İçeriğe atla

Düşen cisim denklemleri

Birtakım dinamik denklemler, normal şartlar altında yerçekimi kuvvetinin etkisiyle hareket etmekte olan cisimlerin doğrultularını tanımlamaktadır. Örneğin; Newton'un genel yerçekimi yasası,F = mg.(m cismin kütlesi). Bu varsayım dünya yüzeyinden kısa mesafede düşmekte olan cisimler için kabul edilmesine karşın uzun mesafede serbest düşüş yapan cisimler, için tam olarak doğru değildir.

Not:Bu makalede hava sürtünmesi göz önünde bulunulmamıştır.

Tarihçe

Kabul edilebilir bir yükseklikten düşmekte olan cisimler için kullanılan, hava sürtünmesinin yok sayıldığı bu denklemlerde limit hıza çok çabuk ulaşılmaktadır. Hava sürtünmesi, kullanılan cismin geometrik şekline ve büyüklüğüne bağlı olarak değişkenlik göstermektedir, — örneğin, bu denklemi ağırlığı çok düşük olan bir tüy için kullanmak, hava sürtünmesi çok fazla olduğu için ne yazık ki yanlış olur (Astronot David Scott tarafından atmosfer olmayan bir ortamda bir tüy ve çekice aynı işlem uygulandığında iki cismin de aynı hızda düşüş yaptığı gözlemlenmiştir).

Bu denklem aynı zamanda dünyanın dönüşünü de yok saymaktadır. Ancak yine de denklem fazla yüksekten atılmayan (örneğin; insan yapımı büyük binalardan atılmadığı sürece) cisimler için yeterince isabetli sonuçlar vermektedir.

Genel Bakış

Başlangıçta durmakta olan bu cisim bırakıldığında yerçekimi etkisiyle serbest düşüşe başlar. Bu düşüşte alınan yol geçen sürenin karesiyle orantılıdır. Bu resimde, top düşüşe bırakıldıktan 0,05 saniye geçtikten sonra top bir ünite (yaklaşık 12 mm), yol almıştır. 0,10 saniye geçtikten sonra toplamda 4 ünite yol, 0,15 saniye sonra 9 ünite yol alır ve böyle devam eder.

Dünya yüzeyine yakın noktalarda yerçekimi kuvveti yaklaşık olarak g = 9.81 m/s2 kadardır. Diğer gezegenler için, yerçekimi kuvveti g nin uygun ölçek çarpanı ile çarpılmasıyla elde edilir. Yerçekimi kuvveti g için birimleri d, t ve v büyüklükler çok önemlidir. Uluslararası Birimler Sistemine(SI) göre, "g m/skare olarak ölçülür. Bunun için d metre olarak, t saniye olarak ve v m/s olarak ölçülüp uyarlanmalıdır".

İlgili tüm durumlarda, cisim durağan halden harekete başlamış olarak kabul edilir ve hava sürtünmesi yok sayılır. Genellikle, Dünya'nın atmosferinde gerçekleşen 5 saniyenin üstündeki düşüşlerde, hava sürtünmesinden dolayı, tam olarak doğru sonuçlara ulaşılmaz (cisim bu zaman diliminden sonra hava sürtünmesinden dolayı, 49 m/s (9.8 m/s² × 5 s olan vakum hızından daha az olacaktır). Hava sürtünmesi (vakumlanmış havasız ortam ile kıyaslandığında), atmosferde düşmekte olan herhangi bir cismin sürüklenme kuvvetini düşürür ve bu sürüklenme kuvveti yerçekimi kuvvetiyle eşitlenene kadar cismin hızı ile birlikte artar. Bu noktadan sonra cismin limit hızla düşmesine sebep olur.

Atmosferik sürüklenme, sürüklenmekte olan cismin korelasyon sayısı, cismin başlangıç hızı ve cismin hava akımına maruz kalan alanı limit hızın hesaplanmasında kullanılır.

Denklemler

Düşmekte olan bir cismin belirli bir zamanda aldığı yol :
Alınan belirli bir yolda geçen süre:
Düşmekte olan bir cismin belirli süredeki anlık hızı :
Belirli yol alan bir cismin anlık hızı :
Belirli zaman aralığında cismin ortalama hızı:
Belirli mesafede cismin ortalama hızı:
Düşmekte olan bir cismin yarıçaplı M kütleli bir gezegendeki kadar aldığı yoldaki anlık hızı. Bu denklem yerçekimi ivmesinin dünyadakinden daha küçük olduğu gezegenler için kullanılır. (Ancak yine kısa mesafeden atıldığında ve 'nin neredeyse sabit olduğu durumlarda):
kütleli ve yarıçaplı bir gezegende kadar yol alan, düşmekte olan bir cismin anlık hızı ( yerçekimi ivmesinin değişkenlik gösterdiği uzun mesafeli atışlarda kullanılır):
Belirli bir mesafede düşüşe bırakılan çelik kürenin düşüş süresi. Düşüş süresi için elde edilen veriler beklenilen değerlerde olup, h yükseklik ve g yerçekimi ivmesini temsil etmektedir.

Örnekler

İlk denklem gösteriyor ki, düşmekte olan cisim, 1 saniye sonunda 1/2 × 9.8 × 12 = 4.9 metre yol alır. 2 saniyenin sonunda ise 1/2 × 9.8 × 22 = 19.6 metre yol alır ve böyle devam eder. 2. denklemden son denkleme kadar, tüm denklemler kullanıldığında, yüksek mesafeden yapılan atışlarda ihmal edilmeyecek kadar farklılıklar ortaya çıkmaktadır. Eğer bir cisim dünyaya 10,000 metreden atıldığında, fark 0.08% civarında olur ancak cisim yer eş zamanlı yörüngeden atılırsa (42,164 km) fark 64% olur.

Rüzgar direncine dayanarak, örneğin; dünya yüzeyine doğru yüzüstü atlayış yapan limit hıza ulaşmış bir skydiver, yaklaşık olarak 195 km/sa (122 mi/sa ya da 54 m/s) hızında düşüş yapar. Bu hız, kişiye etkiyen kuvvetlerin kişiyi gittikçe limit hıza yaklaştırdığından dolayı ivmelenmesinin asimtotik limitidir. Bu örnekte skydiver limit hızının 50% sine sadece 3 saniyede, %90'ına 8 saniyede %99'una ise 15 saniyede ulaşır.

Skydiver kol ve bacaklarını kendine çekerse daha daha yüksek hıza ulaşabilir. Bu durumda limit hız 320 km/sa (200 mil/saat ya da 90 m/s) ye ulaşır ki bu da neredeyse bir aladoğanın avına doğru giderken ulaştığı limit hıza eşittir. Yine aynı limit hıza 30-06 mermi havaya doğru ateşlendikten sonra yere düşerken de ulaşılır.

Rekabetçi hız tutkunu skydiverlar ise kafaları yeri gösterecek şekilde düşüş yaparlar ve daha yüksek hızlara erişrler. Şu anki dünya rekoru 1,357.6 km/sa (843.6 mi/sa ya da 1.25 Mach) hızla 38,969.4 m (127,852.4 ft) den atlayış yapan Felix Baumgartner'e ait. Rekor denemesi, yüksek irtifada atmosfer yoğunluğunun az olduğu bir bölgede gerçekleştirildi.

Dünya haricindeki diğer astronomik büyüklükler (Ay, Güneş gibi) ve kısa mesafeden yapılan atışlar için, alttaki denklemde bulunan g, G(M+m)/r² ile değiştirilebilir. Buradaki G, yerçekimsel sabit, M astronomik büyüklüğün kütlesi, m düşüş yapan cismin kütlesi ve r ise belirtilen büyüklüğün yarıçapıdır.

Basitleştirilerek varsayım yapılan üniform yerçekim ivmesinin kaldırılması daha isabetli sonuçlar verir. Bunu radyal eliptik yörüngeler için kullanılan formülden bulabiliriz:

r yükseklikten x yüksekliğine düşmekte olan bir cismin iki body nin merkezinden ölçülen zaman şu şekilde hesaplanır:

Buradaki iki cismin standart yerçekimsel parametrelerinin toplamıdır. Bu denklem düşüş sırasında yerçekimi ivmesinde belirgin değişimler olduğu zaman kullanılmalıdır.

Dönmekte olan Dünya'ya Göre Bir Cismin İvmelenmesi

Merkezcil çekim kuvveti dönmekte olan Dünya'nın ivmelenmesi ile serbest-düşüş yapan cismin ivmelenmesi arasındaki farktan kaynaklanır. Referans alınan dönmekte olan cismin görünen ivmelenmesi toplam yerçekimi vektöründen Dünya'nın kuzey-güney doğrultusunda uzanan küçük vektörün çıkarılmasıyla bulunur.

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Kuvvet</span> kütleli bir cisme hareket kazandıran etki

Fizik disiplininde, kuvvet bir cismin hızını değiştirmeye zorlayabilen, yani ivmelenmeye sebebiyet verebilen - hızında veya yönünde bir değişiklik oluşturabilen - bir etki olarak tanımlanır, bu etki diğer kuvvetlerle dengelenmediği müddetçe geçerlidir. Itme ya da çekme gibi günlük kullanımda yer alan eylemler, kuvvet konsepti ile matematiksel bir netliğe ulaşır. Kuvvetin hem büyüklüğü hem de yönü önemli olduğundan, kuvvet bir vektör olarak ifade edilir. Kuvvet için SI birimi, newton (N)'dur ve genellikle F simgesi ile gösterilir.

<span class="mw-page-title-main">Yerçekimi</span> Dünyanın kütleçekimi

Yer çekimi, kütleçekimi ve merkezkaç kuvvetinin birleşik etkisi nedeniyle nesnelere aktarılan net ivmedir. Yönü bir şakul topuzuyla çakışan, gücü veya büyüklüğü normuyla temsil edilen vektörel bir niceliktir.

<span class="mw-page-title-main">Yörünge</span> bir gökcisminin bir diğerinin kütleçekimi etkisi altında izlediği yola yörünge adı verilir

Gök mekaniğinde yörünge veya yörünge hareketi, bir gezegenin yıldız etrafındaki veya bir doğal uydunun gezegen etrafındaki veya bir gezegen, doğal uydu, asteroit veya lagrange noktası gibi uzaydaki bir nesne veya konum etrafındaki yapay uydunun izlediği kavisli bir yoldur. Yörünge, düzenli olarak tekrar eden bir yolu tanımlamakla birlikte, tekrar etmeyen bir yolu da ifade edebilir. Gezegenler ve uydular Kepler'in gezegensel hareket yasalarında tanımlandığı gibi, kütle merkezi elips biçiminde izledikleri yolun odak noktasında olacak şekilde yaklaşık olarak eliptik yörüngeleri takip ederler.

<span class="mw-page-title-main">Kinetik enerji</span> bir cismin harekiyle oluşan enerji

Kinetik enerji, fiziksel bir cismin hareketinden dolayı sahip olduğu enerjidir.

Fizikte, kütle, Newton'un ikinci yasasından yararlanılarak tanımlandığında cismin herhangi bir kuvvet tarafından ivmelenmeye karşı gösterdiği dirençtir. Doğal olarak kütlesi olan bir cisim eylemsizliğe sahiptir. Kütleçekim kuramına göre, kütle kütleçekim etkileşmesinin büyüklüğünü de belirleyen bir çarpandır (parametredir) ve eşdeğerlik ilkesinden yola çıkılarak bir cismin kütlesi kütleçekimden elde edilebilir. Ama kütle ve ağırlık birbirinden farklı kavramlardır. Ağırlık cismin hangi cisim tarafından kütleçekime maruz kaldığına göre ve konumuna göre değişebilir.

<span class="mw-page-title-main">Newton (birim)</span>

Newton, SI birim sisteminde kuvvet birimi olup simgesi N'dir. Terim, fizik bilimine yaptığı katkılar nedeni ile İngiliz bilim insanı Isaac Newton'un adı ile anılır.

Ağırlık, bir cisme uygulanan kütleçekim kuvvetidir. Ağırlığın birimi newton'dur ve simgesi 'N' olarak gösterilir. Bir kiloluk bir cisim dünyada yaklaşık 9,8 Newtondur. Ölçü aracı dinamometredir. Kütleçekim kuvveti, çekim merkezinden uzaklaştıkça azalacağından Dünya'nın geoit şeklinden dolayı kutuplara gidildikçe artar, ekvatora gidildikçe azalır..

<span class="mw-page-title-main">İş (fizik)</span>

Fizikte, bir kuvvet bir cisim üzerine etki ettiğinde ve kuvvetin uygulama yönünde konum değişikliği olduğunda iş yaptığı söylenir. Örneğin, bir valizi yerden kaldırdığınızda, valiz üzerine yapılan iş kaldırıldığı yükseklik süresince ağırlığını kaldırmak için aldığı kuvvettir.

<span class="mw-page-title-main">Tork</span> bir kuvvetin nesnenin ekseninde, dayanak noktasında ya da çevresinde dönme eğilimi

Tork, kuvvet momenti ya da dönme momenti, bir cismin bir eksen etrafındaki dönme, bükülme veya burulma eğilimini dönme ekseni merkezine indirgeyerek ölçen fiziksel büyüklüktür. Torkun büyüklüğü moment kolu uzunluğuna, uygulanan kuvvete ve moment kolu ile kuvvet vektörü arasındaki açıya bağlıdır.

<span class="mw-page-title-main">Kurtulma hızı</span> bir cismin kendisini bağlayan kütleçekim alanından kurtulak için varması gereken hız

Fizikte, kurtulma hızı kütleçekim alanındaki herhangi bir cismin kinetik enerjisinin söz konusu alana bağıl potansiyel enerjisine eşit olduğu andaki hızıdır. Genellikle üç boyutlu bir uzayda bulunan cismin kendisini etkileyen kütleçekim alanından kurtulabilmesi için ulaşması gereken sürati ifade eder.

<span class="mw-page-title-main">Dairesel yörünge</span>

Astrodinamikte dışmerkezliği sıfıra eşit olan eliptik yörünge olarak özetlenebilecek dairesel yörünge, tanım olarak fizikte sabit eksen etrafında rotasyonun tipik bir örneğidir. Burada bahsedilen eksen, hareket düzlemine dik olarak kütle merkezlerinden geçen doğrudur.

<span class="mw-page-title-main">Hız</span> vektörel bir fiziksel nicelik

Hız, bir nesnenin hareket yönü ile birlikte olan süratini ifade eder. Hız, cisimlerin hareketini tanımlayan bir klasik mekanik dalı olan kinematikte temel bir kavramdır.

<span class="mw-page-title-main">Parabolik yörünge</span> Dış merkezliği 1 olan yörüngeler

Parabolik yörünge veya kaçış yörüngesi, dış merkezliği 1 olan yörüngelerdir. Yörünge üzerinde bulunan cismin hızı kaçış hızına eşittir ve dolayısıyla herhangi bir gezegenin yer çekimsel kuvvetinden kurtulabilirler. Yörünge üzerindeki cismin hızı arttırıldığı takdirde, hiperbolik yörüngeye geçer.

<span class="mw-page-title-main">Atış hareketi</span>

Atış hareketi, Dünya yüzeyine yakın yerlerde; düşen, fırlatılan cisimlerin yaptığı harekettir. Bu harekette cismin ivmesi sabittir ve yerçekimi ivmesine eşittir.

<span class="mw-page-title-main">Ağırlıksızlık</span>

Ağırlıksızlık ya da ağırlığın yokluğu aslında dışarıdan uygulanan kuvvetler, genellikle yerden koltuktan yataktan vb. uygulanan temas gerektiren kuvvetler, sonucu oluşan baskı ve gerilmenin yokluğudur. Sezgilere aykırı bir şekilde düzgün kütleçekimsel kuvvet tek başına gerilmeye ve baskıya neden olmaz ve b tip bir kuvvetin bulunduğu ortamda serbest düşüşte olan bir cisim g- kuvveti algılamaz ve ağırlıksız hisseder. Bu ayrıca sıfır g- kuvveti olarak adlandırılır. Cisimler kütleçekimi dışındaki kuvvetlere maruz kaldığında, santrifüjde ya da dönen bir uzay istasyonunda ya da roketleri ateşlenen bir uzay mekiğinde, kuvvet cismin eylemsizliğini bastırdığından ağırlık hissi oluşur. Bu tip durumlarda, ağırlık hissi, kütleçekimsel alan sıfır dahi olsa baskı durumu ile oluşabilir. Bu tip durumlarda g kuvveti hissedilir ve cisimler ağırlıksız değildir. Kütleçekimsel alan düzgün olmadığında serbest düşüşteki bir cisim gelgitsel kuvvetler hissedecektir ve cisim baskısız değildir. Bir karadeliğin yanında bu tip gelgitsel kuvvetler çok güçlü olabilir. Dünya göz önüne alındığında bu tip kuvvetler oldukça küçüktür. Özellikle de küçük boyutlu cisimler için. Örneğin insan vücudu veya bir uzaymekiği için. Ve bu durumlarda genel ağırlıksızlık hissi korunmuş olur. Bu durum mikroyerçekimi olarak da bilinir ve yörüngede dolanan uzay mekiklerinde oldukça yaygındır.

Akışkanlar dinamiğinde, bir sıvı tarafından çevrelenmiş ve hareket halinde olan bir cisim tarafından hissedilen sürüklenim kuvvetini bulmak için sürüklenim denklemi kullanılır. Bu formül belli koşullar altında daha tutarlı sonuçlar verir:

<span class="mw-page-title-main">Kepler yörüngesi</span> üç boyutlu uzayda iki boyutlu bir yörünge düzlemi oluşturan bir elips, parabol, hiperbol benzeri bir yörünge cismininin hareketini açıklayan kavram

Gök mekaniği olarak, Kepler yörüngesi üç boyutlu uzayda iki boyutlu bir yörünge düzlemi oluşturan bir elips, parabol, hiperbol benzeri bir yörünge cismininin hareketini açıklar.. Kepler yörüngesi yalnızca nokta iki cismin nokta benzeri yerçekimsel çekimlerini dikkate alır, atmosfer sürüklemesi, güneş radyasyonu baskısı, dairesel olmayan cisim merkezi ve bunun gibi bir takım şeylerin diğer cisimlerle girdiği çekim ilişkileri nedeniyle ihmal eder. Böylece Kepler problemi olarak bilinen iki-cisim probleminin, özel durumlara bir çözüm olarak atfedilir. Klasik mekaniğin bir teorisi olarak, aynı zamanda genel görelilik etkilerini dikkate almaz. Kepler yörüngeleri çeşitli şekillerde altı yörünge unsurları içine parametrize edilebilir.

<span class="mw-page-title-main">Yörünge mekaniği</span>

Yörünge mekaniği veya astrodinamik, roketler ve diğer uzay araçlarının hareketini ilgilendiren pratik problemlere, balistik ve gök mekaniğinin uygulamasıdır. Bu nesnelerin hareketi genellikle Newton'un hareket kanunları ve Newton'un evrensel çekim yasası ile hesaplanır. Bu, uzay görevi tasarımı ve denetimi altında olan bir çekirdek disiplindir. Gök mekaniği; daha genel olarak yıldız sistemleri, gezegenler, uydular ve kuyruklu yıldızlar gibi kütle çekimi etkisinde bulunan yörünge sistemleri için geçerlidir. Yörünge mekaniği; uzay araçlarının yörüngelerine ait yörünge manevraları, yörünge düzlemi değişiklikleri ve gezegenler arası transferler gibi kavramlara odaklanır ve itici manevralar sonuçlarını tahmin etmek için görev planlamacıları tarafından kullanılır. Genel görelilik teorisi, yörüngeleri hesaplamak için Newton yasalarından daha kesin bir teoridir ve doğru hesaplar yapmak ya da yüksek yerçekimini ihtiva eden durumlar söz konusu olduğunda bazen gereklidir.

<span class="mw-page-title-main">Serbest düşme</span>

Klasik mekanikte serbest düşme, yerçekiminden başka bir kuvvetin etkilemediği bir fiziksel maddenin devinimine verilen addır. Genel görelilik bağlamında ise yerçekimi uzay-zaman boyutunda değerlendirildiğinden, üzerinde herhangi bir kuvvetin bulunmadığı devinim serbest düşme olarak adlandırılır. Başka bir kuvvetin mevcut olmadığı ortamlarda yerçekimi bir nesnenin her yanına eşit oranda etkir ve bu durum ağırlıksızlık olarak tanımlanır.

<span class="mw-page-title-main">Terminal hızı</span>

Terminal hızı, bir nesnenin bir akışkanın içinde düşerken ulaşabileceği maksimum hızdır. Sürükleme kuvveti (Fd) ve kaldırma kuvvetinin toplamı, nesneye etki eden aşağı doğru yerçekimi kuvvetine (Fg) eşit olduğunda bu hıza ulaşılmaktadır. Cisim üzerindeki net kuvvet sıfır olduğundan, cismin ivmesi sıfırdır.