İçeriğe atla

Deste (topoloji)

Matematikte deste, bir topolojik uzayın açık altkümelerine ilişkin yerel tanımlı verilerin sistematik olarak incelenmesini sağlayan bir araçtır.

Bu veriler daha küçük açık kümeler üzerine kısıtlanabilir ve bu veriler, kümeyi örten daha küçük açık altkümeler üzerinde tanımlı (uyumlu) verilerin bir koleksiyonuna eşittir. Örnek olarak her bir açık altküme üzerinde tanımlı sürekli (gerçel-değerli) fonksiyonların halkalarını düşünebiliriz. Desteler, tasarımları gereği oldukça genel ve soyut nesnelerdir ve tanımı biraz tekniktir. Açık kümelere ilişkin verinin tipine göre çeşitli destelerden bahsedebiliriz, örneğin küme desteleri, halka desteleri.

Bir desteden bir diğerine tanımlı göndermeler (ya da yapı dönüşümleri), bir kategoriden sabit bir topolojik uzay üzerine tanımlı yapı dönüşümleri ile verilen desteler (belli bir tipte, örneğin abel grupları destesi) vardır. Diğer taraftan, her sürekli göndermeye ilişkin dolaysız görüntü izleçi vardır, bu izleç, desteleri ve tanım kümesi üzerindeki yapı dönüşümlerini destelere ve görüntü kümesi üzerindeki yapı dönüşümlerine götürür.

Genel doğası ve çok yönlülüğü gereği destelerin topolojide, özellikle cebirsel ve türevli topolojide çeşitli uygulamaları vardır. İlk olarak, şema ya da türevlenir çok katlılar gibi birçok geometrik yapı, uzay üzerindeki halka desteleri cinsinden ifade edilebilirler. İkinci olarak desteler, genel eşbenzeti kuramı için bir çatı oluşturur. Bu kuram, sıradan topolojik eşbenzeti kuramlarını, örneğin tekil eşbenzeti kuramı, birleştirir. Özellikle cebirsel geometri ve karmaşık çok katlılar kuramında deste eşbenzeti kuramı, uzayın topolojik ve geometrik özellikleri arasında kuvvetli bir bağ kurar. Desteler ayrıca D-modülleri kuramı için de bir altyapı oluştururlar, bu kuram ise türevli denklemler kuramına yönelik uygulamaları olan bir kuramdır. Bunlara ek olarak topolojik uzaylar yerine daha genel haller için genelleştirilerek desteler matematiksel mantık ve sayılar kuramı için uygulama alanları sağlarlar.

Giriş

Topoloji, türevli topoloji ve cebirsel geometride topolojik uzay üzerinde tanımlı çeşitli yapılar doğal olarak uzayın altkümeleri üzerine yerelleştirilebilir ya da kısıtlanabilirler: Tipik örnekler arasında sürekli, gerçel ya da karmaşık-değerli fonksiyonlar, n kere türevlenebilir (gerçel ya da karmaşık-değerli) fonksiyonlar, sınırlı gerçel-değerli fonksiyonlar, vektör alanları ve uzay üzerindeki herhangi bir vektör demetinin kesitleri sayılabilir.

Ön desteler yukarıdaki örneklerin ortak özelliklerini soyutlarlar: Bir topolojik uzayın üzerinde ön deste (küme ön destesi), her U açık altkümesine bir F(U) kümesi (U 'nun kesiti denir) ve U açık altkümesi tarafından kapsanan her V açık altkümesine U'nun kesitlerinin V üzerine kısıtlamalarını veren bir F(U) → F(V) göndermesi iliştiren bir yapıdır. Yukarıdaki örnekler, fonksiyon, vektör alanı ve vektör demetinin kesitlerinin kısıtlamaları ile ön deste tanımlarlar. Dahası, bu örneklerin her birinde kesitler ek cebirsel yapıya sahiptirler: Noktasal tanımlı işlemler bir abel grubu tanımlar, gerçel ve karmaşık-değerli fonksiyon örneklerinde kesitlerin kümesi bir halka yapısına sahiptir. Bunlara ek olarak, her bir örnekte kısıtlama gönderimleri, karşılık gelen cebirsel yapının benzer yapı dönüşümleridir. Bu gözlemler destelerin doğal bir tanımını ortaya koyar: Kesit kümeleri belli bir cebirsel yapıya sahip olmalı ve kısıtlama gönderimleri benzer yapı dönüşümü olmalılar. Bu nedenle örneğin bir topolojik uzay üzerinde gerçel-değerli fonksiyonlar, uzay üzerinde bir halka ön destesi oluştururlar.

Tanımlar

Ön desteler

Desteler

Yapı Dönüşümleri

Örnekler

Çok katlılar üzerinde desteler

Deste olmayan ön desteler

Bir ön desteyi deste haline getirme

Destelerin görüntüleri

Deste yığınları

Halkalı uzaylar ve yerel halkalı uzaylar

Modül desteleri

Bir destenin durgun uzayı

Deste eşbenzetisi

Yerleşi and topolar

Tarihi

Ayrıca bakınız

Kaynakça

Dış bağlantılar

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Topoloji</span>

Topoloji, matematiğin ana dallarından biridir. Yunancada yer, yüzey veya uzay anlamına gelen topos ve bilim anlamına gelen logos sözcüklerinden türetilmiştir. Topoloji biliminin kuruluş aşamalarında yani 19. yüzyılın ortalarında, bu sözcük yerine aynı dalı ifade eden Latince analysis situs ür.

<span class="mw-page-title-main">Süreklilik</span> kesinti veya kopukluk eksikliği; uzayda veya zamanda sürekli olma niteliği

Matematikte, süreklilik, girdisi yeterince küçük miktarda değiştiğinde çıktısı da küçük miktarda değişen fonksiyonları ifade eder. Tek değişkenli gerçel fonksiyonlar için, "grafiğini el kaldırmadan çizebilme" şartının soyutlanmasıyla ulaşılmış bir kavramdır. Bunun geçerli olmadığı fonksiyonlara süreksiz fonksiyon denir.

Topolojik uzaylar, matematiğin Topoloji dalının başlıca uğraş konularıdır. Bir X kümesi ve bu kümenin alt kümelerinin bir kısmını içeren ve aşağıdaki varsayımları sağlayan S kümesinden oluşurlar:

Tıkızlık, topolojik uzayların sahip olabileceği başlıca özelliklerden biridir. Bir X uzayı ve birleşimleri X uzayını kaplayan herhangi bir açık kümeler topluluğu verildiğinde, bu topluluğun içinden sonlu sayıda açık küme hala X uzayını kaplayabiliyorsa, X uzayına tıkız (kompakt) denir. Gerçel sayılar kümesi (), üzerindeki standart topolojiye göre tıkız değildir, ancak ’nin her kapalı ve sınırlı alt kümesi altuzay topolojisine göre tıkızdır. Matematiğin diğer pek çok alanında olduğu gibi, sonsuz bir nesnenin sonlu bir nesneye indirgenebilmesi çok önemli avantajlar sağladığı için topoloji alanında ve topolojik yöntemler kullanan diğer alanlarda vazgeçilmez bir kavramdır.

<span class="mw-page-title-main">Soyut cebir</span> Matematiğin bir alanı

Soyut cebir veya soyut matematik, matematiğin bir alanı olup, cebirsel yapılar üzerinde çalışır. Cebirsel yapılar, elemanları üzerinde belirli işlemlerin uygulandığı kümelerdir ve gruplar, halkalar, alanlar, modüller, vektör uzayları, kafesler ve alan üzerindeki cebirler içerir. Soyut cebir terimi, 20. yüzyılın başlarında temel cebirden ayırmak amacıyla türetilmiştir. Soyut cebir ileri matematik için temel hale geldikçe basitçe "cebir" olarak adlandırılırken, "soyut cebir" terimi pedagoji dışında nadiren kullanılır.

<span class="mw-page-title-main">Çok katlı</span>

Çok katlı, topolojide soyut topolojik bir uzay. Bu uzayın her noktasının çevresi Öklit uzayına benzer. Bununla birlikte, çok katlı bir Öklit uzayı olmak zorunda değildir. Genel yapısı, bu basit yerel yapısından çok daha karmaşık olabilir. Çok katlının boyutu, yerel olarak benzediği Öklit uzayının boyutu olarak tanımlanır. Herhangi bir topolojik uzay içinse boyut kavramından söz etmek genelde olası değildir.

Bölüm topolojisi, bir topolojik uzaydan başka bir topolojik uzay elde etmenin klasik yollarından biridir. Bir topolojik uzayda kimi noktaların birbirine yapıştırılmasıyla (özdeşleştirilmesiyle) elde edilen yeni kümenin üzerine konacak bölüm topolojisi, bu yeni kümeyi yeni bir topolojik uzaya dönüştürür. Bu yeni uzaya bölüm uzayı denir. Örneğin [0,1] kapalı aralığı bir topolojik uzaydır. Bu uzayda 0 ve 1 noktaları özdeşleştirilir ve bu yeni kümeye bölüm topolojisi verilirse oluşturulan topolojik uzay düzlemde birim çember olur. Başka bir örnek: düzlemde yatan birim yarıçaplı dairenin kenarının üst tarafındaki her bir nokta kenarın alt tarafında karşılık gelen noktaya yapıştırılır ve bu yeni kümenin üzerine bölüm topolojisi konursa, bu topolojik uzay 3 boyutlu Öklit uzayında birim yarıçaplı küre olur.

<span class="mw-page-title-main">Karmaşık düzlem</span>

Matematikte karmaşık düzlem, gerçel eksen ve ona dik olan sanal eksen tarafından oluşturulmuş, karmaşık sayıların geometrik bir gösterimidir. Karmaşık sayının gerçel kısmının x-ekseni boyuncaki yer değiştirmeyle, sanal kısmının ise y-eksenindeki yer değiştirmeyle temsil edildiği değiştirilmiş bir Kartezyen düzlem olarak düşünülebilir.

<span class="mw-page-title-main">Tanım kümesi</span> işlevin tanımlandığı "giriş" veya bağımsız değişken değerleri kümesi

Matematikte verilmiş bir fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun tanımlı olduğu "girdi" değerlerinin oluşturduğu kümedir. Örneğin, kosinüsün tanım kümesi gerçel sayılar olurken karekök fonksiyonunun tanım kümesi 0 ve 0'dan büyük sayıların oluşturduğu negatif olmayan gerçel sayılar kümesidir. Fonksiyonun xy Kartezyen koordinat sistemindeki temsilinde, tanım kümesi x-ekseni (apsis) ile temsil edilir.

Topolojide tıkız-açık topoloji, bir topolojik uzaydan bir diğerine tüm sürekli gönderimlerin oluşturduğu küme üzerine konan bir topolojidir. Fonksiyonel analizde fonksiyon uzaylarına konan doğal bir topolojidir.

Pürüzsüz (gıcır) çokkatlı, türevli topolojide bir çeşit topolojik çokkatlı. Tanımı sayesinde, üzerinde türev alınabilir bir uzaydır. Örneğin türev ve integralin ilk tanımlandığı gerçel sayılar kümesi, 1 boyutlu pürüzsüz bir çokkatlıdır.

Topolojide altuzay topolojisi ya da tetiklenmiş topoloji, topolojik bir uzay içinde bir altkümeye konulabilecek en doğal topolojidir. Bu topoloji verilmiş altkümeyeyse (topolojik) altuzay denir.

More teorisi, diferansiyel topolojide, türevlenebilir çokkatlıların topolojisini anlamaya yönelik kuram. Amerikali matematikçi Marston Morse tarafından 1930'larda geliştirilmiştir. Raoul Bott, Stephen Smale, John Milnor ve Edward Witten'ın kuramın köklerine doğrudan katkılarıyla türevli topolojide standart bir yönteme dönüşmüştür.

<span class="mw-page-title-main">Cebirsel topoloji</span>

Cebirsel topoloji, topolojik uzayları cebirsel gereç ve yöntemlerle inceleyen matematik dalı. Matematikte bir kümenin üzerine döşenecek yapı, yönelinen matematik dalını belirler. Bir kümeye bir ya da birkaç işlem konarak sayılar kuramı ya da cebir yapmaya başlanabilir. Kümenin üzerine bir topoloji koyaraksa topoloji ve, ayrıca uzunluk koyarsak, geometri yapmaya başlanır. Üzerine topoloji konmuş bir uzayı incelemek için kimi cebirsel, aritmetik veya topolojik değişmezler tanımlanır; bunlar aracılığıyla topolojik uzayın özellikleri ayırdedilir. Örneğin tıkızlık, bağlantılılık, sayılabilirlik bu tür değişmezlerdir. Topolojik eşyapısal iki uzaydan biri bu değişmeze sahipse diğeri de buna sahip olmalıdır. Yani, eğer iki uzay için ayrı ayrı bakılan bir değişmez aynı değilse, bu iki uzay eşyapısal olmayacaktır. Yukarıda anılan en eski değişmezlerin hemen ardından inşa edilen klasik değişmezler cebirsel olanlardır.

Olasılık kuramında olay, kendisine bir olasılık değeri atanan sonuç kümesine verilen addır. Örnek uzayın sonlu olması durumunda bu kümenin herhangi bir altkümesi bir olay oluşturmaktadır. Ne var ki, bu yaklaşım örnek uzayın sonsuza uzandığı durumlarda işe yaramamaktadır. Bu nedenle, olasılık uzayı tanımlamalarında örnek uzayın bazı altkümeleri göz önüne alınmaz.

Fonksiyonlar, sahip oldukları özelliklere göre sınıflandırılabilir.

<span class="mw-page-title-main">Kök (matematik)</span>

Matematikte gerçel, karmaşık veya daha genel bir anlamda vektör değerli bir fonksiyonun kökü, fonksiyonun tanım kümesinde bulunan ve fonksiyonun 0 değerini aldığı noktalardır. Yani, eğer bir V kümesinden bir W vektör uzayına tanımlı bir fonksiyonu

Matematikte fonksiyon uzayı bir X kümesinden bir Y kümesine tanımlı fonksiyonların oluşturduğu kümeye verilen bir addır. Fonksiyonlar kümesi yerine fonksiyon uzayı denilmesinin nedeni matematiğin kendi içindeki uygulamalarında bu kümenin genellikle topolojik uzay veya vektör uzayı olarak ortaya çıkmasıdır.

Holomorf fonksiyonlar karmaşık analizin temel çalışma araçlarından biridir. Bu fonksiyonlar karmaşık düzlemin yani C'nin açık bir altkümesinde tanımlı, bu altkümedeki her noktada karmaşık anlamda türevli ve aldığı değerler yine C içinde olan fonksiyonlardır.

Matematikte, n boyutlu karmaşık koordinat uzayı, kompleks uzay ya da karmaşık uzay, sıralı tane karmaşık sayıdan oluşan uzaya verilen addır. Bu uzayın elemanlarına karmaşık (kompleks) vektör adı verilir. Uzay, tane karmaşık düzlemin Kartezyen çarpımıdır ve ile gösterilir; yani, veya değişkenlerinin her birine karmaşık (kompleks) koordinat denir.