4 Haziran 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  7. ^ Anand A. Joshi, "Geometric methods for image processing and signal analysis", [2] 4 Mart 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  8. ^ David J. Love and Robert W. Heath, Jr. "Grassmannian Beamforming for Multiple-Input Multiple-Output Wireless Systems," IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 49, No. 10, October 2003

Konuyla ilgili yayınlar

  • Wolfgang Kühnel (2002). Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds (2nd ed. bas.). ISBN 0-8218-3988-8. 
  • Theodore Frankel (2004). The geometry of physics: an introduction (2nd ed. bas.). ISBN 0-521-53927-7. 
  • Spivak, Michael (1999). A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (5 Volumes) (3rd Edition bas.). 
  • do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. ISBN 0-13-212589-7.  Classical geometric approach to differential geometry without tensor analysis.
  • Kreyszig, Erwin (1991). Differential Geometry. ISBN 0-486-66721-9.  Good classical geometric approach to differential geometry with tensor machinery.
  • do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Riemannian Geometry. 
  • McCleary, John (1994). Geometry from a Differentiable Viewpoint. 
  • Bloch, Ethan D. (1996). A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry. 
  • Gray, Alfred (1998). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica (2nd ed. bas.). 
  • Burke, William L. (1985). Applied Differential Geometry. 
  • ter Haar Romeny, Bart M. (2003). Front-End Vision and Multi-Scale Image Analysis. ISBN 1-4020-1507-0. 

Dış bağlantılar

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Matematik</span> nicelik, yapı, uzay ve değişim gibi konularla ilgilenen bilim dalı

Matematik ; sayılar, felsefe, uzay ve fizik gibi konularla ilgilenir. Matematikçiler ve filozoflar arasında matematiğin kesin kapsamı ve tanımı konusunda görüş ayrılığı vardır.

<span class="mw-page-title-main">Diferansiyel denklem</span>

Matematikte, diferansiyel denklem, bir ya da birden fazla fonksiyonu ve bunların türevlerini ilişkilendiren denklemdir. Fizik, kimya, mühendislik, biyoloji ve ekonomi alanlarında matematiksel modeller genellikle diferansiyel denklemler kullanılarak ifade edilirler. Bu denklemlerde, fonksiyonlar genellikle fiziksel ya da finansal değerlere, fonksiyon türevleriyse değerlerin değişim hızlarına denk gelir.

<span class="mw-page-title-main">Anatoli Fomenko</span> Rus matematikçi

Anatoli Timofeyeviç Fomenko, bir Sovyet ve Rus komplo teorisyeni, matematikçi, Moskova Devlet Üniversitesi'nde profesör, iyi bir topolog olarak bilinir ve Rusya Bilimler Akademisi üyesidir. Rus-Sovyet yazar ve mason Nikolay Aleksandroviç Morozov'un eserlerine dayanan Yeni Kronoloji olarak bilinen bir teorinin yazarıdır. Aynı zamanda Rusya Doğa Bilimleri Akademisi (1991) üyesidir. 1996 yılında matematik dalında Rusya'nın devlet ödülünü almıştır.

<span class="mw-page-title-main">Eğri</span>

Eğri, matematikte doğruya benzer bir nesnedir. Ancak bunun doğrusal olması gerekmez.

<span class="mw-page-title-main">Tensör</span> skaler, vektör, covector ve tensörlerin bazı kombinasyonlarında çok çizgili harita

Matematikte, tensör, çok boyutlu verinin simgelenebildiği geometrik bir nesnedir. Skaler denilen yönsüz nicel büyüklükler, vektör denilen yönlü büyüklükler ve matris denilen iki boyutlu nesneler birer tensördür. Tensör, tüm bu nesnelerin genelleştirilmiş halidir ve çok boyutlu veri kümeleri için kullanılır. Nesnenin kaç boyutla ifade edildiğine de tensörün derecesi denilir. Bir skalerin derecesi sıfır, bir vektörün bir, bir matrisin ise ikidir. Tensörler üç ve üzeri dereceye sahip olabilir.

Ayrık diferansiyel geometri diferansiyel geometri içindeki kavramların ayrık karşılıklarının çalışmasıdır. Bunun yerine düzgün eğriler ve yüzeyler, burada çokgenler, örgüler ve yalın karmaşıklıklardır. Bu bilgisayar grafikleri ve topolojik kombinatoriklerin çalışması içinde kullanılabilir.

Klasik diferansiyel geometride, geliştirme öklid uzayı üzerinde başka bir düzgün yüzeyin yuvarlanmasının basit fikrini ifade eder. Örneğin, bir noktada, yüzeyine teğet düzlemin diğer noktalarında tanjant yüzey elde etmek için yüzeyi etrafında haddelenebilir. Birbiri üzerine haddelenen yüzeyleri arasındaki temas teğet iki yüzey üzerindeki noktalar arasındaki bir ilişki sağlar. Bu ilişki örten yüzeyler arasında tanımlanmış ise, o zaman iki yüzeylerin birbiri ya da birbirlerinin gelişmeleri geliştirilebilir olduğu söylenmektedir. Diğer bir deyişle, yerel bir izometri, iki yüzey arasında yazışmaları sağlar. Yüzeylerinden biri bir düzlem ise, özellikle, daha sonra diğer bir geliştirilebilir yüzey olarak adlandırılır: geliştirilebilir, böylece yüzey düzlemine yerel olarak izometrik olan bir bileşendir. Silindir geliştirilebilir, ama küre değil.

<span class="mw-page-title-main">Boris Dubrovin</span> Rus matematikçi

Boris Anatolyeviç Dubrovin, Rus matematikçi, Fizik ve Matematik Bilimleri Doktorudur.

<span class="mw-page-title-main">Riemann küresi</span>

Matematikte Riemann küresi, genişletilmiş karmaşık düzlemin artı sonsuzdaki noktanın bir modelidir. Carl Friedrich Gauss tarafından daha önceden düşünülmüş olsa da, öğrencisi Bernhard Riemann'ın adıyla anılmaktadır. Genişletilmiş bu düzlem, genişletilmiş karmaşık sayıları—yani artı sonsuzdaki ∞ değerli karmaşık sayıları—temsil eder. Riemann modelinde, "0" noktası çok küçük sayılara yakın olur ise "∞" noktası çok daha büyük sayılara yakınlaşır.

<span class="mw-page-title-main">Riemann yüzeyi</span>

Matematikte Riemann yüzeyi, özellikle karmaşık analizde bahsi geçen tek boyutlu karmaşık bir manifolddur. Bu yüzey(ler) ilk olarak Bernhard Riemann tarafından incelenmiş ve isimlendirilmiş. Riemann yüzeyleri, karmaşık düzlemin deforme olmuş versiyonları olarak düşünülebilir: her noktanın yakınında karmaşık düzlemin yerel olarak yamaları gibi görünürler, ama topolojisi oldukça farklı olabilmektedir.

<span class="mw-page-title-main">Élie Cartan</span> Fransız matematikçi (1869 – 1951)

Élie Joseph Cartan, ForMemRS Lie grupları, diferansiyel sistemler ve diferansiyel geometri teorisinde temel çalışmalar yapan etkili bir Fransız matematikçi. Ayrıca genel göreliliğe ve dolaylı olarak kuantum mekaniğine önemli katkılarda bulundu. Yirminci yüzyılın en büyük matematikçilerinden biri olarak kabul edilmektedir.

Matematikte, integral geometri, belirli bir uzayın simetri grubu altındaki geometrik uzay değişmezi üzerindeki ölçü teorisidir. Daha yakın zamanlarda, anlam, bir geometrik uzaydaki fonksiyon uzayından başka bir geometrik uzaydaki fonksiyon uzayına değişmeyen dönüşümlerin bir görünümünü içerecek şekilde genişletildi. Bu tür dönüşümler genellikle Radon dönüşümü ve genellemeleri gibi integral dönüşümlerin biçimini alır.

Patrick du Val cebirsel geometri, diferansiyel geometri ve genel görelilik üzerine yaptığı çalışmalarla tanınan İngiliz bir matematikçi. Bir cebirsel yüzeyin Du Val tekilliği kavramı onun adını almıştır.

Matematik tarihi ile bağlantılı olarak, İtalyan cebirsel geometri okulu, özellikle cebirsel yüzeylerde olmak üzere birasyonel geometride uluslararası olarak yapılan yarım yüzyıldan fazla süreci içeren birçok çalışmaya atıfta bulunmaktadır. Bölgede, önemli katkılarda bulunan önde gelen 30-40 matematikçi vardı ve bunların yaklaşık yarısı aslında İtalyandı. Liderlik Roma'da Guido Castelnuovo, Federigo Enriques ve Francesco Severi'nin en derin keşiflerinden bazılarına dahil olan ve aynı zamanda tarzı belirleyen gruba düştü.

<span class="mw-page-title-main">Jun-Muk Hwang</span> Güney Koreli matematikçi

Jun-Muk Hwang, cebirsel geometri ve karmaşık diferansiyel geometri konusunda uzmanlaşmış Güney Koreli bir matematikçidir.

<span class="mw-page-title-main">Yuri Manin</span> Rus matematikçi (1937–2023)

Yuri İvanoviç Manin, cebirsel geometri ve diyofant geometri alanındaki çalışmaları ve matematiksel mantıktan teorik fiziğe kadar birçok açıklayıcı çalışmasıyla tanınmış bir Rus matematikçidir. Ayrıca Manin, 1980 yılında Computable and Uncomputable adlı kitabıyla kuantum bilgisayar fikrini ilk önerenlerden birisidir.

<span class="mw-page-title-main">Shiing-Shen Chern</span> Çinli-Amerikalı matematikçi ve şair (1911-2004)

Shiing-Shen Chern, Çinli-Amerikalı bir matematikçi ve şairdir. Diferansiyel geometri ve topolojiye temel katkılarda bulundu. "Modern diferansiyel geometrinin babası" olarak anılır ve yaygın olarak geometride bir lider ve yirminci yüzyılın en büyük matematikçilerinden biri olarak kabul edilir. Wolf Ödülü ve Shaw Ödülü de dahil olmak üzere çok sayıda ödül ve takdir kazanmıştır. Shiing-Shen Chern'in anısına, Uluslararası Matematik Birliği, "matematik alanındaki olağanüstü başarılar için başarıları en yüksek düzeyde takdiri temin eden bir kişiyi" onore etmek için 2010 yılında Chern Madalyası vermeye başladı.

<span class="mw-page-title-main">Solomon Lefschetz</span> Amerikalı matematikçi (1884 – 1972)

Solomon Lefschetz, cebirsel topoloji, cebirsel geometri uygulamaları ve doğrusal olmayan adi diferansiyel denklem teorisi üzerine temel çalışmalar yapmış Amerikalı bir matematikçiydi.

Diferansiyel geometride, Michael Atiyah ve Isadore Singer (1963) tarafından kanıtlanan Atiyah–Singer indeks teoremi, kompakt manifold üzerindeki eliptik diferansiyel operatör için analitik indeksin topolojik indekse eşit olduğunu belirtir. Özel durumlar olarak Chern-Gauss-Bonnet teoremi ve Riemann-Roch teoremi gibi diğer birçok teoremi de içerir ve teorik fiziğe uygulamaları vardır.

<span class="mw-page-title-main">Jeodezik</span>

Geometride, bir jeodezik bir anlamda bir yüzeydeki veya genellikle bir Riemann manifoldundaki iki nokta arasındaki en kısa yolu (eğri) temsil eden bir eğridir. Terim ayrıca bir bağlantıya sahip herhangi bir farklılaştırılabilir manifoldda da anlamlı olabilir. "Düz çizgi" kavramının bir genellemesidir.


Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.