İçeriğe atla

Descartes teoremi

Geometride Descartes teoremi, her dört öpüşen veya karşılıklı teğet çember için, çemberlerin yarıçaplarının belirli bir ikinci dereceden denklemi sağladığını belirtir. Bu denklemi çözerek, verilen üç karşılıklı teğet çembere teğet olan dördüncü bir çember oluşturulabilir. Teorem adını, 1643'te teoremi tanımlayan René Descartes'tan almıştır.

Tarihçe

Teğet çemberleri içeren geometrik problemler üzerinde bin yıldır düşünülmüştür. MÖ 3. yüzyılın antik Yunanistan'ında, Pergalı Apollonius günümüze ulaşmamış olan "De tactionibus (On tangencies)" adlı bütün bir kitabı bu konuya ayırdı.

René Descartes, 1643'te Pfalz Prensesi Elisabeth'e yazdığı bir mektupta problemi kısaca tartıştı. Aşağıdaki denklem (1)'de verilenle aynı çözümü buldu ve böylece adını teoreme verdi.

Frederick Soddy, denklemi 1936'da yeniden keşfetti. Bu problemdeki öpüşen çemberler bazen Soddy çemberleri olarak da bilinir, muhtemelen Soddy teoremin kendi versiyonunu The Nature'da (20 Haziran 1936) basılan The Kiss Precise adlı bir şiir şeklinde yayınlamayı seçtiği için. Soddy ayrıca teoremi kürelere genişletti; Thorold Gosset teoremi keyfi boyutlara genişletti.

Eğriliğin tanımı

Öpüşen çemberler: Üç adet karşılıklı teğet çember (siyah) verildiğinde, dördüncü bir teğet çemberin yarıçapı ne olabilir? Genel olarak iki olası cevap vardır (kırmızı).

Descartes teoremi, çemberlerin eğriliği açısından en kolay şekilde ifade edilir. Bir çemberin eğriliği (veya eğimi) k= ±1/r olarak tanımlanır, burada r çemberin yarıçapıdır. Bir çember ne kadar büyükse, eğriliği o kadar küçüktür ve bunun tersi de geçerlidir.

k = ±1/r ifadesindeki artı işareti, görüntüdeki üç siyah çember gibi, diğer çemberlere dıştan teğet olan bir çembere uygulanır. Diğer çemberleri çevreleyen büyük kırmızı çember gibi içten teğet bir çember için ise eksi işareti geçerlidir.

Düz bir çizgi, sıfır eğriliği (ve dolayısıyla sonsuz yarıçapı) olan dejenere bir çember olarak kabul edilirse, Descartes teoremi, bir doğru ve üçü karşılıklı teğet olan iki çembere de uygulanır, diğer iki çembere ve çizgiye teğet olan üçüncü bir çemberin yarıçapını verir.

Dört çember altı farklı noktada birbirine teğet ise ve çemberlerin eğrilikleri ki (i = 1, ..., 4) varsa, Descartes teoremi şöyle der:

   

 

 

 

 

(1)

   Verilen üç öpüşen çembere teğet dördüncü bir çemberin yarıçapını bulmaya çalışırken, denklem en iyi şekilde şöyle yazılır:

   

 

 

 

 

(2)

   ± işareti, genel olarak iki çözüm olduğu gerçeğini yansıtır. Düz bir çizginin dejenere durumu göz ardı edilirse, bir çözüm pozitiftir ve diğeri pozitif veya negatiftir; negatifse, (yukarıdaki diyagramda gösterildiği gibi) ilk üçünü çevreleyen bir çemberi temsil eder.

Probleme özgü kriterler, herhangi bir problemde bir çözümü diğerine tercih edebilir.

Özel durumlar

Çemberlerden biri, sıfır eğrili düz bir doğru ile değiştirilir. Descartes teoremi hala geçerlidir.
Burada, üç çemberin hepsi aynı noktada birbirine teğet olduğundan, Descartes teoremi geçerli değildir.

Üç çemberden biri düz bir çizgiyle değiştirilirse, o zaman bir ki, diyelim k3, sıfırdır ve denklem (1) 'den elenir. Denklem (2) daha sonra çok daha basit hale gelir:

   

 

 

 

 

(3)

   İki çemberin yerini doğrular alırsa, değiştirilen iki çember arasındaki teğet, iki değiştirme doğrusu arasında bir paralellik haline gelir. Dört eğrinin hepsinin karşılıklı olarak teğet kalması için, diğer iki çemberin kesişmesi gerekir. Bu durumda k2k3 = 0 ile, denklem (2) değersiz hale gelir.

Üç doğru ve bir çemberin karşılıklı teğet olması mümkün olmadığından, üç çemberi doğrularla değiştirmek mümkün değildir. Descartes teoremi, dört çemberin tümü aynı noktada birbirine teğet olduğunda geçerli değildir.

Diğer bir özel durum, ki'nin tam kare olduğu durumdur,

Euler, bunun Pisagor üçlülerinin eşzamanlı üçlüsüne eşdeğer olduğunu gösterdi.

ve parametrik bir çözüm verilebilir. Eğriliğin eksi işareti seçildiğinde,

bu[1] şu şekilde çözülebilir:

burada,

olup iyi bilinen parametrik çözümlerdir.

Kompleks Descartes teoremi

Bir çemberi tam olarak belirlemek için, sadece yarıçapı (veya eğriliği) değil, aynı zamanda merkezi de bilinmelidir. İlgili denklem, koordinatlar (xy) olarak gösterilmek üzere z = x + iy şeklinde karmaşık bir sayı olarak yorumlanır. Denklem daha sonra Descartes teoremine benzer görünür ve bu nedenle kompleks Descartes teoremi olarak adlandırılır.

Eğriliği ki ve merkezleri zi olan dört çember verildiğinde (i = 1 ... 4), denklem (1)'e ilave olarak aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

   

 

 

 

 

(4)

   Denklem (2) kullanılarak k4 bulunduktan sonra, denklem (4), denklem (2)'ye benzer biçimde tekrar yazılarak z4 hesaplanabilir:

Yine genel olarak, k4'ün iki çözümüne karşılık gelen z4 için iki çözüm vardır. Yukarıdaki z formülündeki artı/eksi işaretinin, k formülündeki artı/eksi işaretine karşılık gelmesi gerekmediğini unutmayın.

Genellemeler

Hiperbolik düzlemde genelleştirilmiş daireler

1886'da R. Lachlan tarafından gösterilmiş olmasına rağmen n boyuta genelleme bazen Soddy-Gosset teoremi olarak anılır. n -boyutlu Öklid uzayında, karşılıklı teğet (n1)-kürelerin maksimum sayısı n + 2'dir. Örneğin, 3 boyutlu uzayda, beş küre karşılıklı olarak teğet olabilir. Hiper kürelerin eğrilikleri aşağıdaki eşitliği sağlar:

teoremin 2 boyutlu versiyonuna tam benzer şekilde, düz bir hiper düzleme karşılık gelen ki = 0 durumu ile.

Karmaşık sayıların 3 boyutlu bir analojisi olmamasına rağmen, merkezlerin konumları arasındaki ilişki bir matris denklemi olarak yeniden ifade edilebilir ve bu da n boyuta genellenir.[2]

Ayrıca bakınız

  • Ford çemberleri
  • Apollon contası
  • Apollonius Problemi ("çember teğetlikleri")
  • Soddy altılısı
  • Çemberlere teğet doğrular
  • İzoperimetrik nokta

Notlar

  1. ^ "A Collection of Algebraic Identities: Sums of Three or More 4th Powers". 17 Nisan 2018 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Ekim 2020. 
  2. ^ Jeffrey C. Lagarias (Nisan 2002). "Beyond the Descartes Circle Theorem". The American Mathematical Monthly. 109 (4): 338-361. doi:10.2307/2695498. 

Konuyla ilgili yayınlar

  • Levrie, P. (2019), A Straightforward Proof of Descartes’s Circle Theorem. Math Intelligencer 41, ss. 24–27. https://doi.org/10.1007/s00283-019-09883-x
  • Lagarias, Jeffrey & Mallows, Colin & Wilks, Allan. (2001). Beyond the Descartes Circle Theorem. The American Mathematical Monthly. 109. 10.2307/2695498.
  • Jeff L’Heureux & Guthrie Scarr & Yasin Shtiui & Yang Tian. (2013). Descartes and the Apollonian Gasket, Makale 30 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • J. B. Wilker. (1969). Four Proofs of a Generalization of the Descartes Circle Theorem, The American Mathematical Monthly, 76:3, ss. 278-282, DOI: 10.1080/00029890.1969.12000194
  • Mara Holloway, (2015). Generalizations and Relationships of the Descartes Circle Theorem, Makale

Dış bağlantılar

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Analitik geometri</span>

Analitik geometri, geometrik çalışmaya cebrik analizi uygulayan ve cebrik problemlerin çözümünde geometrik kavramları kullanan bir matematik dalı. Bütün bunlar kartezyen sistem denilen bir koordinat sisteminin kullanılmasıyla mümkündür. Kartezyen kelimesi, batıda analitik geometride ilk bilimsel çalışmayı yapan René Descartes'tan gelmektedir.

<span class="mw-page-title-main">Yarıçap</span> merkezinden çevresine bir daire veya küre içinde bölüm veya yüzeyi ile uzunluğu

Yarıçap, bir daire veya kürenin özeğinin (merkezinin) çemberine olan mesafesidir. Çapın yarısına eşittir.

<span class="mw-page-title-main">Laplace denklemi</span>

Matematikte Laplace denklemi, özellikleri ilk defa Pierre-Simon Laplace tarafından çalışılmış bir kısmi diferansiyel denklemdir. Laplace denkleminin çözümleri, elektromanyetizma, astronomi ve akışkanlar dinamiği gibi birçok bilim alanında önemlidir çünkü çözümler bilhassa elektrik ve yerçekim potansiyeli ile akışkan potansiyelinin davranışını açıklar. Laplace denkleminin çözümlerinin genel teorisi aynı zamanda potansiyel teorisi olarak da bilinmektedir.

<span class="mw-page-title-main">Teğet</span>

Teğet, iki geometrik cismin, birbirlerine sadece bir noktadan temas ettiklerinde oluşan geometrik durum. İngilizcede tangent olarak anılan terimin kökeni Latince tangere (dokunuş) kelimesidir.

<span class="mw-page-title-main">Çevrel çember</span>

Çevrel çember, geometride, bir çokgenin tüm köşelerinden geçen çember. Bu çemberin merkezi çevrel özek olarak isimlendirilir.

Diofantos denklemi diğer bir adıyla Diophantine denklemleri adını M.S. 3. yüzyılda yaşadığı tahmin edilen Antik Yunan matematikçilerden Diofantos'dan alan değişkenleri ve katsayıları tam sayılar olan denklemlerdir. Diofantos Arithmetika adlı sadece 6 cildi günümüze ulaşan çalışmasında 130 denkleme ve bunların çözümlerine yer vermiştir.

<span class="mw-page-title-main">Birim çember</span> trigonometri ve mampo da çok işlemi olmuş bir çemberdi ve çok kolay bir yönetimi vardır birim çemberi matematiğin temelini olustur bu yüzden çok önemli bir cemberdir

Birim çember Matematikte, yarıçapı bir birim olan çembere birim çember denir. Çoğunlukla, özellikle trigonometride, Öklid düzlemine göre Kartezyen koordinat sisteminde, merkezi orijin üzerinde (0,0) olan ve yarıçapı bir birim olan çemberdir. n birim çember sıklıkla S1; olarak ifade edilir. Genellikle daha büyük boyutları ise birim küredir. (x,y) birim çember üzerinde bir nokta olduğunda, |x| ve |y|, dik olan ve hipotenüsü bir olan üçgenin diğer kenar uzunluklarıdır. Bu nedenle, Pisagor teoremine göre, x ve y bu denklemi karşılamaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Batlamyus teoremi</span> Öklid geometrisinde bir teorem

Öklid geometrisinde, Batlamyus teoremi, bir kirişler dörtgeninin dört kenarı ile iki köşegeni arasındaki bir ilişkiyi gösteridir. Teorem, Yunan astronom ve matematikçi Batlamyus'un adını almıştır. Batlamyus, teoremi astronomiye uyguladığı trigonometrik bir tablo olan kirişler tablosunu oluşturmaya yardımcı olarak kullandı.

<span class="mw-page-title-main">Kelebek teoremi</span> Bir çemberin başka iki kirişinin üzerinden çizilen kirişin orta noktası hakkındaki teorem

Kelebek teoremi, Öklid geometrisinin klasik bir sonucudur ve aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

<span class="mw-page-title-main">Bézout teoremi</span> aciklama

Bézout teoremi, cebirsel geometride n değişkenli n polinomun ortak sıfırlarının sayısı ile ilgili bir ifadedir. Orijinal biçiminde teorem, genel olarak ortak sıfırların sayısının, polinomların derecelerinin çarpımına eşit olduğunu belirtir. Adını Fransız matematikçi Étienne Bézout'dan almıştır.

Carnot teoremi, bir üçgenin iç teğet çemberi ve çevrel çemberinin yarıçaplarının uzunlukları ile çevrel çemberin merkezinden üçgenin üç kenarına olan mesafelerin toplamı arasındaki ilişkiyi göstermektedir. Fransız matematikçi Lazare Nicolas Marguerite Carnot tarafından bulunmuştur.

Matematikte, genelleştirilmiş Batlamyus teoremi olarak da bilinen Casey teoremi, adını İrlandalı matematikçi John Casey'den alan Öklid geometrisindeki bir teoremdir.

<span class="mw-page-title-main">Çember sıkıştırma teoremi</span>

Çember sıkıştırma teoremi, düzlemde iç kısımları ayrık olan çemberler arasındaki olası teğetlik ilişkilerini tanımlar. Dairesel sıkıştırma, içleri ayrık olan bağlantılı bir çember koleksiyonudur. Bir çember sıkıştırmasının kesişme çizgesi (grafı), her çember için bir tepe noktasına ve teğet olan her çember çifti için bir kenara sahip olan çizgedir. Çember sıkıştırma, düzlemde veya eşdeğer olarak küre üzerindeyse, kesişme çizgesine madeni para (coin) çizgesi denir; daha genel olarak, iç-ayrık geometrik nesnelerin kesişme çizgelerine, teğetlik çizgeleri veya temas çizgeleri denir. Madeni para çizgeleri her zaman bağlı, basit ve düzlemseldir. Çember sıkıştırma teoremi, bunların bir çizgenin madeni para çizgesi olması için tek gereklilik olduğunu belirtir:

<span class="mw-page-title-main">Eş iç teğet çemberler teoremi</span>

Geometride, eş iç teğet çemberler teoremi bir Japon Sangaku'sundan türetilir ve aşağıdaki yapıya ilişkindir: belirli bir noktadan belirli bir çizgiye bir dizi ışın çizilir, öyle ki bitişik ışınlar ve taban çizgisi tarafından oluşturulan üçgenlerin iç teğet çemberleri eşittir. Çizimde eş mavi çemberler, açıklandığı gibi ışınlar arasındaki mesafeyi tanımlar.

Geometride demet teoremi; en basit durumda, gerçek Öklid düzlemindeki altı çember ve sekiz nokta üzerine bir ifadedir. Genel olarak, sadece oval Möbius düzlemleri tarafından meydana getirilen bir Möbius düzleminin bir özelliğidir. Demet teoremi Miquel teoremi ile karıştırılmamalıdır.

Leonhard Euler'in temel dörtgen geometrisindeki birçok sonucundan biri, iç içe uzanan iki belirli çember için Öklid düzleminde, hem daha büyük çemberin kirişler dörtgeni hem de daha küçük olana teğet olan bir teğetler dörtgeni olan bir dışbükey dörtgen bulunması problemiyle ilgilidir. Euler bunun için, dairenin merkezi ile bir düzlem üçgenin merkezi arasındaki mesafeye ilişkin teoremindekiyle yakından ilişkili olan bir denklem buldu. Denklemin ilk yayınlanmış sunumu ve türetilmesi, Euler'in sekreteri Nikolaus Fuß tarafından 1798'de sağlandı.

<span class="mw-page-title-main">Çift merkezli çokgen</span>

Geometride, çift merkezli (bicentric) çokgen, teğet bir çokgendir ve aynı zamanda döngüsel yani kirişler dörtgenidir - yani, çokgenin her köşesinden geçen bir çevrel çember içine çizilmiştir. Tüm üçgenler ve tüm düzgün çokgenler çift merkezlidir. Öte yandan, kenarları eşit olmayan bir dikdörtgen çift merkezli değildir, çünkü hiçbir çember dört kenara da teğet olamaz.

<span class="mw-page-title-main">Feuerbach noktası</span>

Üçgen geometrisinde, üçgenin iç çemberi ve dokuz nokta çemberi, üçgenin Feuerbach noktasında birbirine içten teğettir. Feuerbach noktası bir üçgen merkezidir, yani tanımı üçgenin yerleşimine ve ölçeğine bağlı değildir. Clark Kimberling'in Üçgen Merkezleri Ansiklopedisi'nde X(11) olarak listelenmiştir ve adını Alman geometrici Karl Wilhelm Feuerbach'tan almıştır.

<span class="mw-page-title-main">Çift merkezli dörtgen</span>

Öklid geometrisinde, bir çift merkezli dörtgen, hem bir iç teğet çembere hem de çevrel çembere sahip olan bir dışbükey (konveks) dörtgendir. Bu çemberlerin çevreleri, yarıçapları ve merkezlerine sırasıyla iç çap (inradius) ve çevrel çap (circumradius), iç merkez (incenter) ve çevrel merkez (circumcenter) denir. Tanımdan, çift merkezli dörtgenlerin hem teğetler dörtgeninin hem de kirişler dörtgeninin tüm özelliklerine sahip olduğu anlaşılmaktadır. Bu dörtgenler için diğer isimler kiriş-teğet dörtgeni ve iç teğet ve dış teğet dörtgenidir. Ayrıca nadiren çift çemberli dörtgen ve çift işaretlenmiş dörtgen olarak adlandırılmıştır.

<span class="mw-page-title-main">Çevre açı</span>

Geometride, çevre açı, çember üzerinde iki sekant (kesen) çizgisi kesiştiğinde bir çember üzerinde oluşan açıdır. Çember üzerindeki bir nokta ile çember üzerinde verilen diğer iki noktanın oluşturduğu açı olarak da tanımlanabilir.