İçeriğe atla

Düzlemsel eğri

Bir Hipotrokoid (Deltoid) animasyonu.

Matematikte, bir düzlem eğrisi veya düzlemsel eğri, bir düzlem içinde yer alan (yani tüm noktaları düzlem içinde kalan) bir eğri olup söz konusu düzlem, bir Öklid düzlemi, bir afin düzlem veya bir projektif düzlem olabilir. En sık çalışılan durumlar, düzgün düzlem eğrileri (parçalı düzgün düzlem eğrileri dahil) ve cebirsel düzlem eğrisidir.

Düzlem eğrileri ayrıca Jordan eğrisini (düzlemin bir bölgesini çevreleyen ancak düzgün olması gerekmeyen eğriler) ve sürekli fonksiyonların grafiklerini de içerir.

Sembolik gösterim

Bir düzlem eğrisi genellikle Kartezyen koordinatlarda belirli bir f fonksiyonu için şeklinde bir örtük denklem ile temsil edilebilir. Bu denklem y veya x için açık bir şekilde çözülebilirse -yani, belirli bir g veya h fonksiyonu için veya olarak yeniden yazılabilirse- bu, temsilin alternatif, açık bir biçimini sağlar. Bir düzlem eğrisi genellikle Kartezyen koordinatlarda, belirli ve fonksiyonları için biçimindeki bir parametrik denklem ile de gösterilebilir.

Düzlem eğrileri bazen her noktanın konumunu bir açı ve orijinden uzaklık cinsinden ifade eden kutupsal koordinatlar gibi alternatif koordinat sistemi ile de gösterilebilir.

Düzgün düzlem eğrisi

Düzgün düzlem eğrisi, gerçel Öklid düzlemi içinde bir eğridir ve tek boyutlu bir düzgün manifolddur. Bu, düzgün bir düzlem eğrisinin "yerel olarak bir doğru gibi görünen" bir düzlem eğrisi olduğu anlamına gelir, yani her noktanın yakınında, bir düzgün fonksiyon tarafından bir doğruya eşlenebilir.

Eşdeğer olarak, düzgün bir düzlem eğrisi yerel olarak denklemiyle verilebilir, burada bir düzgün fonksiyondur ve ile kısmi türevleri, eğrinin bir noktasında asla her ikisi birlikte 0 değildir.

Cebirsel düzlem eğrisi

Cebirsel düzlem eğri, bir polinom denklemi (veya ile verilen afin veya projektif düzlem içindeki bir eğridir, burada F projektif durumda bir homojen polinomdur).

Cebirsel eğriler, 18. yüzyıldan beri kapsamlı bir şekilde çalışılmaktadır.

Her cebirsel düzlem eğrisinin bir derecesi vardır, tanımlayıcı denklemin derece, bir cebirsel olarak kapalı cisim olması durumunda, eğrinin genel konumdaki bir doğruyla kesişme sayısına eşittir. Örneğin, denklemiyle verilen dairenin derecesi 2'dir.

Derecesi 2 olan tekil olmayan düzlem cebirsel eğrilere konik kesitler denir ve bunların izdüşümsel tamamlanması çemberinin izdüşümsel tamamlanmasıyla izomorfiktir (yani denkleminin izdüşümsel eğrisi). Derecesi 3 olan düzlem eğrilere kübik düzlem eğriler ve eğer tekil değillerse eliptik eğriler denir. Derecesi 4 olanlar kuartik düzlem eğriler olarak adlandırılır.

Örnekler

Çok sayıda düzlem eğrisi örneği Eğriler galerisinde gösterilmiş ve Eğriler listesinde listelenmiştir. Derecesi 1 veya 2 olan cebirsel eğriler burada gösterilmektedir (derecesi 3'ten küçük olan cebirsel eğriler her zaman bir düzlem içinde yer alır):

Ad Örtük denklem Parametrik denklemBir fonksiyon olarak grafik
Düz çizgi
Çemberframless
Parabol
Elipsframless
Hiperbol

Ayrıca bakınız

Kaynakça

  • Coolidge, J. L. (28 Nisan 2004), A Treatise on Algebraic Plane Curves, Dover Publications, ISBN 0-486-49576-0 .
  • Yates, R. C. (1952), A handbook on curves and their properties, J.W. Edwards, ASIN B0007EKXV0 .
  • Lawrence, J. Dennis (1972), A catalog of special plane curvesÜcretsiz kayıt gerekli, Dover, ISBN 0-486-60288-5 .

Dış bağlantılar

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Türev</span> Fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimini hesaplama tekniğidir.

Matematikte türev, bir fonksiyonun tanımlı olduğu herhangi bir noktada değişim yönünü veya hızını veren temel bir kavramdır. Tek değişkenli bir fonksiyonun tanım kümesinin belli bir noktasında türevi, fonksiyonun grafiğine bu noktada karşılık gelen değerde çizilen teğet doğrunun eğimidir. Teğet doğru, tanım kümesinin bu noktasında fonksiyonun en iyi doğrusal yaklaşımıdır. Bu nedenle türev genellikle anlık değişim oranı ya da daha açık bir ifadeyle, bağımlı değişkendeki anlık değişimin bağımsız değişkendeki anlık değişime oranı olarak tanımlanır. Bir fonksiyonun türevini teorik olarak bulmaya türev alma denilir. Eğer bir fonksiyonun tanım kümesindeki her değerinde hesaplanan türev değerlerini veren başka bir fonksiyon varsa, bu fonksiyona eldeki fonksiyonun türevi denir.

Laplasyen , skaler bir alanının gradyanı alınarak elde edilen vektörün diverjansıdır. Fizikteki birçok diferansiyel denklem laplasyen içerir.

<span class="mw-page-title-main">Navier-Stokes denklemleri</span> Akışkanların hareketini tanımlamaya yarayan denklemler dizisi

Navier-Stokes denklemleri, ismini Claude-Louis Navier ve George Gabriel Stokes'tan almış olan, sıvılar ve gazlar gibi akışkanların hareketini tanımlamaya yarayan bir dizi denklemden oluşmaktadır.

<span class="mw-page-title-main">Karmaşık analiz</span>

Karmaşık analiz ya da başka bir deyişle kompleks analiz, bir karmaşık değişkenli fonksiyonları araştıran bir matematik dalıdır. Bir değişkenli karmaşık analize ya da çok değişkenli karmaşık analizle beraber tümüne karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi de denilir.

<span class="mw-page-title-main">Laplace denklemi</span>

Matematikte Laplace denklemi, özellikleri ilk defa Pierre-Simon Laplace tarafından çalışılmış bir kısmi diferansiyel denklemdir. Laplace denkleminin çözümleri, elektromanyetizma, astronomi ve akışkanlar dinamiği gibi birçok bilim alanında önemlidir çünkü çözümler bilhassa elektrik ve yerçekim potansiyeli ile akışkan potansiyelinin davranışını açıklar. Laplace denkleminin çözümlerinin genel teorisi aynı zamanda potansiyel teorisi olarak da bilinmektedir.

<span class="mw-page-title-main">Cauchy integral teoremi</span> Matematiksel analiz ile ilgili bir teorem

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde, Augustin Louis Cauchy'nin ismine atfedilen Cauchy integral teoremi, karmaşık düzlemdeki holomorf fonksiyonların çizgi integralleri hakkında önemli bir teoremdir.

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde Augustin Louis Cauchy ve Bernhard Riemann'a atfen Cauchy-Riemann denklemleri olarak adlandıran denklemler, türevlenebilir bir fonksiyonun açık bir kümede holomorf fonksiyon olması için gerekli ve yeterli şartları sağlayan kısmi diferansiyel denklemlerdir. Bu denklemler sistemi ilk defa Jean le Rond d'Alembert'in 1752 yılındaki çalışmasında ortaya çıkmıştır. Daha sonra, 1777 yılındaki çalışmasıyla Leonhard Euler bu sistemi analitik fonksiyonlarla ilişkilendirmiştir. Cauchy ise bu sistemi 1814'teki çalışmasındaki fonksiyonlar teorisinde kullanmıştır. Riemann'ın fonksiyonlar teorisi üzerine olan doktora tezinin tarihi ise 1851'dir.

<span class="mw-page-title-main">Açıkorur gönderim</span>

Matematikte açıkorur gönderim ya da açıkorur dönüşüm tanımlı olduğu kümenin her noktasında yerel olarak açıları koruyan bir fonksiyona verilen addır. Bu tanımı haliyle, açıkorur gönderimlerin her zaman uzunlukları koruması ya da yönleri koruması beklenmez.

Cebirsel geometri, matematiğin bir dalıdır. Adından anlaşılabileceği gibi, soyut cebirin, özellikle değişmeli cebirin yöntemleri ile geometrinin dili ve problemlerini bir araya getirir. Çağdaş matematik içerisinde merkezi bir rol üstlenmesinin yanında, karmaşık analiz, topoloji, sayılar kuramı gibi matematiğin diğer dallarıyla yakın ilişkisi vardır.

<span class="mw-page-title-main">Cebirsel topoloji</span>

Cebirsel topoloji, topolojik uzayları cebirsel gereç ve yöntemlerle inceleyen matematik dalı. Matematikte bir kümenin üzerine döşenecek yapı, yönelinen matematik dalını belirler. Bir kümeye bir ya da birkaç işlem konarak sayılar kuramı ya da cebir yapmaya başlanabilir. Kümenin üzerine bir topoloji koyaraksa topoloji ve, ayrıca uzunluk koyarsak, geometri yapmaya başlanır. Üzerine topoloji konmuş bir uzayı incelemek için kimi cebirsel, aritmetik veya topolojik değişmezler tanımlanır; bunlar aracılığıyla topolojik uzayın özellikleri ayırdedilir. Örneğin tıkızlık, bağlantılılık, sayılabilirlik bu tür değişmezlerdir. Topolojik eşyapısal iki uzaydan biri bu değişmeze sahipse diğeri de buna sahip olmalıdır. Yani, eğer iki uzay için ayrı ayrı bakılan bir değişmez aynı değilse, bu iki uzay eşyapısal olmayacaktır. Yukarıda anılan en eski değişmezlerin hemen ardından inşa edilen klasik değişmezler cebirsel olanlardır.

Matematikte, Poisson denklemi elektrostatik, makine mühendisliği ve teorik fizik'de geniş kullanım alanına sahip eliptik türdeki Kısmi diferansiyel denklemlerdir. Fransız matematikçi, geometrici ve fizikçi olan Siméon Denis Poisson'dan sonra isimlendirilmiştir. Poisson denklemi

Matematikte, Green kuramı basit, kapalı bir C eğrisi etrafındaki çizgi integrali ile C eğrisinin sınırlandırdığı D düzlem bölgesi üzerindeki çift katlı integral arasındaki ilişkiyi verir. Teorem adını matematikçi George Green'den almıştır ve daha genel hâli olan Stokes teoreminin iki boyuttaki özel durumudur.

<span class="mw-page-title-main">Eliptik eğri kriptografisi</span>

Eliptik Eğri Kriptolojisi, sonlu cisimler üzerindeki eliptik eğrilerin cebirsel topolojisine dayanan bir açık anahtar şifrelemesidir. Eliptik Eğri Kriptolojisi, diğer şifrelemeler göre daha küçük anahtar boyuna ihtiyaç duyar.

<span class="mw-page-title-main">Lagrange mekaniği</span> Klasik mekaniğin yeniden formüle edilmesi

Lagrange mekaniği, klasik mekaniğin yeniden formüle edilmesidir. İtalyan-Fransız matematikçi ve astronom Joseph-Louis Lagrange tarafından 1788’de geliştirilmiştir.

Fourier optiği dalgaların yayılma ortamını kendisinin doğal modu olduğunu kabul etmek yerine, belirli bir kaynağa sahip olmayan düzlemsel dalgaların üstdüşümlerin olarak addeden Fourier dönüşümlerini kullanan klasik optiğin bir çalışma alanıdır. Fourier optiği, dalgayı patlayan bir küresel ve fiziksel olarak Green's fonksiyon denklemleriyle tanımlanabilen tanımlanabilen ve bu kaynağından dışarıya ışıma yapan dalganın üstdüşümü olarak adddeden Huygens-Fresnel prensibinin ikizi olarak da görülebilir.

Tam diferansiyel denklem veya Sağın diferansiyel denklem fizikte ve mühendislikte sıklıkla kullanılan bir tür adi diferansiyel denklemdir.

Montgomery Eğrisi Peter L. Montgomery tarafından 1987'de tanımlanmış, klasik Weierstrass formundan farklı bir eliptik eğri formudur. Belirli hesaplamalar için ve özellikle farklı kriptografi uygulamalarında kullanılır.

<span class="mw-page-title-main">Bézout teoremi</span> aciklama

Bézout teoremi, cebirsel geometride n değişkenli n polinomun ortak sıfırlarının sayısı ile ilgili bir ifadedir. Orijinal biçiminde teorem, genel olarak ortak sıfırların sayısının, polinomların derecelerinin çarpımına eşit olduğunu belirtir. Adını Fransız matematikçi Étienne Bézout'dan almıştır.

<span class="mw-page-title-main">Parametrik denklem</span>

Matematikte, bir parametrik denklem, bir grup niceliği parametreler olarak adlandırılan bir veya daha fazla bağımsız değişkenin fonksiyonları olarak tanımlar. Parametrik denklemler genellikle bir eğri veya yüzey gibi geometrik bir nesneyi oluşturan noktaların koordinatlarını ifade etmek için kullanılır ve sırasıyla parametrik eğri ve parametrik yüzey olarak adlandırılır. Bu gibi durumlarda, denklemler, toplu olarak nesnenin parametrik temsili veya parametrik sistem, veya parametrelendirilmesi olarak adlandırılır.

<span class="mw-page-title-main">Deltoid eğrisi</span> düzlem eğri, 3-çentikli hiposikloid

Geometride, triküspoid eğri veya Steiner eğrisi olarak da bilinen deltoid eğri, üç çentikten oluşan bir hiposikloiddir. Başka bir deyişle, bir çemberin çevresi üzerindeki bir noktanın, yarıçapının üç veya bir buçuk katı olan bir çemberin içinde kaymadan yuvarlanırken oluşturduğu yuvarlanma eğrisidir. Adını, benzediği büyük Yunanca delta (Δ) harfinden alır.