Darcy-Weisbach eşitliği

Akışkanlar dinamiğinde Darcy-Weisbach eşitliği, uzun bir boruda akan bir sıvının sürtünme kaynaklı yük ve basınç kaybıyla alakalı olaybilimsel bir eşitliktir. Eşitlik ismini Henry Darcy ve Julius Weisbach'tan almaktadır. Darcy-Weisbach eşitliği Darcy sürtünme faktörü olarak da bilinen boyutsuz sürtünme faktörünü içerir. Ayrıca Darcy-Weisbach sürtünme faktörü ve Moody sürtünme faktörü olarak da bilinir. Darcy sürtünme faktörü 4 katı olduğu Fanning sürtünme faktörü ile karıştırılmamalıdır.^[1]

Yük kaybı ;

${\displaystyle h_{f}=f_{D}\cdot {\frac {L}{D}}\cdot {\frac {{\bar {V}}^{2}}{2g}}}$

formülü ile hesaplanabilir.

• h_f sütünmeden kaynaklı yük kaybı (SI birim: m);
• L borunun uzunluğu(m);
• D borunun hidrolik çapı (borunun dairesel kesiti için iç çapa eşittir) (m);
• V ortalama akış hızı (hacimsel akış ile birim zamanda ıslanan alan oranı) (m/s);
• g yerçekimi ivmesi (m/s²);
• f_D boyutsuz Darcy sürtünme faktörü.

Akışkanın bir kolon yüksekliği, yük kaybı da kullanılarak basınç kaybı Δp olarak açıklanabilir.

${\displaystyle \Delta p=\rho \cdot g\cdot h_{f}}$

ρ: akışkanın yoğunluğu. Darcy-Weisbach eşitliği aynı zamanda basınç kaybı için de yazılabilir:^[2]

${\displaystyle \Delta p=f_{D}\cdot {\frac {L}{D}}\cdot {\frac {\rho V^{2}}{2}}}$

Sürtünmeden kaynaklı basınç kaybı Δp (Pa) :

• boru uzunluğunun botu çaıpına oranına, L/D;
• sıvının yoğuluğuna, ρ (kg/m³);
• ortalama akış hızına, V (m/s),
• Darcy sürtünme faktörüne f_D bağlı bir fonksiyondur.

Basınç kaybı eşitliği, yük kaybı eşitliğinin iki tarafınıda ρ ve g ile çarparak türetilebilir.

Ayrıca bakınız Darcy sürtünme faktörü formülü

Sürtünme faktörü f_D ve akış katsayısı λ sabit değildir ve borunun değişkenlerine ve akış hızına bağlı olarak değişim gösterir ancak belirgin akış bölgelerinde yüksek kesinliği bilinmektedir. Çeşitli deneysel veya teorik ilişkilendirmeler kullanılarak hesaplanabilirken, yayınlanmış çizelgelerden de edinilebilir. Bu çizelgeler Moody Şemaları olarak da bilinir ve faktörün kendisi de Moody sürtünme faktörü olarak adlandırılır. Yayınladığı yaklaşık formül sonrasında Blasius sürtünme faktörü olarak da adlandırılmıştır.

Yavaş akışlar için Poiseville Yasası'nın bir sonucudur. λ = 64/Re,, Re:Borunun hidrolik çapının özgün uzunluğunun ikame edilmesiyle hesaplanan Reynold sayısı.

Hızlı akışlarda sürtünme faktörünü bulmak için Moody Şeması kullanılır ya da Celebrook-White eşitliği veya Swamee-Juin eşitliği gibi eşitlikler çözülür. Şema ve Celebrook-White eşitliği tekrarlanan metotlarken Swamee-Juin eşitliği tamamen dolu bir akış için sürtünme faktörüne direkt ulaşmayı sağlar.

Darcy-Weisbach sürtünme faktörünün f_D, Fanning sürtünme faktöründen f 4 kat daha büyük olduğu herhangi bir işleme başlamadan ya da çizelge kullanılmadan önce not edilmelidir. Darcy-Weisbach faktörü inşaat ve matematik mühendisleri tarafından, Fanning sürtünme faktörü ise kimya mühendisleri tarafından yaygın kullanılır.

${\displaystyle \Delta p=f_{D}\cdot {\frac {L}{D}}\cdot {\frac {\rho V^{2}}{2}}=f\cdot {\frac {L}{D}}\cdot {2\rho V^{2}}}$

Çoğu çizelge ve tablo sürtünme faktörünün tipini belirtir, en azından yavaş akış için formülü verir. Eğer ki yavaş akış için formül f = 16/Re ise Fanning faktörü f, eğer formül f_D = 64/Re ise Darcy-Weisbach sürtünme faktörü f_D'dir.

Moody şeması kullanırken eğer ki yayıncı formuülü belirtmediyse, formuülü şemadan çıkarmak için şu adımlar uygulanır;

1. Yavaş akış için Reynold Sayısı 1000'e denk gelen sürtünme faktörü gözlemlenir.
2. Eğer ki sürtünme faktörü 0.064 ise Darcy sürtünme faktörü işlenmiş demektir. Sayıdaki sıfır olmayan değerlerformülün pay kısmıdır. f_D = 64/Re.
3. Eğer ki sürtünme faktörünün değeri 0.016 ise Fanning sürtünme faktörü işlenmiş demektir. Sayıdaki sıfır olmayan değerler formülün pay kısmıdır. f = 16/Re.

Yukarıdaki işleyiş 10'un kuvvetleri şeklindeki bütün Reynold sayıları için aynıdır. Sayının 1000 olması değil 10'un kuvveti olması önemlidir.

Tarihsel olarak bu eşitlik Prony Eşitliği'nin bir değişkeni olarak ortaya çıkmıştır ve bu değişken Fransa'dan Henry Darcy tarafından geliştirilmiştir ve Saksonya'da Julius Weisbach tarafından 1854'te bugünkü şekline büründürülmüştür. İlk başlarda sürtünmenin hıza göre çeşitlenmesindeki bilgi bir eksiklikti. Bu yüzde Darcy-Weisbach eşitliği ilk olarak deneysel Prony vakalarında çok işe yaradı. Sonraki yıllarda sadece kesin bilinen akış bölgelerinde geçerli deneysel eşitlikler lehine çok özel durumlardan sakınıldı. Hesaplamalarda çok daha basit lan Hazen-Williams veya Mannings eşitlikleri kullanılırdı. Hesap makinelerinin icadından sonra hesaplama yapmak basitleştiği için Darcy-Weisbach eşitliği tekrar tercih edilmeye başlandı.

Darcy-Weisbach eşitliği boyutsal analizler sonucu elde edilen olaybilimsel bir formüldür.

Borunun uçlarından uzakta akışın özellikleri bulunduğu yerden bağımsızdır. Anahtar özellikler birim uzunluktaki basınç kaybı Δp/L ve hacimsel akış oranıdır. Akış oranı ıslanan alana bölünerek ortalama hıza dönüştürülebilir. (Borunun tamamı suyla doluysa kesit alana eşittir.)

Basınç, birim hacim başına düşen boyutsal enerjidir. Öyleyse iki nokta arasındaki basınç kaybı(1/2)ρV² ile orantılı olmalıdır. (Birim hacim başına düşen kinetik enerji ile aynı açılım.) Aynı zamanda birim uzunlukta basınç kaybı sabitken basıncın iki nokta arasındaki uzaklıkla da orantılı olduğunu biliyoruz. Bu ilişkiyi boyutsuz niceliğin orantılı katsayısına çevirmek için hidrolik çapa,D, bölebiliriz. Bu da boru boyunca sabittir, öyleyse;

${\displaystyle \Delta p\propto {\frac {L}{D}}\cdot {\frac {1}{2}}\rho V^{2}.}$

Orantılı katsayı Darcy sürtünme faktörü ya da akış katsayısıdır. Bu boyutsuz katsayıπ, Reynold sayısı ve de borunun göreceli sertliğinin bir birleşimidir.

Takip eden sebeplerden ötürü (1/2)ρV² birim hacimden akan sıvının kinetik enerjisi değildir. Yavaş akışta bile bütün akış çizgileri borunun uzunluğuna paraleldir, iç yüzeydeki akış hızı ağdalılıktan ötürü sıfırdır ve borunun merkezindeki akış hızı, akış oranının ıslak alana bölünmesiyle elde edilen ortalama hızdan yüksek olmalıdır. Ortalama kinetik enerji hızın ortalama karesini içerir ve her zaman ortalama hızın karesini aşar. Hızlı akış durumunda akışkan her yöne rastgele, boruya dik olanlar dahil olmak üzere hız bileşenleri kazanır ve burgaç birim hacime düşen kinetik enerjiye katkı sağlar ancak hızın uzunlamasına ortalamasına katkısı yoktur.

Hidrolik mühendislik uygulamalarında borudaki yük kaybını hacimsel akış oranı cinsinden açıklamak için çok tercih edilir. Bunun için Darcy-Weisbach eşitliğinin aşağıdaki şekli kullanılır;

${\displaystyle V^{2}={\frac {Q^{2}}{A_{w}^{2}}}}$

• V akışkanın ortalama hızı. Birim ıslanan kesit alnında hacimsel akış oranına eşittir (m/s);
• Q hacimsel akış oranı (m³/s);
• A_w ıslak kesit alanı (m²).

Rastgele dolu bir boru için A_w değeri tam olarak bilinemez. Borunun eğimi, kesitsel şekil, akış oranı ve diğer değişkenlere bağlı bir örtük fonksiyona dönüşür. Boru tam dolu kabul edilirse;

${\displaystyle A_{w}^{2}=\left({\frac {\pi D^{2}}{4}}\right)^{2}={\frac {\pi ^{2}D^{4}}{16}}}$

D borunun çapı.

Bu sonuçları orijinal formülde yerine yazarsak yük kaybını hacimsel akış oranı cinsinden tamamen akışlı dairesel bir boru için bulabiliriz:

${\displaystyle h_{f}={\frac {8f_{D}LQ^{2}}{g\pi ^{2}D^{5}}}}$

• Su borusu
• Hagen-Poiseuille eşitliği

• De Nevers (1970), Fluid Mechanics, Addison–Wesley, ISBN 0-201-01497-1 
• Shah, R. K.; London, A. L. (1978), "Laminar Flow Forced Convection in Ducts", Supplement 1 to Advances in Heat Transfer, New York: Academic 
• Rohsenhow, W. M.; Hartnett, J. P.; Ganić, E. N. (1985), Handbook of Heat Transfer Fundamentals (2. bas.), McGraw–Hill Book Company, ISBN 0-07-053554-X 

• Darcy–Weisbach Eşitliğinin Tarihi
• Boruda Basınç Kaybı Hesaplayıcısı -tek fazlı akış için- 13 Temmuz 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Boruda Basınç Kaybı Hesaplayıcısı 13 Temmuz 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.-iki fazlı akış için-. 13 Temmuz 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Basınç Kaybı Hesaplayıcısı İçin Açık Kaynak 13 Temmuz 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.. 7 Ekim 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Tüpler ve Borularda Basınç Kaybı Hesaplamaları İçin Web Uygulamaları 5 Eylül 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.